专题14 圆中的辅助线模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题14.圆中的辅助线模型 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。 模型1、遇弦连半径（构造等腰三角形） 【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，连接OA，OB，则∠A＝∠B． 在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题 例1．（2023·陕西初三一模）如图，已知△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，∠ACB＝65°，点C是弧BD的中点，连接CD，则∠ACD的度数是 例2.（2022•南召县中考模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（　　） A．42° B．28° C．21° D．20° 例3．（2023·重庆九年级一模）如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是______． 例4．（2023年山东省淄博市中考数学真题）如图，是的内接三角形，，，是边上一点，连接并延长交于点．若，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 模型2、遇弦作弦心距（解决有关弦长的问题） 【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE＝BE，OE2+AE2=OA2。 在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。利用垂径定理、圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系、弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 一般有弦中点、或证明弦相等或已知弦相等时，常作弦心距。 例1．（2023年湖南省永州市中考数学真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．    例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为 ．    例3．（2021·湖北中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 例4．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图所示，圆的直径与弦相交于点．已知圆的直径，，则的值是（    ） A． B．8 C． D．4 模型3、遇求角可构造同弧的圆周角（圆心角） 【模型解读】如图，已知A、B、P是⊙O上的点，点C是圆上一动点，连接AC、BC，则∠ACB=∠AOB。 例1．（2023·四川巴中·统考中考真题）如图，是的外接圆，若，则（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（   ） A．160o B．120o C．100o D．80o 例3．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，内接于，，，则的半径为（    ）      A．4 B．8 C． D． 例4．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，为的两条弦，D，G分别为的中点，的半径为2．若，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 模型4、遇直径作直径所对的圆周角（构造直角三角形） 【模型解读】如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC、BC，则∠ACB=90o。 如图，当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解问题的重要思路，在证明有关问题中注意90o的圆周角的构造。 例1．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，是的直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2022春·广东广州·九年级校考开学考试）如图，在中，弦的长为10，圆周角，则这个圆的直径为 ．    例3．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在中，，点在斜边上，以为直径的半圆与相切于点，与相交于点，连接．若，，则的长是（　　）    A． B． C． D． 模型5、遇90°的圆周角连直径 【模型解读】如图，已知圆周角∠BAC=90o，连接BC，则BC是⊙O的直径。 遇到90°的圆周角时，常连