专题02 解直角三角形中的最值问题（胡不归模型）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题02 解直角三角形中的最值问题（胡不归模型） 【方法归纳】 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆． 【问题分析】 求BC+kAC的最小值． 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【模型总结】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 【例题精讲】 例1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE，由含有30度直角三角形的性质可得PF=，DP+，结合图形可得当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度，利用锐角三角函数求解即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°， ∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°， ∴PF=， ∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中， ∠DAH=45°， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 例2．如图，中，，，，，点E、F、G分别是AD、BD、BC上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】取AB中点H，连接EH、FH，根据等腰三角形三线合一，可知，可证△DHE≌△BHF，进一步证明△EHF为等腰直角三角形，得到，所以，过点H作交BD于点，此时最小等于，求出的长度即为的最小值． 【详解】解：∵，， ∴△ABD为等腰直角三角形， 取AB中点H，连接EH、FH，如图所示， ∴（等腰三角形三线合一），， ∵在△DHE和△BHF中 ， ∴△DHE≌△BHF（SAS） ∴EH＝FH，∠EHD＝∠FHB， ∵∠FHB＋∠DHF＝∠DHB＝90°， ∴∠EHD＋∠DHF＝90°，即△EHF为等腰直角三角形， ∴∠HEF＝45°， ∵， ∴， ∴， 过点H作交BD于点，此时最小等于， ∵，H为BD的中点， ∴BH＝1， ∴，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形全等的判定及性质以及解直角三角形，正确判断最短距离时各点的位置是解答本题的关键． 例3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 例4．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∴， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等） ∵，， ∴，∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 【课后练习】 1．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示： 在中，， ∴， ∵ ＝， ∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为12， 故选：D． 【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， ∴OA=3，OC=3， 作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°， 则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°， 过点P作PG⊥CE于点G，如图： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°， ∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG， 当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小， 延长AG交y轴于点F， ∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°， ∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°， ∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=， ∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=， 即AP+PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键． 3．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】在AC上截取一点M，使得CM=．利用相似三角形的性质证明DM=AD，推出BD+AD=BD+DM，推出当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，即可解决问题； 【详解】解：如图，在AC上截取一点M，使得CM=．连接DM，BM． ∵CD=2，CM=，CA=3， ∴CD2=CM•CA， ∴， ∵∠DCM=∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴， ∴DM=AD， ∴BD+AD=BD+DM， ∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小， ∴最小值=． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会由转化的思想思考问题． 4．如图，在等腰三角形中，，，为高，，分别是，上的动点，若，是的中点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接CE，过点E作EF⊥BD于点F，根据三角函数的定义，求得AB=，AD=10，BD=30，设DM=m，则DN=2m+10，则MN=，，从而得到的表达式，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：连接CE，过点E作EF⊥BD于点F， ∵在等腰三角形中，，，是的中点， ∴CE⊥AB，， 设CE=3x，则AE=x， ∴，解得：x=，（负值舍去）， ∴AB=2AE=， 同理：AD=10，BD=3AD=30， 设DM=m，则DN=2m+10， ∴MN=， ∵EF⊥BD，AC⊥BD， ∴EF∥AC， ∴=1， ∴F是BD的中点，EF是的中位线， ∴EF=，DF=， ∴FM=|15-m|， ∴， ∴=+ = =， ∵可以看作x轴上的动点H（m，0）到点P（15，5）和点Q（-4，-2）的距离之和， 又∵=， ∴≥=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，添加辅助线，构造直角三角形，用代数式表示线段的长，是解题的关键． 5．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】20 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：过点D，C分别作于点H，于点M． ， ， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ， 的最小值为20． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 6．如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】证明，得出，再证，求出，所以，即，可得．作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，求出，所以．求的最小值，即为求的最小值，过点H作于点J，即为所求最小值．设，根据勾股定理可得出，所以，由，可求得的长度． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵于点C， ∴， ∴． ∴． 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图，作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q， ∴， ∴，即．∴． ∴， ∴求的最小值，即为求的最小值， 过点H作于点J，HJ即为所求最小值． 设，则， 在中，由勾股定理可知，，解得， ∴． 如图，连接，，∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， 即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键． 7．如图，直线与反比例函数（）的图像相交于点B，以B为圆心，为半径作圆，交反比例函数（）的图像于点D，分别过点B和点D作x轴和y轴的平行线，两线相交于点C，点P为直线上一点，在x轴上取点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，取的中点，证明，由为，可得，可得，，以为斜边作等腰直角三角形，可得，当，，三点共线时，最短，则最短，此时，，，再解直角三角形可得结论． 【详解】解：如图，连接，取的中点，    ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为， ∴， ∴，， 以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， 当，，三点共线时，最短，则最短， 此时，，， ∴， ∴； 即则的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及等腰三角形性质、勾股定理、正弦三角函数值定义、等面积法求线段长等知识，过点作，如图所示，由等腰三角形性质结合勾股定理求出及，在中，求出，从而得到当三点共线，且时，有最小值为，利用三角形等面积列方程求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-胡不归问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： 在等腰中，是边上的高， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 在中，，则， ， 如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为， 由等面积可知，则， 故答案为：8． 9．如图，在四边形中，，，，E，F是边上的两个动点，，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】确定，延长线的交点，判定是等边三角形，过点作的垂线，用特殊角三角函数求解，确定长度，用勾股定理逆定理判定，过点作的垂线，使得，判定，得到，确定，由两点间线段最短可知的最小值为．过点作的垂线，交的延长线于点，用特殊角三角函数求解，最后用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，延长，交于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， 过点作的垂线，垂足为点． 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作的垂线，使得，连接，． ∵，，， ∴， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为，即的最小值为． 过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， ∴，，， ∴，， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理和等边三角形的性质和判定，线段最值问题，解题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形和相似解决问题． 10．如图，在中，．D为边上的一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，得出，当点D在点处时，取得最小值为的长，然后利用三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：在的下方作，作于点E，作于点F，交于点，则， ， 当点D在点处时，取得最小值为的长． ， ， ， ， 的最小值为3， 故答案为：3． 11．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度． (3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时； (3)∠QAC的正弦值为 【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证； （2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则 根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值； （3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可． 【详解】（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108° ∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36° ∵DE垂直平分AB ∴AD = BD ∴∠B =∠BAD = 36° ∴∠C =∠BAD 又∵∠B =∠B ∴△DBA∽△ABC ∴直线AD是△ABC的自相似分割线． （2）如图，连接，， 垂直平分AB， 当点与重合时，,此时最小， ， 设，则 解得： PA+PC= 当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时； （3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点， ， 由（2）知， 平分 ， 点落在上时，点与点重合， 即此时的值最小，最小值为， ∠QAC的正弦值为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形中的最值问题（胡不归模型） 【方法归纳】 在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kP”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆． 【问题分析】 求BC+kAC的最小值． 【问题解决】 构造射线AD使得sin∠DAN=k，即，CH=kAC． 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【模型总结】 在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段． 【例题精讲】 例1．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 例2．如图，中，，，，，点E、F、G分别是AD、BD、BC上的动点，且，则的最小值为 ． 例3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例4．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．    【课后练习】 1．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ． 3．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值为 ． 4．如图，在等腰三角形中，，，为高，，分别是，上的动点，若，是的中点，连接，，则的最小值为 ． 5．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 6．如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ． 7．如图，直线与反比例函数（）的图像相交于点B，以B为圆心，为半径作圆，交反比例函数（）的图像于点D，分别过点B和点D作x轴和y轴的平行线，两线相交于点C，点P为直线上一点，在x轴上取点，连接，则的最小值为 ． 8．已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 9．如图，在四边形中，，，，E，F是边上的两个动点，，连接，，则的最小值为 ． 10．如图，在中，．D为边上的一动点，连接，则的最小值为 ． 11．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度． (3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$