精品解析：辽宁省盘锦市2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

九年级期中考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ） A 20° B. 35° C. 70° D. 110° 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D． 若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下表列出的二次函数的几组x与y的对应值，判断一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 2.23 2.24 2.25 2.26 y 0.04 0.31 A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 10. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知的半径为6，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是_________． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是_________． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 14. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的度数是_________． 15. 如图，是内切圆，D，E分别为边，上的点，且为的切线．若的周长为32，的周长为12，则的长为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程． （1）． （2）． 17. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 18. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，． （1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标． （3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的． 19. 已知抛物线的解析式为． （1）若抛物线的对称轴为，求a的值． （2）若抛物线经过点，求此时抛物线与x轴的两个交点之间的距离． 20. 实践教学 向阳中学在劳动课上自制月饼销售． 数据采集 一盒月饼的成本共40元，第一天按每盒60元销售，销售了100盒；第二天共制作月饼150盒．若第二天按第一天的价格出售，预计同样可售出第一天的数量，若每盒每降价1元，则可多售出10盒． 数据应用 若计划第二天降价销售，且利润为2240元，每盒月饼应降价多少元？ 21. 如图，在中，为中点，于点，于点 （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 22. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转， ，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图2，若将以点A为旋转中心逆时针旋转，得到的，若B，A，三点在同一条直线上，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使，连接CG，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图3，在（2）的条件下，将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，连接，求的值． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． （1）求抛物线和直线的解析式． （2）①求线段的最大值． ②连接，当为等腰三角形时，求m值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级期中考试 数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国新能源汽车产销量连续9年位居全球第一，下列新能源汽车的车标中，为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可． 【详解】A．不是中心对称图形，故此选项错误； B．不是中心对称图形，故此选项错误； C．不是中心对称图形，故此选项错误； D．是中心对称图形，故此选项正确． 故选D． 2. 如图，PA与⊙O相切于A点，∠POA＝70°，则∠P ＝（ ） A. 20° B. 35° C. 70° D. 110° 【答案】A 【解析】 【分析】利用切线的性质可得∠PAO=90°，在Rt中利用两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵PA与⊙O相切于A点， ∴∠PAO=90°． 又∵∠POA＝70°， ∴Rt中，， 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线经过半径的外端点且垂直于半径． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，将方程两边同时加上4，即可解答． 详解】解：方程两边同时加上4，得， 即． 故选：C 4. 剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美，如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴，即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：∵根据抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，则， 故选：A． 5. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点离直线的远近得到，，的大小关系，即可解题． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， ∴该二次函数图象的开口向上，图象上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵，，，且 ． 故选：C 6. 如图，点A，B，C在上，，垂足为D． 若，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．根据“同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 7. 根据下表列出的二次函数的几组x与y的对应值，判断一元二次方程的其中一个解的取值范围是（ ） x 2.23 2.24 2.25 2.26 y 0.04 0.31 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要二次函数和一元二次方程的关系，正确估计一元二次方程的根的取值范围是解题的关键，仔细看表，可发现y的值和最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取2.24与2.25之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故关于x一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，则外接圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作和的垂直平分线，它们的交点为的外接圆的圆心，然后直接读出的外接圆的圆心坐标． 【详解】解：如图所示：点P即为所求； 所以点P的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键． 9. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 10. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可. 【详解】解：将抛物线化为顶点式， 即： ， 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得： ， A选项代入，，不符合； B选项代入， ，符合； C选项代入， ，不符合； D选项代入，，不符合； 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知的半径为6，点P在外，则点P到圆心O的距离d的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系的判断，掌握点与圆的位置关系的判断方法是解题的关键． 若半径为r，点到圆心的距离为d，根据当时，点在圆外，据此即可求解． 【详解】解：∵的半径为6，点P在外， ∴点到圆心的距离d的取值范围是． 故答案为：． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据二次函数的图象和性质可直接解答即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 14. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的度数是_________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得即可． 【详解】解：∵为的平分线，且， ∴， ∵将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是的内切圆，D，E分别为边，上的点，且为的切线．若的周长为32，的周长为12，则的长为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，根据切线长定理得，，，，再根据三角形周长公式即可求解，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 由切线长定理得：，，，， ， ， ， 故答案为：10． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程用直接开平方法求解即可； （2）方程用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： ． 解得：． 17. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴，. ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 18. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，． （1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标． （3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的． 【答案】（1）见解析 （2）建立平面直角坐标系见解析．点C的坐标为 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图、平面直角坐标系、关于原点对称点的坐标特征等知识点，正确建立直角坐标系是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画图即可； （2）利用点A、B的坐标画直角坐标系，然后写出C点的坐标即可； （3）先根据关于原点对称点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 小问2详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示．点C的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 19. 已知抛物线的解析式为． （1）若抛物线的对称轴为，求a的值． （2）若抛物线经过点，求此时抛物线与x轴的两个交点之间的距离． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数的图象与x轴的交点． （1）根据抛物线的对称轴可得，求解即可； （2）把点代入，求出a的值，从而得到抛物线的解析式，令，求出该抛物线与x轴的交点，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为， ，解得， 经检验，是该分式方程的解． 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． 当，即时， ，解得，， 抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，， 两个交点之间的距离为． 20. 实践教学 向阳中学在劳动课上自制月饼销售． 数据采集 一盒月饼的成本共40元，第一天按每盒60元销售，销售了100盒；第二天共制作月饼150盒．若第二天按第一天的价格出售，预计同样可售出第一天的数量，若每盒每降价1元，则可多售出10盒． 数据应用 若计划第二天降价销售，且利润为2240元，每盒月饼应降价多少元？ 【答案】每盒月饼应降价4元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的应用，设每盒月饼降价元，根据每盒月饼的利润乘以销售量等于总利润列出方程求解即可． 【详解】解：设每盒月饼降价元． ，则， 根据题意，得， 整理得：， 解得，（舍去）． 答：每盒月饼应降价4元． 21. 如图，在中，为的中点，于点，于点 （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧、圆心角的关系得平分．进而利用角平分线的性质定理即可得证． （2）连接由，得．进而得．利用度直角三角形的性质得，进而根据勾股定理得，从而即可求得．同理，可得，于是即可得解． 【小问1详解】 证明：如图，连接 为的中点， ， ， 平分． 又，， ． 【小问2详解】 解：如图，连接 由（1）得， ， ． ∵， ∴， ． ， 在中，， ， ． 同理，可得， ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理，勾股定理，30度直角三角形的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系，角平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键． 22. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“矩形纸片的剪拼”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转， ，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是______． （2）探究迁移 如图2，若将以点A为旋转中心逆时针旋转，得到的，若B，A，三点在同一条直线上，连接，取的中点F，连接AF并延长至点G，使，连接CG，，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明． （3）拓展应用 如图3，在（2）的条件下，将沿着方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至点，与相交于点H，连接，求的值． 【答案】（1）菱形 （2）是正方形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，再由旋转的性质可得，然后由平行四边形的判定与性质及菱形的判定可得结论； （2）由矩形的性质及旋转的性质可得，再根据菱形的判定与性质及正方形的判定即可得出结论； （3）先判断出，进而求出，，即可求出． 【小问1详解】 四边形是菱形，证明如下： 由图1可知，是矩形的对角线，，， ， 在图2中，由旋转知，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形， 故答案为：菱形； 【小问2详解】 是正方形，证明如下： 图1中，四边形是矩形， ， ，， ， 在图3中，由旋转知，， ， ， 点，，在同一条直线上， ， 由旋转知，， 点是的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形， 又， 菱形是正方形； 【小问3详解】 在中，，， ，， 由（2）结合平移知，， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、旋转的性质和平移的性质，是中考的压轴题，解题时需要抓住图形在变换中的性质，递进式的解答。 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N． （1）求抛物线和直线的解析式． （2）①求线段的最大值． ②连接，当为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2）①的最大值为1②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①由题意得，利用配方法求最值即可；②由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴． 将点代入，得，解得， 抛物线的解析式为． 设直线AB的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线AB的解析式为． 【小问2详解】 ①将代入中，得． 将代入中，得． ∴， 即的最大值为1． ②∵点M在直线上，且点， ∴点M的坐标为． ∵点， ∴， ∴， ． 当为等腰三角形时， （ⅰ）若，则， 即，解得． （ⅱ）若，则， 即，解得或（舍去）． （ⅲ）若，则， 即，解得或（舍去）． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$