2026年河南平顶山市鲁山县第九教研区二模数学试题

2026年中考学科第二次调研考试 数学 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量并进行负数运算的国家.若上升10m记作m，则下降3m可记作（ ） A.3m B.m C.13m D.m 2.如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则从左面看这个几何体得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3.若，则的值为（ ） A. B. C.5 D.25 4.已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边的长可以是（ ） A.2cm B.3cm C.6cm D.8cm 5.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. B. C.0 D.1 6.将一副三角板按如下方式摆放，其中α与β不互补的是（ ） A. B. C. D. 7.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8.在一个不透明的盒子里有2个红球和1个黄球（除颜色外其他都相同）.如图是小华同学根据自己的一次摸球试验画出的正确但不完整的树状图.关于这次摸球试验，有下列结论：①是有放回的摸球试验；②可能是同时摸出两个球；③可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球；④摸出一个红球和一个黄球的概率为。其中正确的是（ ） A.①③ B.③④ C.①②③ D.②③ 9.如图，在边长为1的正方形ABCD中，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，连接PQ交AD于点E，连接BE，沿BE折叠，点A落在点处，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10.创新角度结合化学知识分析函数图象如图（1）是一定温度下100g的不饱和溶液及固体，向不饱和溶液中逐渐加入固体，设溶液中溶质的质量为y（g），加入固体的质量为x（g），y与x的函数关系的图象如图（2）“所示。”下列说法中正确的是（ ） 小贴士 1.在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解溶质的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液。 2.在一定温度下，某固态物质在100g溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，叫做这种物质的溶解度。（如果不指明溶剂，通常所说的溶解度是指物质在水里的溶解度） A.加入的固体越多，溶液中溶质的质量越大 B. C.加入70g固体时，溶液中溶质的质量为90g D.加入80g固体时，有20g的固体未溶解 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请写出一个使的值为整数的x的值：______。 12.记者2026年2月3日从商务部获悉，今年优化实施家电以旧换新及数码和智能产品购新补贴政策以来，效应逐步显现。1月，6类家电产品及4类数码和智能产品销售量超1500万台，销售额近590亿元。其中1500万用科学记数法可表示为______。 13.为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有______名。 14.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C是格点（小正方形的顶点），优弧BC经过格点A，则图中阴影部分的面积为______。 15.如图，在矩形ABCD中，，．将AB绕点A旋转得到AE，连接BE，DE．当的度数最大时，BE的长为______。 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（10分）（1）计算：； （2）解不等式组： 17.（9分）为落实中共中央、国务院印发的《教育强国建设规划纲要（2024—2035年）》中“健康第一”的教育理念，某校对全校学生进行体能测试，测试分为20个具体项目，每个项目达到合格或以上得5分，达不到合格得0分。在九年级成绩最好的两个班级九（2）班和九（6）班各自随机抽取了20名学生的成绩进行整理，绘制了如下不完整的统计表、条形统计图及数据分析表。 九（2）班20名学生成绩 九（6）班20名学生成绩 数据收集85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 数据整理 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 m n 3 数据分析 统计量 平均数 中位数 众数 方差 班级 九（2）班 x y 95 41.5 九（6）班 91 90 z 26.5 根据以上信息，回答下列问题。 （1）填空：______，______，______，并补全条形统计图。 （2）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由。 18.（9分）在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，，． （1）如图（1），过点E作，分别交BC，DA的延长线于点M，N。求证：。 （2）如图（2），过点E作于点P，，交DC的延长线于点Q，求EP+EQ的值。 19.（9分）小琴同学在星光篮球场散步，发现装在楼顶的大灯将篮球架和人的影子清晰地映在水平地面上。她想利用刚刚学过的测高的知识，推算出大灯的高。她首先利用自己的步长量得篮球架的影子m，然后从篮球架起步，沿射线AB向点F移动，当她头顶的影子恰好落在篮球架底部点B处时，量得自己恰好走了2m（即m）。她查阅资料得知篮球架的最高处到地面的距离m，由此结合自己的身高，利用所学的知识推算出了大灯的高度。若小琴同学的身高为1.5m，请你写出推算大灯高度GF的过程（结果精确到1m）。 20.（9分）（___某体育科技公司正在调试一台智能乒乓球发球机。如图，乒乓球台的长OB为2.74米，中间位置有0.15米高的球网CD，将台面分为面积相等的两部分。将乒乓球视为一个点，发球机安装在球台左端的点O处，出球口P在点O的正上方，且米。球发出后沿直线运动，且在台面的A处反弹，反弹后的运动轨迹呈抛物线形，并且在与点O的水平距离为1.5米处时达到大高度（到台面的高度）0.2米。以点O为原点、直线OB为x轴直线OP为y轴，建立平面直角坐标系。 （1）求b的值及点A的坐标。 （2）乒乓球第一次弹起后能否越过球网？请通过计算说明理由。 21.（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，D是BC的中点，过点D的双曲线交AB于点E。 （1）求k的值及点E的坐标。 （2）F是边BC上一点，且，求CF的长。 22.（10分）如图（1），在中，，，P是外接圆上一动点（点P在优弧AC上），连接PC，PB，PA，设，，3（当点P与点C，B或A重合时，不妨设，或）。梦杰同学分别对，随x的变化而变化的规律进行了探究。 （1）按照下表中x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与x的几组对应值； x 0 1.10 2 3 4 5 6.11 7.50 8.07 8 3 3.99 4.76 5.57 6.32 7 7.64 8.08 7.66 m 8 8.08 8.04 7.86 7.52 7 6.11 4.05 1.60 0 则BC的长为______，表中m的值为______。 （2）在如图（2）所示的平面直角坐标系xOy中，已描出表中各组已知数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），请描出点，并用平滑的曲线画出，的图象。 （3）解决问题： ①的外接圆的直径为______（结果保留根号）； ②当是以PC为底的等腰三角形时，x的值为______（结果精确到0.1）。 23.（10分）面积法是数学学科中解决问题的常用方法，住浩学习小组在探究与三角形相关的面积问题时，从最简单的问题入手，然后逐步拓展。 探究1：如图（1），D是的边BC上一点，学习小组利用面积法很容易得到了。 探究2：如图（2），四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将，，，的面积分别记为，，，。学习小组发现，，，之间满足一个等量关系式。 探究3：学习小组给图（2）中的四边形增加了一个条件：[如图（3）]，发现能用含S₂，S₄的代数式表示，。 （1）①请你写出“探究2”中的等量关系式：______。 ②请你写出“探究3”中学习小组的发现（即用含，的代数式表示出，），并加以证明。 类比应用：如图（4），D，E，F分别是的边BC，AB，AC上的点，且，。设的面积为m，的面积为n，试用含m，n的代数式表示四边形AEDF的面积。学习小组是这样解决的：过点A作BC的平行线交DE的延长线于点G，连接BG，AD，然后利用（1）中的结论求得四边形AEDF的面积。 （2）请你补全图形，并写出推理过程。 拓展应用：如图（5），在中，，，，过点C的直线交AD的延长线于点F，交AB的延长线于点E。 （3）当的面积为75时，直接写出的值。 九年级数学参考答案 1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C A项中，，∴．B项中，，∴．C项中，，，．D项中，，∴．故选C． 7.D 分析如下： 选项 分析 正误 A × B × C × D √ 8.D 由树状图可知，该试验是不放回的摸球试验，可能是同时摸出两个球，也可能是摸出一个球，不放回，再摸出一个球。补全树状图如图所示，可知摸出一个红球和一个黄球的结果有4种，故所求概率为． 9.D 由作图可知，直线PQ垂直平分线段AD，∴，∴．如图，连接交BE于点F．由折叠的性质，得，，∴EF是的中位线，∴（依据：三角形的中位线定理），∴，，∴，∴，∴，∴． 名师教审题 结合图象分析如下： 选项 分析 正误 A 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而不变。 × B 当时，，即． × C 当时，． × D 当时，，即溶液中溶质质量为80g，∴有60g固体溶解了，故有20g的固体未溶解。 √ 11.2（答案不唯一） 12. 13.576 14. 【解析】如图，连接AB．由勾股定理，得，．∵，∴，∴，AC是优弧BC所在圆的直径。取AC的中点O，连接OB（提示：作辅助线，分割图形），则（关键点：求半径），，∴，，∴． 名师讲方法 15.或 【解析】∵，∴点E在以点A为圆心，3为半径的圆上运动（提示：确定点E的运动路径），如图（1），则DE与相切于点E，即时，的度数最大，此时．当点E在AD下方时，如图（2），过点E作于点F．∵，，∴．又，∴，∴，∴，∴，，∴，∴．当点E在AD上方时，如图（3），过点E作交BA的延长线于点G，同理易求，，∴，∴．综上可知，BE的长为或． 名师讲方法 与相切相关的最值问题 前提条件 定线段AB在外，点C为上一动点，过点B作于点H． 问题 求BH的最大值、最小值；求AH的最大值、最小值。 分析 由，可知，最小时，BH最小，AH最大；最大时，BH最大，AH最小。 分情况讨论 最小时 最大时 AH与在点O下方相切于点C，可得BH最小，AH最大。 AH与在点O上方相切于点C，可得BH最大，AH最小。 16.【参考答案及评分标准】 （1）原式（3分） ．（5分） （2）解不等式①，得，（2分） 解不等式②，得，（4分） ∴原不等式组的解集为．（5分） 17.【参考答案及评分标准】 （1）91 92.5 90（6分） 补全条形统计图如图所示。（7分） 解法提示：根据九（2）班20名学生成绩，可知，， ∴． ∵， ∴将九（2）班20名学生成绩由低到高排列，第10名和第11名学生成绩分别为90分和95分， ∴． 根据九（6）班20名学生成绩可知，90分的学生有7人，95分的学生有6人。 （2）九（2）班的成绩更好一些。（8分） 理由：九（2）班和九（6）班的平均成绩相同，但九（2）班成绩 的中位数和众数都比九（6）班高。因此九（2）班的成绩更好一些。（9分） 18【参考答案及评分标准】 （1）证明：如图（1），连接AC． ∵四边形ABCD是菱形，∴，．（2分） 又∵，∴， ∴四边形ANMC是平行四边形，∴．（4分） （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分，． 如图（2），过点E作于点F． 又∵，∴（依据：角平分线的性质定理）。（6分） ∵，，， ∴点F，E，Q共线，∴．（7分） ∵，，∴． 过点A作于点G，则，， ∴．（9分） 19.【参考答案及评分标准】 设米。 ∵，∴，（2分） ∴，即， ∴，（4分） ∴．（5分） ∵，∴， ∴，即（7分） 解得． 答：大灯高度GF约为15米。（9分） 20.【参考答案及评分标准】 （1）将代入，得，解得，（2分） 故直线PA的表达式为． 令，得，解得， ∴．（4分） （2）能越过球网。（5分） 理由；设乒乓球第一次弹起后的运动轨迹所在抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得， 故抛物线的表达式为．（7分） 将代入，得， 故乒乓球第一次弹起后能越过球网。（9分） 21.【参考答案及评分标准】 （1）在矩形OABC中，∵，，∴，点E的横坐标为4． ∵D是BC的中点，∴． ∵双曲线经过点，∴，（2分） 故反比例函数的表达式为． 把代入，得， ∴点E的坐标为．（4分） （2）方法一：如图（1），过点F作于点P． ∵，∴，∴． ∵， ∴设，，∴．（6分） 由勾股定理，得， ∴，∴，∴， ∴， ∴．（9分） 方法二：如图（2），过点B作，交OF的延长线于点G，过点G分别作于点H，轴于点I， 则，四边形ICHG是矩形， ∴，，， ∴，∴．（6分） ∵，∴，∴． 又，∴，∴，， ∴，，∴．（8分） ∵，∴，∴．（9分） 22.【参考答案及评分标准】 （1）37（4分） 解法提示：当时，点P与点C重合，此时． 当时，． 又，∴是等边三角形，∴． 当时，点P与点A重合，∴． （2）点，，的图象如图（1）所示。（6分） （3）①（8分） 解法提示：当是等边三角形时，边长为7，如图（2），设的外接圆的圆心为O，过点O作于点H，连接OB，则，， ∴， ∴的外接圆的直径为． ②2.3（写为2.2或2.4也可）（10分） 解法提示：由题意可知，，且点P不与点C重合，由的图象与直线的交点坐标，可知（写为2.2或2.4也可） 23.【参考答案及评分标准】 （1）①（或）（1分） 解法提示：∵，， ∴，∴． ②．（2分） 证明：∵，∴，∴． 又，，∴， 又，∴．（4分） （2）补全图形如图（1）所示． ∵，， ∴四边形AEDF是平行四边形，∴， ∵，，∴四边形AGDC是平行四边形， ∴，∴．（6分） 由（1）②可知，， ∴．（8分） （3）的值为或．（10分） 解法提示：如图（2），过点D作于点G，则， ∴． 设的面积为a，的面积为b， 根据（2）中结论可知，∴． ∵，∴，∴． 方法一：易知a，b是方程的两个实数根（提示：利用一元二次方程根与系数的关系）， 解方程，得，， ∴，或，． 方法二：， ∴． 当时，结合，解得，． 当时，结合，解得，． ∵，， ∴，， ∴，∴（提示：相似三角形的面积比等于相似比的平方）， ∴或．（10分） 学科网（北京）股份有限公司 $