2025年上海春考数学模拟试卷2-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

上海春考数学模拟试卷2 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分。 1．记是虚数单位，设复数 且，则复数的虚部为 . 【答案】 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解. 【解析】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 2．曲线在处的切线方程为 【答案】 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【解析】因为，所以， 当时，，所以曲线在处的切线斜率为， 当时，，所以切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为：. 故答案为：. 3．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 4．“函数是奇函数”的充要条件是实数 ． 【答案】0 【分析】结合三角函数奇偶性、幂函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解. 【解析】若函数是奇函数， 则当且仅当， 也就是恒成立，从而只能. 故答案为：0. 5．若，则 . 【答案】 【分析】根据二项式定理中的二项展开式通项公式即可求解 【解析】的展开式通项是：， 依题意得，，即，所以， 故答案为： 6．设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为 . 【答案】21 【分析】由题意可得，再由，可得，求解即可得答案. 【解析】解：设等差数列的公差为， 由，得， 得，由于，得， 由， 得， 即， 整理，得， 得， 解得，且， 则的最大值为21. 故答案为：21 7．已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【解析】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 8．设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立求出点坐标，再结合已知求出双曲线的离心率. 【解析】抛物线的焦点，直线不垂直于轴，设其方程为， 由消去得：，设，则， 由，得，由对称性不妨令点在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为：    9．如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    【答案】 【分析】先求出面积的表达式，再根据基本不等式即可得解. 【解析】由题意米， 则直角梯形花坛的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，直角梯形花坛的面积最大． 故答案为：. 10．如图所示，将棱长为1的正方体截去一个三棱锥得到多面体，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为 ． 【答案】 【分析】分析可知球O半径最大时，球O与平面ABCD，平面，平面，平面均相切，进而结合正方体的几何特征列式求解即可. 【解析】如图，设球心为O，半径为r， 由题可知，球O半径最大时，与平面ABCD，平面，平面，平面均相切， 设球O与平面ABCD相切于点H，与平面相切于点，则为的中心， 可知，，可得， 由，可得，解得. 故答案为：. 11．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【解析】由题意，设， 则，即， 又向量在方向上的投影分别为x，y，所以， 所以在方向上的投影， 即, 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，求出时，过原点且与相切的切线斜率，以及 过原点且与相切的切线斜率，进而可得两切线互相垂直，即可求解. 【解析】当时，过原点作的切线， 设切点， 则切线方程为， 又切线过点，所以，所以， 设，则， 故为增函数，且， 所以， 当时，过原点作的切线， 设切点， 则切线为，又切线过点， 所以，又， 因为，所以两切线垂直，所以，即， 故答案为：. 二、单选题（本大题满分18分）本大共4题，13-14选对每个得4分，15-16每个选对得5分。 13．若向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先证明充分性，然后构造反例说明条件不是必要的. 【解析】当时，，所以，故条件是必要的. 当时，有，但此时，故，所以条件不是充分的. 故选：B. 14．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（   ） A．7 B．7.5 C．7.8 D．8 【答案】B 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【解析】由于 样本数据的第60百分位数值是：小时； 故选：B 15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台体的体积公式，以及相似比性质，结合换元思想来求解即可. 【解析】设米斗的上底面边长为，高为，则米斗的下底面边长为， 故，得． 设米的深度为，半斗米所形成的正四棱台的下底面边长为， 则，则， 则， 得，则， 化简得．令， 则，， 即，则， 故选:A． 16．数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（    ） （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2） 【答案】D 【分析】对于（1），由分析判断，对于（2）利用基本不等式结合已知条件分析判断，对于（3）将以为圆心，1为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可，对于（4）结合（2）考虑曲线在第一象限是否经过整点进行分析判断. 【解析】对于（1），因为，所以与异号，所以表示的曲线在第二和第四象限，所以（1）正确， 对于（2），设曲线上一点，则其到原点的距离为， 考虑到该图形对称性，故研究第一象限的点， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1，所以（2）正确， 对于（3），以为圆心，1为半径的圆的面积为，由（2）知曲线在圆内部， 所以曲线构成的四叶玫瑰线面积小于，所以（3）错误， 对于（4），由（2）可知曲线在圆内部，而圆内在第一象限无整点， 所以曲线在第一象限没有经过整点， 由曲线的对称性可知，曲线在其它象限也没有经过整点， 所以由图可知曲线只经过整点，所以（4）错误， 故选：D 三、解答题（第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，满分78分） 17．已知数列的首项，且满足，设. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)2024 【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可； （2）利用分组求和的方法得到，然后利用的增减性解不等式即可. 【解析】（1）证明：由，得， 所以 ， 又，所以数列为首项为，公比为等比数列. （2）由（1）知，数列为首项为，公比为等比数列，且， 所以 ， 即， 所以， 而因为在上均单调递增， 则随着的增大而增大， 要使，即，则， 即的最小值为2024. 18．如图，三棱锥中，平面平面，，． (1)证明：； (2)若侧面是等边三角形，点满足，过两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理和面面垂直性质可分别证得，由线面垂直的判定与性质可证得结论； （2）由线面平行性质可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可构造方程求得结果. 【解析】（1），，由余弦定理得：， ，即， 作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； ，平面，平面， 平面，. （2），平面平面，， 又， 以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ，， ，， 设平面，即平面的法向量， 则， 令，解得：，，， 直线与平面所成角为， ， 解得：，满足，. 19．已知函数，. (1)若，求的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)单调增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）代入参数值，求导函数，解导函数大于0的不等式，得出增减区间； （2）求导函数，得到增减区间，求得最小值；由题意建立不等式，构建对应函数，由导函数求得单调区间得最小值再建立不等关系，得到范围. 【解析】（1）当时， 时，，时，； 的单调增区间为，单调减区间为 （2） 时，，时， 又， 令 则，显然单调递减，且， 必然存在唯一使得 当，，单调递增， 当，，单调递减 由于时，，成立 当时，单调递减，且，因此成立 综上，成立的范围为 20．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 (2)证明见解析 (3)是，． 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【解析】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 21．若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质． (1)函数与是否具有性质？并说明理由． (2)已知函数与具有性质． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）借助导数研究函数的单调性后，结合零点的存在性定理即可得其极值点及极值点范围或具体值，即可得解； （2）（i）利用导数研究函数的单调性后，分及可得其是否存在极值点，在存在唯一极值点的情况下，再对细分，结合零点的存在性定理讨论不同的的情况下不同的极值点的范围，结合进行计算即可得解； （ii）分及进行讨论，结合极值点满足的条件及所得函数单调性进行放缩处理即可得. 【解析】（1）函数与具有性质，理由如下： ，令， 则，故单调递减， 又，， 故存在，使， 则在上单调递增，在上单调递减， 故有且仅有一个极值点， ，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故有且仅有一个极值点， 故函数与具有性质； （2）（i）， 又，故， 当时，，此时没有极值点，故舍去， 当时， 令， 则恒成立， 故在上单调递增， ，，故， 由，令， 则恒成立， 故在上单调递减， 当时，有，又时，， 故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增， 则有唯一极值点， 有，又时，， 故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减， 则有唯一极值点， 即有，， 即，，此时需满足，则， 故有，即，即，故符合要求； 当时，，又时，， 故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增， 则有唯一极值点， 有，又时，， 故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减， 则有唯一极值点， 同理可得，此时需满足，即，则， 由，，故该不等式成立，故符合要求； 当时，有，， 此时，即、的极值点都为，不符合要求，故舍去； 综上，故； （ii）当时，有，则，故， 在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，则，令， 则，故在上单调递增， 则， 故，要证，只需证， ， 即当，有； 当时，有，则，即， 在上单调递增，在上单调递减， 则， 即要证，只需证， ， 即当，有； 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于分及进行讨论，从而可得不同的的情况下不同的、的范围，结合放缩进行推导. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海春考数学模拟试卷2 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分。 1．记是虚数单位，设复数 且，则复数的虚部为 . 2．曲线在处的切线方程为 3．已知，且，则的最小值为 ． 4．“函数是奇函数”的充要条件是实数 ． 5．若，则 . 6．设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为 . 7．已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 8．设双曲线（）的右顶点为F，且F是抛物线的焦点．过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为 ． 9．如图，某人沿围墙修建一个直角梯形花坛，设直角边米，米，若米，问当 米时，直角梯形花坛的面积最大．    10．如图所示，将棱长为1的正方体截去一个三棱锥得到多面体，在该多面体内放入一个球，则球的半径的最大值为 ． 11．已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为 . 12．如图，对于曲线所在平面内的点，若存在以为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点，恒有成立，则称角为曲线的相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线的相对于点的“确界角”.已知曲线：（其中是自然对数的底数），为坐标原点，曲线的相对于点的“确界角”为，则 . 二、单选题（本大题满分18分）本大共4题，13-14选对每个得4分，15-16每个选对得5分。 13．若向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（   ） A．7 B．7.5 C．7.8 D．8 15．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（    ） A． B． C． D． 16．数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（    ） （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2） 三、解答题（第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，满分78分） 17．已知数列的首项，且满足，设. (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最小正整数． 18．如图，三棱锥中，平面平面，，． (1)证明：； (2)若侧面是等边三角形，点满足，过两点作平面，满足直线，设平面与交于点，直线与平面所成角为，求的值． 19．已知函数，. (1)若，求的单调区间； (2)若，求的取值范围. 20．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21．若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质． (1)函数与是否具有性质？并说明理由． (2)已知函数与具有性质． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$