2025年上海春考数学模拟试卷1-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

上海春考数学模拟试卷1 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）共12题，1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分。 1．已知集合，，则 ． 2．已知锐角满足，则 ． 3．函数的定义域是 ． 4．已知为虚数单位，复数满足，则 . 5．在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 6．一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 7．已知向量，则在上的投影向量的坐标为 . 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为 ． 9．灯塔是海岸、港口或河道用来指引船只方向的建筑物，常用来标志危险的海岸、险要的沙洲或暗礁以及通往港嘴的航道.如图，灯塔P到航道的距离为20海里，且该灯塔的照明半径为25海里.为确保航道安全，需要在Q处新建一座灯塔，其中海里，且∥.若要两座灯塔在航道上的照明距离不低于70海里，则新建灯塔的照明半径至少为 海里. 10．定义在上的偶函数满足，则 ； . 11．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 12．设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 二、单选题（本大题满分18分）本大共4题，13-14选对每个得4分，15-16每个选对得5。 13．若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 15．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 三、解答题（第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，满分78分） 17．如图平面．    (1)若平面，证明：； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值． 18．设函数，若函数在处取得极小值8. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； (3)证明：曲线是中心对称图形. 19．某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记 (1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好 ，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB； (2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值. 20．已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 21．已知函数及其导函数的定义域都为，设直线：是曲线的任意一条切线，切点横坐标为，若，当且仅当时“=”成立，则称函数满足“性质”. (1)判断是否满足“性质”，并说明理由； (2)若是单调增函数，证明：满足“性质”； (3)若函数满足“性质”，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海春考数学模拟试卷1 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题满分54分）共12题，1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分。 1．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】由对数函数的定义域得到集合，再由集合的交集运算得到. 【解析】，所以， 故答案为： 2．已知锐角满足，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将切化弦，解得即可. 【解析】因为，所以，因为为锐角，，， 所以，所以或（舍去）． 故答案为： 3．函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得出，结合对数函数的单调性求解即可. 【解析】函数的定义域是： ，解得：. 故答案为：. 4．已知为虚数单位，复数满足，则 . 【答案】 【分析】根据题意化简出，利用复数的除法运算，即可得答案. 【解析】由复数满足， 化简得. 故答案为： 5．在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 【答案】2 【分析】先由二倍角公式和余弦定理得，从而解得. 【解析】根据题意，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 即解得或（舍）， 所以. 故答案为：2 6．一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是 ． 【答案】 【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从名裁判员中选人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率. 【解析】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数. 因为男裁判员担任主裁判，所以先从名男裁判员中选名作为主裁判，有种选法.后有两种情况. 从名女裁判员中选名作为助理裁判，有种选法. 从名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从名男裁判员中选1名作为助理裁判， 有种选法. 根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为种. 再计算从名裁判员中选人的总情况数. 从名裁判员中选人作为裁判，总数为种. 所求概率. 故答案为：. 7．已知向量，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算计算，利用投影向量的公式即可计算结果. 【解析】由题意得，，，， 所以在上的投影向量为. 故答案为：. 8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱与球体的位置关系及球的对称性求圆柱底面半径，再由圆柱侧面积的求法求结果. 【解析】由题设，已知球为圆柱的外接球，且球体半径，圆柱高为， 根据球的对称性，圆柱底面半径为， 则圆柱侧面积. 故答案为： 9．灯塔是海岸、港口或河道用来指引船只方向的建筑物，常用来标志危险的海岸、险要的沙洲或暗礁以及通往港嘴的航道.如图，灯塔P到航道的距离为20海里，且该灯塔的照明半径为25海里.为确保航道安全，需要在Q处新建一座灯塔，其中海里，且∥.若要两座灯塔在航道上的照明距离不低于70海里，则新建灯塔的照明半径至少为 海里. 【答案】 【分析】如图，设直线与圆的交点为，与圆一个交点为，先判断圆过点时，灯塔的照明范围，范围小于70，则可得点在圆内，然后求出，利用弦，半径和弦心距的关系可求得答案. 【解析】如图，设直线与圆的交点为，与圆一个交点为， 设新建灯塔的照明半径为时，， 分别过作，垂足分别为， 则， 如图，以为圆心的灯塔的照明范围为， 因为圆的半径为25，所以， 由下图分析可知当圆刚好点时，则， 此时，即两座灯塔在航道上的照明距离为60海里，不合题意， 所以圆半径需增大， 则， 所以， 所以新建灯塔的照明半径至少为海里. 故答案为： 10．定义在上的偶函数满足，则 ； . 【答案】 【分析】在中令即可得的值；结合函数的偶函数性质与，换元转化可得函数是周期为的函数，赋值求解的值，从而求得的值，由周期即可得所求. 【解析】因为，令可得，，所以； 函数为偶函数，则， 因为，所以，则， 又，所以，则有， 因此可得，故函数是周期为的函数； 在中，令可得， 又，所以， 令可得，又，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 11．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【解析】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 12．设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为 ． 【答案】 【分析】由正弦函数的性质确定t的可能取值，按照t的取值分类讨论，即可求解. 【解析】由函数的性质可得，若原方程的非负解从小到大可以组成一个无穷等差数列， 可得或， 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最大值点， 所以，所以，该方程无解； 同理当时，也不合题意； 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最零点， 所以，所以； 故答案为：. 二、单选题（本大题满分18分）本大共4题，13-14选对每个得4分，15-16每个选对得5。 13．若实数，则下列不等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，利用特殊值判断C，根据幂函数的性质判断D. 【解析】因为在定义域上单调递减且，所以，故A正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故B正确； 当时，，故C不正确； 因为在定义域上单调递增且，所以，故D正确. 故选：C. 14．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件与互斥，与相互对立 B． C．但不满足两两独立 D．且两两相互独立 【答案】C 【分析】明确事件，，所包含的样本点，根据互斥、对立、独立事件的概念判断各选项是否正确. 【解析】因为事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：. 因为事件，都包含样本点2,3，所以，不互斥，故A错误； 因为所含的样本点为：，所以，故B错误； 因为所含的样本点为：，所以，又，所以. 又事件所含的样本点为：，所以，又， 所以，所以事件不独立，即两两独立错误，所以C正确，D错误. 故选：C 15．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对任意的，当时时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【解析】， 所以得. 进而， 故， 由于对任意的，当时， 恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在单调递减， 所以其中，解得. 故选：B 16．有一袋子中装有大小、质地相同的白球k个，黑球.甲、乙两人约定一种游戏规则如下：第一局中两人轮流摸球，摸后放回，先摸到白球者本局获胜但从第二局起，上一局的负者先摸球.若第一局中甲先摸球，记第局甲获胜的概率为，则关于以下两个命题判断正确的是（    ） ①，且； ②若第七局甲获胜的概率不小于0.9，则不小于1992. A．①②都是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】分别计算在第一局中：摸1次，摸3次，，摸次甲获胜概率，可得，从而求得，由于第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球，可得，利用数列求通项公式的构造法，可得是首项为，公比为的等比数列，求出，解不等式即可求解. 【解析】第一局：摸1次甲获胜概率为：，摸3次甲获胜概率为：， 摸5次甲获胜概率：，摸7次甲获胜概率：，， 摸次甲获胜概率： ， 所以， 所以， 第局甲获胜包括两种情况：第局甲赢且第局甲后摸球和第局甲输且第局甲先摸球， 则，故①正确； 由，设，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以，即， 即，即，即， 则，即，解得， 所以不小于1992，所以②正确. 故选：A 三、解答题（第17～19题每题14分，第20～21题每题18分，满分78分） 17．如图平面．    (1)若平面，证明：； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到，从而证明出线面垂直，得到⊥，再由线面平行的性质得到，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量坐标，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角余弦公式即可求出面面角的夹角余弦值. 【解析】（1）因为，故， 所以⊥， 又平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 因为平面，平面，平面 平面， 所以， 因为⊥， 所以； （2）由（1）知，⊥，又，故， 因为， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以⊥， 过点作⊥于点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 设平面和平面夹角为， 则. 18．设函数，若函数在处取得极小值8. (1)求的值； (2)求函数在上的最大值和最小值，以及相应x的值； (3)证明：曲线是中心对称图形. 【答案】(1)，. (2)，最小值为8，，最大值为24. (3)证明见解析 【分析】（1）根据极值点及极值可求的值； （2）根据导数可得单调性，从而可求何时取何最值； （3）可证曲线上任意点关于的对称的点仍在曲线上，从而可得曲线的对称性. 【解析】（1）， 由题意函数在处取得极小值8得， 解得，. 此时， 当或时，，当时，， 故为的极小值点，故，满足条件. （2）由（1）分析列表得： x 0 2 3 - 0 + 24 单调递减 8 单调递增 15 所以当时取得最小值为8，时取得最大值为24. （3）曲线的对称中心为，证明如下： 设点为曲线上任意一点，则点关于(0，24)的对称点为， 因为在图象上， 所以. 又. 所以点也在的图象上. 所以曲线是中心对称图形. 19．某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记 (1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好 ，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB； (2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值. 【答案】(1) 米 (2)（）米 【分析】（1）通过解直角三角形，分别求出，即可求得本题答案； （2）用表示，利用换元法并结合函数的单调性，求出的最小值，即可得到大卡车车长的最大值. 【解析】（1）如图 所示， 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ， 因为 ，所以 ，  在中，， 在中， 在中，，在 中，， 所以 米. （2）因为 ，所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 易知 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上单调递减， 所以当 ，即 时， 取得最小值 .所以最终符合条件的大卡车车长最大值为 （）米. 20．已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为. (1)求抛物线的方程； (2)过曲线上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线于（异于点）两点，求证：直线恒过定点； (3)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形面积求出，得出抛物线方程； （2）设直线方程为,直曲联立，由韦达定理得到，由两条直线垂直，借助.得到关系式代入得定点. （3）利用重心的性质可得，再由直线与抛物线联立，利用根与系数的关系化简，由均值不等式及不等式的性质求值域即可. 【解析】（1）当时，，，所以， 由题意可知，， 所以，所以抛物线的方程为 （2）根据题意,设直线方程为,联立，得到，所以，由于两条直线垂直，则. 即 化简整理得到所以，代入得，故直线恒过定点. （3）如图， 设， 因为为的重心， 所以； 因为， 且..； 所以； 设，与联立得：，所以， 所以，则； 所以； 所以的取值范围为. 21．已知函数及其导函数的定义域都为，设直线：是曲线的任意一条切线，切点横坐标为，若，当且仅当时“=”成立，则称函数满足“性质”. (1)判断是否满足“性质”，并说明理由； (2)若是单调增函数，证明：满足“性质”； (3)若函数满足“性质”，求实数的取值范围. 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）满足“性质”，求导，设曲线的一条切线切点为，根据定义判断即可； （2）设直线是曲线的任意一条切线，切点为，求得切线方程依据定义判断即可； （3）当时，令，求导，根据（2）可判断满足“性质”，证明当时，函数不满足“性质”. 【解析】（1）满足“性质”，理由如下： 因为，设曲线的一条切线，其切点为， 则直线的方程为：， 因为， 当且仅当时“”成立， 由的任意性可知，满足“性质”. （2）设直线是曲线的任意一条切线，切点为， 则直线的方程为：， 设，则， 因为是单调增函数， 则当时，，递减，； 当时，，递增，； 即对任意，，当且仅当时取等号. 由的任意性可知，函数满足“性质”. （3）①当时， 因为，设， 因为， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 由（2）可知，函数满足“性质”. ②下证当时，函数不满足“性质”. 方法一：设直线与曲线切于点， 则直线的方程为：， 设，根据“性质”的定义，要证不满足“性质”， 只要证存在，使得. 因为， 设，则， 设，则递增，且， 所以当时，，递减； 当时，，递增； 因为，， 所以存在，使得，且当时，， 取，则当时，，递减，即递减， 此时，，在上递减，所以， 所以当时，函数不满足“性质”. 综上，实数的取值范围为. 方法二：考虑曲线在处的切线方程为. ，导函数， 在上单调递增，，， 所以存在，使得， 所以时，，单调递减， 又，所以时，，单调递减， 又，所以时，， 即不恒成立， 所以当时，函数不满足“性质”. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：考查函数的新定义，正确理解其含义，与所学知识结合才能正确解题，要求有极强的分析问题解决问题的能力，运算能力要求高. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$