精品解析：江苏省常州市金坛区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年江苏省常州市金坛区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 3. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一 定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250 元，衬杉的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取、的中点P、Q，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 方程的根是_________． 10. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______． 13. 一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______． 14. 如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________． 15. 如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 16. 如图，是的直径，是的半径，垂直于弦，垂足为．若，，则______． 17. 如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是______． 18. 如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是______． 三、解答题：本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加．2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．设的长是． AI （1）填空：______； （2）若羊圈的面积是，求的值． 23. 如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若，，，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针方向旋转，与、轴分别交于点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求直线的函数表达式： （3）P是直线上一个动点，以点为圆心，长为半径作，若与的一边所在直线相切，求点的坐标． 25. 在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”． （1）已知点． ①在点，，，中，线段OA的“等距点”是______； ②若点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标； （2）已知点，点，图形W是以点为圆心，1为半径的位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省常州市金坛区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 2. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 3. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 4. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施，假设在一 定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250 元，衬杉的单价降了x元，那么下面所列的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可. 【详解】解：设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40-x）=1250， 故选D. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程 5. 如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题的关键． 6. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及直角三角形中两个锐角互余．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，得，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，即得． 【详解】解：经过圆心． 是的直径， ∴， ∵， ， ∴， 故选：D． 7. 如图，是的切线，为切点，连接．若，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线的性质及正切的定义得到，再根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵是的切线，为切点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴在，， 故选． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，．将绕点B旋转得到，分别取、的中点P、Q，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案． 【详解】解：取的中点F，连接， 根据勾股定理得：， 、分别是、的中点， ，， 当、F、三点共线时，取到最大值和最小值， 的最小值为，的最大值为， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是. 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 方程的根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用直接开方法进行求解即可． 【详解】解：， 解得； 故答案为： 10. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根． 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 11. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即的取值范围为． 故答案为：． 12. 若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式． 故答案为：7． 13. 一个直角三角形的两条边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是______． 【答案】6或 【解析】 【分析】先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解． 本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键． 【详解】解：， 或 或． ①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是； ②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是． 故答案为：6或． 14. 如图，四边形内接于圆，若，则的度数是________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 15. 如图，已知正六边形的边长为2，以点E为圆心，长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多形的内角和和内角以及弧长公式，根据六边形是正六边形，根据正多边内角和等于，求出内角，再根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，是的半径，垂直于弦，垂足为．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理和垂径定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据圆周角定理推论得，根据勾股定理得，根据垂径定理得是的中点，再根据三角形中位线定理得，即可得出答案． 【详解】解：是的直径， ， ，， ， ， 是的半径，垂直于弦，垂足为， ∴D是的中点， 是的中点， ， ． 故答案为：4． 17. 如图，已知，点O在上，且，以点O为圆心，r为半径画．若与射线有1个公共点，则r的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是掌握若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．分两种情况讨论：①当与相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；②当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，圆的半径大于． 【详解】解：①如图，当与相切时，与射线有1个公共点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 即圆的半径是4； ②如图，当和射线相交，但另一个交点在的延长线上时，与射线有1个公共点， 点在内， 半径， 综上可知，与射线有1个公共点，则r的取值范围是或， 故答案为：或． 18. 如图，，半径为3的与的两边相切，点P是上任意一点，过点P向的两边作垂线，垂足分别是E、F．设，则p的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得，再求得，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：设与两边的切点分别为、，连接、，延长交于点， 由切线的性质可得， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， ，， 如图，延长交于点， 同理可得，是等腰直角三角形， ， ， ， 当与相切时，有最值，连接， 、都是切点， ， ， ，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的最大值为； 如图， 同理可证，，四边形是正方形， 的最值为； 综上，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，估算无理数的大小等知识，证明，并且当与相切时，有最大或最小值是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）移项后直接开平方解一元二次方程即可； （2）因式分解解一元二次方程即可； （3）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （4）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 20. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）5或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解． （1）由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式的意义得到，解关于的不等式即可； （2）根据根与系数的关系，，代入代数式求出的值即可． 【小问1详解】 关于的一元二次方程的两个实数根为，且． ， ， 解得． 所以的取值范围为； 【小问2详解】 由题意可得：，， 又， ， ， 解得，， 又， 的值为5或． 21. 某学校为建设“书香校园”，购买图书的费用逐年增加．2020年购书费用为5000元，2022年购书费用为7200元，求2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设年平均增长率为，2022年购书费用年购书费用，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设年平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．设的长是． AI （1）填空：______； （2）若羊圈的面积是，求的值． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及列代数式，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． （1）根据栅栏总长列式即可； （2）利用矩形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：设的长是，则 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， ∴的值为或． 23. 如图，在中，，O为上一点，以O为圆心，为半径作交于另一点D，E为上一点，且． （1）判断与的位置关系，说明理由； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 解：是的切线；理由如下： 连接，如图1所示： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质证得，则可得出结论； （2）连接，求出，设，则，由勾股定理求出x的值，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图2， ∵， ∴ ∵， ∴ 设则 ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的判定是解此题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针方向旋转，与、轴分别交于点、． （1）直接写出点、的坐标； （2）求直线的函数表达式： （3）P是直线上一个动点，以点为圆心，长为半径作，若与的一边所在直线相切，求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）在中，令得，令得，即可得，； （2）求出，，用待定系数法可得直线的函数表达式； （3）设，则，①当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，，②当以点为圆心，长为半径的与直线相切时，，解方程求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，令得，令得， ，； 【小问2详解】 直线绕点顺时针方向旋转，与、轴分别交于点、， ，， ，， 设直线的函数表达式为， ，解得， 直线的函数表达式； 【小问3详解】 设， ， ， ①当以点为圆心，长为半径的与直线相切时， ，解得， ； ②当以点为圆心，长为半径的与直线相切时， ， 解得或， 或， 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 25. 在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”． （1）已知点． ①在点，，，中，线段OA的“等距点”是______； ②若点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标； （2）已知点，点，图形W是以点为圆心，1为半径的位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①；②或； （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可求解； （2）求得，根据定义作出图形，图形W上存在线段DE的“等距点”，则与线段，有交点，进而即可求解． 【小问1详解】 ①如图， ， ， 点，，，， ， 是线段OA的“等距点”； ②如图，根据定义可知，点C在直线上，并且点C是线段OA的“等距点”， ，且在上， ， ， 解得， 或； 【小问2详解】 点，点 如图，根据定义，以为半径，D,E为圆心，作，分别交轴负半轴，轴正半轴于点，则，设与正半轴交于点， ，上的点到的距离为 图形W上存在线段DE的“等距点”，则与线段，有交点 根据题意可知， 当半与只有一个交点时，在负半轴时，， 当在正半轴时，， 当与内切时， 当与外切时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理求两点距离，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $