专题07 锐角三角函数（考点串讲，4大考点+9大题型突破+1大技巧突破+1大易错剖析+5道期末预测）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题07 锐角三角函数 苏科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 4大常考点：知识梳理 9大题型典例剖析+大技巧 1大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目录 考点一 锐角三角函数相关概念 考点二 三角函数 考点三 解直角三角形 考点四 解直角三角形的应用 考点一 锐角三角函数的相关概念 1．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB C B 3．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． D 考点二 三角函数 1．计算的结果，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（    ） A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形 C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形 3 ．在中，，，则的值为（　　　） A． B． C． D．2 4．如果，那么与的差（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 B B A B 考点三 解直角三角形 1．如图，是的高，若，，则边的长为（    ） A． B． C． D． D 2．如图，在菱形中，，，，则的值是(    ) A． B．2 C． D． B 考点四 解直角三角形 1 如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【详解】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，BO=AB•sinα=300sinα米．故选A． 2 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为___________ 【详解】在Rt△ABD和Rt△ABC中，AB＝a，tanα＝，tanβ＝， ∴BC＝atanα，BD＝atanβ， ∴CD＝BC+BD＝atanα+atanβ，故选C． 考点四 解直角三角形 4 如图，海面上一艘船由西向东航行，在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为，再向东继续航行到达处，测得该灯塔的最高点的仰角为．根据测得的数据，计算这座灯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，． 【详解】 解：如图，根据题意，，，，． ∵在中，，∴． ∵在中，，∴． 又，∴． ∴． 答：这座灯塔的高度约为45m． 考点四 解直角三角形 3 如图，竖直放置的杆，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得为10米，为8米，斜与地面成30°角，则杆的高度为（ ）米． A． B． C．8 D．6 【详解】 解：如图：延长AB交水平线于点E,过C作DE的垂线,垂足为F,则CF=BE,BC=EF ∵∠CDE=30°，CD=8 ∴CF=CD·sin30°=8=4，DF=CD·cos30°=8= ∴DE= EF+DF=10+又∵1米的杆影长恰好为1米 ∴AE:DE=1:1，即AE=DE=10+ ∴AB=AE-BE=10+-4=6+． 故答案为A． 考点四 解直角三角形 5．小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机看建筑物顶部的仰角为，看底部的俯角为，无人机到该建筑物的水平距离为米，求该建筑物的高度．（结果保留根号） 【详解】由题意可知，，，， ∴ ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴（米）， ∴米． 考点四 解直角三角形 6．如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为 m． 7．在坡道两旁种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，若测得坡道的坡度为，则相邻两树间的坡道距离为 ． 20 题型剖析 题型一：求一个角的正弦、余弦、正切值 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，．下列四个选项，正确的是（    ） A． B． C． D． D C 题型剖析 题型二：根据正弦、余弦、正切的定义求边长 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　） A． B． C． D． 2．在中，，若，则的值为(    ) A． B． C． D． 3．在中，，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． D D D 题型剖析 题型三：根据特殊角的三角函数值求解 1．（22-23九年级上·江苏南京·期末） （1）计算： （2）计算． 【详解】解：（1）原式． （2）． 题型剖析 题型四：根据特殊角的三角函数值求角度 1．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的度数是 ． 【详解】解：∵ ，，都是锐角， ∴，∴， 故答案为：． 2．（2022·湖北黄冈·模拟预测）在中，如果满足，则 ． 【详解】解：，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型剖析 题型五：已知角度比较三角函数值大小 1．三角函数之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． A 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小（用连接），，， ． 3．（2020·江苏扬州·一模）比较大小： （填“”、“”或“”）． 题型剖析 题型六：根据三角函数值判断锐角的取值范围 1．已知，那么锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知为锐角，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．锐角α满足，且，则α的取值范围为（　　） A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60° D D B 题型剖析 题型七：利用同角的三角函数值求解 1．在中，，，则的值为（　　　） A． B． C． D．2 2．在中，，，则值为（　　） A． B． C． D． 3．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． A A C 题型剖析 题型八：构造直角三角形中直接解直角三角形 1．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．4 D．5 D 2．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． B 题型剖析 题型九：网格中解直角三角形 1．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图． 则DE∥AB， ∴∠APC＝∠EDC． 在△DCE中，有，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝． 故选：B． 题型剖析 题型九：网格中解直角三角形 2．如图，在4×4正方形网格中，点为网格交点，，垂足为，则 (1) ； (2) ． 【详解】（1）解：如图，连接， 根据题意得：， 而， ∵，∴，解得：， ∴， （2）设，则， ∴， ∴．故答案为： ，． 技巧突破 技巧一：网格中求锐角三角函数值 1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ）   A． B． C． D． B 2．如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C．2 D． D 易混易错 类型一：误认为三角函数值与三角形各边的长度有关 1．在中，各边都扩大5倍，则∠A的三角函数值（    ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 A 押题预测 1．（23-24九年级上·江苏·期末）若α，β为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题： (1)求的值； (2)若A，B为锐角且时，求的值； (3)求的值． 【详解】（1）（1）； （2）当时，， 即 ； （3）由（2）可知，， ∴原式． 2．（23-24九年级上·江苏·期末）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为． (1)当时，求话筒到地面的高度； (2)落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：） 【详解】（1）解：如图所示，过点作，于点， ∵ ∴, 又， ∴筒到地面的高度为； 2．（23-24九年级上·江苏·期末）图1为放在水平地面上的落地式话筒架实物图．图2为其示意图，支撑杆垂直于地面，，斜杆连接在支撑杆顶端处，，其中的长度可通过斜杆的滑动来进行调节，斜杆还可以绕着点旋转，且与支撑杆的夹角为． (1)当时，求话筒到地面的高度； (2)落地式话筒可以根据使用者的身高需要调节的长度和夹角的度数，某运动员使用落地式话筒的适合高度是，请问该话筒的高度能否满足这名运动员的需要，并说明理由．（参考数据：） （2）解：依题意，当，点重合时，，点离地面最高， 此时如图所示，过点作，于点， ∴ ∴ ∴筒到地面的高度为 ∵某运动员使用落地式话筒的适合高度是， ∴该话筒的高度能满足这名运动员的需要． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，位于大同街的钟鼓楼曾是民国时期徐州的最高建筑，某校综合实践小组利用测角仪测量钟鼓楼的高度，测角仪的目镜距离地面，他们在地面处测得钟鼓楼顶部的仰角为，然后沿地面前进至点处，测得点的仰角为，已知． (1)求的长（结果保留根号）； (2)求钟鼓楼的高度（结果精确到）．（参考数据：，） 【详解】（1）如图，过点作于点， 在中，，， ，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：长， （2）在中，，， ， ， ， 故答案为：钟鼓楼的高度为． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，已知锐角． (1)若，，，求的长； (2)求证； (3)若，，直接写出的值． 【详解】（1）解：如图，过点B作于H，   ，，， ，； （2）证明：如图，过点B作于H，过点A作于D，   ，， ， 同理可得：， ； 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，已知锐角． (1)若，，，求的长； (2)求证； (3)若，，直接写出的值． （3）解：如图，过点C作平分，交于E，   ，设，则， 平分，， ，，， 又，， ， ， , ,， ， ， ， ． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0 线与x轴重合，线与y轴重合，、、对应的度数分别是、、（），过点B作x轴的垂线，垂足为． (1) （用含m的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系： （用“<”连接）； (3)请借助该图形，求的值． 【详解】（1）解：由题知，，且为半径长度为， ， ， ． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0 线与x轴重合，线与y轴重合，、、对应的度数分别是、、（），过点B作x轴的垂线，垂足为． (1) （用含m的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系： （用“<”连接）； (3)请借助该图形，求的值． （2）解：过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为R，如图所示： 有、、， ， 、、， ， ． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将半径是1的量角器中心与坐标原点重合，0 线与x轴重合，线与y轴重合，、、对应的度数分别是、、（），过点B作x轴的垂线，垂足为． (1) （用含m的代数式表示）； (2)通过该图形分析，判断、、的大小关系： （用“<”连接）； (3)请借助该图形，求的值． （3）解：如图，过点A作轴，垂足为H，过点C作轴，垂足为I，、相交于点Q． 则四边形是矩形，，． ． ， 又， 是等边三角形． ，． ， ，即的值为． $$