专题05 二次函数（考点串讲，5大考点+7大题型突破+3大技巧突破+3大易错剖析+5道期末预测题）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

九年级数学上学期·期末复习大串讲 专题05 二次函数 苏科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 5大常考点：知识梳理 7大题型典例剖析+3大技巧 3大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目录 考点一 二次函数的相关概念 考点二 二次函数的图像 考点三 二次函数的性质 考点四 二次函数的方程、不等式 考点五 二次函数的应用 【详解】解：（1）∵函数是一次函数， ∴ ，解得：． 即当时，这个函数是关于的一次函数． 考点一 二次函数的相关概念 1.（23-24九年级上·广东惠州·期中）下列函数，，，，中，二次函数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2. （21-22九年级上·山西·期中）若函数是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 3. （20-21九年级·河南许昌·阶段练习）已知函数． （1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数； （2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数． B B （2）函数是二次函数， ∴，解得：且． 即当且时，这个函数是关于的二次函数． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数， 得 ，解得： ， ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 考点一 二次函数的相关概念 4.（23-24九年级上·山东聊城·期中）已知二次函数的图象过点，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求这个二次函数图象的对称轴及顶点坐标． 考点一 二次函数的相关概念 5.（22-23九年级上·广东汕头·期中）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．求m的值及这个二次函数的关系式． 【详解】解：把代入得， 解得； ∵二次函数图象的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以二次函数解析式为． 考点二 二次函数的图像 1．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；，比较a，b，c，d的大小，用“”连接为（   ） A． B． C． D． A 2.（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 3.（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） C 考点三 二次函数的性质 1. 抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是(   ) A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小 2. （2022上·山东济南·九年级统考期末）已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（      ） A． B． C． D． 3.. 抛物线，，的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 B D A 考点三 二次函数的性质 4.下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．抛物线 的对称轴为直线 C．抛物线 在对称轴左侧，即时，y随x的增大而减小 D．抛物线 的顶点坐标为 5.下列关于抛物线判断中，错误的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标 C．与轴的交点为 D．当时，随的增大而减小 C D 考点四 二次函数与方程、不等式 1．二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解为（    ） A．， B．， C．， D．， A 2. 已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 A 考点四 二次函数与方程、不等式 3. 抛物线与x轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B． C．4 D． 【详解】解：， 令，解得， ∴抛物线与轴的两个交点坐标分别为， ∴两个交点间的距离是，故选：C． 4．已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， ∴ ，解得：且； 故答案选：D． 考点四 二次函数与方程、不等式 5．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． A 考点五 二次函数的应用 1 如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积． 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为米 ，∴； ∵，解得：1；∴S与x之间的函数关系式为：，（）； 2）解：由（1）可知，， ∴； ∵-2<0， ∴当时，有最大值，最大值为50； ∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米； 考点五 二次函数的应用 2 如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：  (1)如图2，求该抛物线的函数解析式． (2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号） (3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号） （1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为， ∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．∴点A（-2，-2），B（2，-2），把点A（-2，-2）代入得：，解得：，∴该抛物线的函数解析式为y=； （2）解：∵水面AB下降1米，到CD处，∴点D的纵坐标为-3， 当y=-3时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度增加米； （3）解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，当y=-1时，，解得：，∴此时水面宽度为米，∴水面宽度减少米． 考点五 二次函数的应用 3 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本． (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ (3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？ 【详解】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=﹣5x2+800x﹣27500， ∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）； （2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下． ∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500； （3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90． ∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元． 考点五 二次函数的应用 4 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m. (1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ (2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？ 【详解】解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），   ∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，∴当t=时，y最大=4.5； （2）把x=28代入x=10t得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门． 题型剖析 题型一：用待定系数法求二次函数解析式 1.（2023上·广西防城港·九年级统考期中）已知某二次函数的图象经过点，顶点为，求此二次函数的解析式． 【详解】解：可设所求二次函数解析式为， 把代入得，解得， 此二次函数解析式为， 即． 题型剖析 题型一：用待定系数法求二次函数解析式 2.（2023上·北京西城·九年级北京十四中校考期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数的图象时．列了如下表格： 根据表格上的信息回答问题：一元二次方程的解为（　　） A．， B．， C．， D．， 【详解】解：由题意可知点，，在二次函数的图象上， 则，解得：， 所以一元二次方程可化为：， 解得：，，故选：C． 题型剖析 题型二：二次函数的平移问题 1.（2022上·九年级单元测试）抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（   ） A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度 2.（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． A D 题型剖析 题型二：二次函数的平移问题 3. 要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为 ， ∴，，， ∴， 故答案为：． 题型剖析 题型三：二次函数的对称问题 1. 如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． A 题型剖析 题型三：二次函数的对称问题 2. 如图，在平面直角坐标中，对抛物线在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得的A点的坐标是 ． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 则，点第一次关于轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组， ∵， ∴经过第2023次变换后所得的点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为， 故答案为：． 题型剖析 题型四：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1. 抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 2.若点、都在二次函数的图象上，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 B 【详解】解：∵的对称轴为直线 又点、关于对称、 ∴， 故选：C． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ，解得 ； （2）由（1）知，， ，， 当时，有最小值； 题型剖析 题型五：二次函数的最值 1. 已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求，的值； (2)当时，求的最小值； (3)当时，求的取值范围． （3）如图，当时，，解得或， 当时，，解得或， ∴时，的取值范围为或． 题型剖析 题型五：二次函数的最值 2. 已知二次函数（a为常数，且） (1)若函数图象过点，求a的值； (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值． 【详解】（1）解：函数图象过点，得 ，解得： （2）由可知对称轴为直线 ①当时，开口方向向上，当时 当时取最小值，当时取最大值  ，  解得，满足题意． ②当时，开口方向向下，当时 当时取最大值，当时取最小值  ，  解得  满足题意． 综上所述：． 题型剖析 题型五：二次函数的最值 3. 已知函数，当时，有最大值，最小值3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当时，，当时，， 因此时，， 当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小， 时，有最大值，最小值3， ， 故选：C． 题型剖析 题型五：二次函数的最值 4. 已知函数，当时，有最大值，最小值3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当时，，当时，， 因此时，， 当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小， 时，有最大值，最小值3， ， 故选：C． 题型剖析 题型六：利用二次函数的增减性求参数的取值范围 1. 已知二次函数，若随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.二次函数的图象如图所示，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． D D 题型剖析 题型七：利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围 1. 已知函数的图像与轴只有一个交点，则的取值范围是（    ） A．且 B．，且 C． D．或1 2. 若抛物线的顶点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． D D 技巧突破 技巧一：二次函数的图像与各系数的关系 技巧突破 技巧一：二次函数的图像与各系数的关系 1. 二次函数的图象不经过第二象限，则a、b、c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )． A． B． C． D． D B 技巧突破 技巧一：二次函数的图像与各系数的关系 > < < 1 = < < = > < 3. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 1）a____0, b____0, c____0 2）2a+b ____0 3）4ac-b2____0 4）a+b+c____0 5）a-b+c____0 6）8a+c____0 7）当-1<x<3时，y ____ 0 技巧突破 技巧二：二次函数的对称性问题 技巧突破 技巧二：二次函数的对称性问题 1. 抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 2. 点在以y轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最小值等于（    ） A． B．4 C． D． B 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为轴， ∴，∴， ∵点在抛物线上，∴， ∴， ∴当时，有最小值为；故选A． 技巧突破 技巧三：求抛物线与坐标轴交点个数 技巧突破 技巧三：求抛物线与坐标轴交点个数 1. 抛物线与坐标轴交点个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【详解】解：令，则， ∵， ∴抛物线与x轴有两个点， ∵时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3个， 故选：B． 技巧突破 技巧三：求抛物线与坐标轴交点个数 2. 关于二次函数 (m是常数）不管m是什么实数，该函数图象与x轴的交点个数是 【详解】解：当时， ，，， ， 方程有两个不等的实数根， 该函数图象与x轴的交点个数是2， 故答案为：2． 易混易错 类型一：忽略二次项系数不为0的隐含条件 1.（2023上·甘肃武威·九年级校考期中）已知函数是二次函数，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【详解】解：根据二次函数定义，得：，且，解得，故选：B． 类型二：二次函数顶点公式记错 2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）二次函数图象的顶点坐标是 ． 易混易错 类型三：忽视抛物线的平移规律 3．（24-25九年级上·重庆长寿·期中）将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后的解析式为 （最后结果写为顶点式）． ． 押题预测 1．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）如图，小刚利用计算机绘制了一个树叶图案，曲线为抛物线的一部分，顶点为A，曲线与曲线关于直线对称，点B为点A的对称点，则点B的坐标为 ． 【详解】抛物线的顶点为A， ， 点B是点A关于直线的对称点， ， 故答案为：． 押题预测 2．（23-24九年级上·昆明市期末）发明小组成员自制一款泡茶器（图1），为检测泡茶器的实用性和安全性，小组成员对泡茶器的电路（图2）进行了测试，移动滑动变阻器指针，使电流表示数从到，在此过程中计算滑动变阻器的功率P，并绘制滑动变阻器的功率与电流的图象如图3所示．若该图象为抛物线的一部分，图象的顶点坐标为，则m的值为 ． 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象经过，顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 二次函数图象经过， ， 故答案为：． 押题预测 3．（2023·浙江温州·期末）抛物线的顶点落在一次函数的图象上，则b的最小值为 ． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点落在一次函数的图象上， ∴在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，b有最小值3． 故答案为：3． 押题预测 4．（2024·安徽宿州·期末）已知关于x的二次函数，其中m为实数． （1）若点，均在该二次函数的图象上，则m的值为 ． （2）设该二次函数图象的顶点坐标为，则q关于p的函数表达式为 ． （2）∵ ∴抛物线的顶点坐标为， 根据题意得，， ∴， 代入得， ， 故答案为： 押题预测 4．（2024·安徽宿州·期末）已知关于x的二次函数，其中m为实数． （1）若点，均在该二次函数的图象上，则m的值为 ． （2）设该二次函数图象的顶点坐标为，则q关于p的函数表达式为 ． 【详解】解：（1）∵点，均在该二次函数的图象上， ∴点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 即， 解得，； 故答案为：5； 押题预测 5．（23-24九年级上上饶市·期末）下面关于函数（m、n均为常数）的说法正确的是 ． ①函数与x轴总有2个交点； ②无论m取何值，函数图象一定会过点； ③若且，则函数顶点一定在第一象限； ④若恒成立，则． 【详解】解：∵当时，函数与x轴只有1个交点， 故①错误； ∵当时，， 无论为何值，该函数的图象必经过定点， 故②正确； ∵且， ∴的抛物线图象开口向下，与x轴有2个交点，分别为，，且， ∴函数图象的对称轴为直线，最大值位于x轴上方， ∴若且，则函数顶点一定在第一象限； 故③正确； 若恒成立，则是函数的抛物线图象的顶点，且开口向下， ∴图象的对称轴为直线， ∴，故④正确．故答案为：②③④． $$