专题04 有理数的运算（竞赛教程讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题04 有理数的运算 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示．现有99个分数：，，，，，． (1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于； (2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由． 考点突破 一、有理数的加减 【学霸笔记】 一、有理数加法 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3. 一个数与0相加，仍得这个数。 三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）设，则的个位数字与十位数字之和为（    ）． A．8 B．11 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案． 【详解】解：的后两位为49， 的后两位为64， 的后两位为81， ， 个位上的数字为4，十位上的数字为9，， 故选：C． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）甲、乙两个瓶子里都装有水，第一次把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里的水增加一倍；第二次把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第三次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍；第四次再把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第五次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍．这样一来，两个瓶子里就各有480毫升的水，那么两个瓶子里原有的水相差 毫升（假定两个瓶子都足够大）． 二、有理数的乘除 【学霸笔记】 一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 二、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出或，根据的不同取值，讨论的值，即可解题． 【详解】解：∵能被45整除， ∴或， 当时，； 当时，能被9整除，则，故的最大值为． 故选：A． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 三、有理数的乘方 【学霸笔记】 一、有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 二、有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）设，则m所在的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方及乘法，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．由中每一项都为正数得，由得，从而即可得解． 【详解】解：， 又∵， ∴． 故选：D． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知一个五位数能被72整除，则 ． 四、有理数的混合运算 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的计算，正确掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键．按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）为求的值，可令，则，因此，即．仿照以上方法，可得 ． 模拟演练 1．（2024七年级·全国·竞赛）从这个数中选取个数相加，和为偶数的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2024七年级·全国·竞赛）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如： ，则十进制数30是二进制下的（    ） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 4．（2024七年级·全国·竞赛）若六位数能被45整除，记的最大值为，最小值为，则 ． 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知“”作为一种运算符号满足如下性质：，则的值为 ． 6．（2024七年级·全国·竞赛）在一次聚会中，主持人发现了一个有趣的现象：①能找到10名年龄各不相同的与会者；②对于任意两名与会者A和，一定能找到另外两名与会者和，使得A和的年龄之和等于和的年龄之和．这次聚会的与会者至少有 名． 7．（2024七年级·全国·竞赛）如图1，将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写在八边形的8个顶点上，并且以分别表示组相邻3个顶点上的数字之和． (1)请给出一种填法，使得都不小于12，在图2中完成； (2)是否存在一种填法，使得都不小于13？证明你的结论． 8．（2024七年级·全国·竞赛）定义：是不为的有理数，把定义为的“和差分数”，如的和差分数为，的和差分数为．已知，的和差分数为，的和差分数为，的和差分数为，，求的值． 9．（2024七年级·全国·竞赛）一只蚂蚁从数轴上的某点，第一次向左爬1个单位到点，第二次由点向右爬2个单位到点，第三次由点向左爬3个单位到点，第四次由点向右爬4个单位到点，如此爬了2012次时，蚂蚁落在数轴上的点处，若点所表示的数是888，求点所表示的数． 10．（2024八年级·全国·竞赛）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克10元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的9折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 11．（2024七年级·全国·竞赛）贝贝为了计算的值，作了如下探究： ，， ，将这三个等式的两边相加， 得到． (1)请帮贝贝计算的值； (2)请直接写出的值，_______． (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值． ． 12．（2024七年级·全国·竞赛）图1表示象棋盘的一部分，一个棋子“”从点出发向点行进（现规定只能向上走，或向右走），会有多种不同的走法，其中从点出发到某些交叉点的走法数已在图2中标出． (1)根据图2的提示，算出从点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从点出发到达点的走法共有多少种？ (2)算出从点出发到达点，但禁止通过交叉点的走法有多少种？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题04 有理数的运算 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用来表示，用来表示．现有99个分数：，，，，，． (1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于； (2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0？若能，求出满足条件的9个分数；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)能， 【分析】（1）本题考查了对题干的理解，以及有理数的加法运算，根据用来表示，将化为2个分子为1的分数相加，再继续分解下一个分数，得到4个分子为1的分数相加，即可解题． （2）本题考查有理数的加减运算，以及分数的规律，根据 ，将此式再减去1加上，即可解题． 【详解】（1）解：可以用来表示， ， ， ， ， ∴． （类似的去分解也可）． （2）解：∵ ， ∴， ∴． 考点突破 一、有理数的加减 【学霸笔记】 一、有理数加法 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 若则； 若则。 2. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 绝对值相等：若且，则； 绝对值不相等： 1 若且，则； 2 若且，则。 3. 一个数与0相加，仍得这个数。 三、有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数， 1. 较大的数－较小的数＝正数，即若，则； 2. 较小的数－较大的数＝负数，即若，则； 3. 相等的两个数相减等于0，即若，则； 4. 0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）设，则的个位数字与十位数字之和为（    ）． A．8 B．11 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案． 【详解】解：的后两位为49， 的后两位为64， 的后两位为81， ， 个位上的数字为4，十位上的数字为9，， 故选：C． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）甲、乙两个瓶子里都装有水，第一次把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里的水增加一倍；第二次把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第三次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍；第四次再把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第五次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍．这样一来，两个瓶子里就各有480毫升的水，那么两个瓶子里原有的水相差 毫升（假定两个瓶子都足够大）． 【答案】330 【分析】本题考查有理数的加减运算，运用倒推法，←←←←←，进而得出答案． 【详解】解：运用倒推法，←←←←←， (毫升)． 故答案为：330． 二、有理数的乘除 【学霸笔记】 一、有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： （1） 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2） 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. （3） 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 二、有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出或，根据的不同取值，讨论的值，即可解题． 【详解】解：∵能被45整除， ∴或， 当时，； 当时，能被9整除，则，故的最大值为． 故选：A． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ，，， ， ∵m、n、p、q为正整数， ∴q的最小值为8，则，，， ∴， 的最小值为65． 故答案为：65 三、有理数的乘方 【学霸笔记】 一、有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 二、有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【典例】（2024八年级·全国·竞赛）设，则m所在的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方及乘法，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键．由中每一项都为正数得，由得，从而即可得解． 【详解】解：， 又∵， ∴． 故选：D． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）已知一个五位数能被72整除，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘方运算，代数式的求值，数的整除，由可得五位数是偶数，且能被9整除，再分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴五位数是偶数，且能被9整除，其中，，，为整数， ∴或或或或， 当时，则，且能被9整除， ∴此时不能被8整除，舍去， 当时，则，且能被9整除， ∴，此时符合题意； ∴； 当时，则，且能被9整除， ∴，此时不符合题意； 当时，则，且能被9整除， ∴，此时不符合题意； 当时，则，且能被9整除， ∴，此时不符合题意，舍去， 综上：； 故答案为： 四、有理数的混合运算 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的计算，正确掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键．按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【巩固】（2024八年级·全国·竞赛）为求的值，可令，则，因此，即．仿照以上方法，可得 ． 【答案】 【分析】设，则，得到即可得到答案．本题考查了有理数的混合运算，数字类规律，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 模拟演练 1．（2024七年级·全国·竞赛）从这个数中选取个数相加，和为偶数的取法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，理解并掌握“偶数奇数奇数偶数；偶数偶数偶数偶数”是解题的关键． 【详解】解：根据题意，偶数奇数奇数偶数；偶数偶数偶数偶数， ∴这个数中的个与这个数中的个组合，共有种， 这个数中的个组合，共有种， ∴和为偶数的取法共有（种）， 故选：． 2．（2024七年级·全国·竞赛）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若干数的和，依次写出1或0即可．如： ，则十进制数30是二进制下的（    ） A．11101 B．10111 C．11110 D．11100 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，此题只需估计最高位是乘以2的几次方，由，，再逐步确定即可． 【详解】解： ． 故选：C． 3．（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，分两种情况，乙容器水高，丙容器无水时；丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达时，计算求解即可． 【详解】解： 时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了，甲中注水速度为， 甲、乙、丙的底面的面积之比为，则注水的速度之比为， 乙的注水速度为，丙的注水速度为， 当乙容器里的水比丙容器里的水高时， 乙容器水高，丙容器无水，； 丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时，假设在此之后注水分钟，乙比丙高，则丙要到达， ， ， 综上所述，的值为或． 故选：． 4．（2024七年级·全国·竞赛）若六位数能被45整除，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握整除的概念，有理数的除法运算是解题的关键． 能被整除的数，个位是或，且各个数位上的数字之和为的倍数，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，，且， ∵要能被整除， ∴个位上：或， 当时，， ∵是的倍数， ∴当时，的值最小，即； 当时，， ∵是的倍数， ∴当时，的值最大，即； ∴， 故答案为：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）已知“”作为一种运算符号满足如下性质：，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，正确根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：由题意， ， 故答案为：． 6．（2024七年级·全国·竞赛）在一次聚会中，主持人发现了一个有趣的现象：①能找到10名年龄各不相同的与会者；②对于任意两名与会者A和，一定能找到另外两名与会者和，使得A和的年龄之和等于和的年龄之和．这次聚会的与会者至少有 名． 【答案】18 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算．熟练掌握有理数的加法有理数的大小顺序，是解决问题的关键． 设年龄最小的4名与会者的年龄为，只有，推出，得到年龄最小的至少有4名，同理得到年龄最大的至少有4名．设其他8名年龄互不相同的与会者年龄从小到大依次为．只有，得到年龄为的与会者至少有2名，同理得到年龄为的与会者也至少有2名．推出这次聚会的与会者至少有18名． 【详解】设年龄最小的4名与会者的年龄为， 对于， 只能， ∴， 即年龄最小的至少有4名， 同理年龄最大的至少也有4名． ∵至少有10个互不相同的年龄， 设其他8名年龄互不相同的与会者年龄从小到大依次为． 对于， 只能， ∴年龄为的与会者至少有2名， 同理年龄为的与会者也至少有2名． ∴这次聚会的与会者至少有， （名）． 例如：30，30，30，30，31，31，32，33，34，35，36，37，38，38，39，39，39，39． 故答案为：18． 7．（2024七年级·全国·竞赛）如图1，将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写在八边形的8个顶点上，并且以分别表示组相邻3个顶点上的数字之和． (1)请给出一种填法，使得都不小于12，在图2中完成； (2)是否存在一种填法，使得都不小于13？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)不存在，证明见解析 【分析】本题考查了数字规律的探索，根据题意找到数字填写规律是解答本题的关键． （1）找到规律使得都不小于12，即可； （2）假设存在满足条件的填法，那么1和2，1和3都不能出现在同一个三数组中，从而得到1，2，3的填法如下图所示：（旋转或调换2，3的位置不影响结果），最后得到结论不满足条件，从而得到结论． 【详解】（1）解：填法如下：（答案不唯一） （2）不存在满足要求的填法，证明如下： 假设存在满足条件的填法，那么1和2，1和3都不能出现在同一个三数组中，从而得到1，2，3的填法如下图所示：（旋转或调换2，3的位置不影响结果） 2和3之间只能是8， 设另外四个位置上的数分别是， 则，① 又，② 与②矛盾，所以不存在满足条件的填法． 8．（2024七年级·全国·竞赛）定义：是不为的有理数，把定义为的“和差分数”，如的和差分数为，的和差分数为．已知，的和差分数为，的和差分数为，的和差分数为，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义，分别算出的值，找到规律即可求解，根据新定义运算找到规律是解题的关键． 【详解】解：，，，，，个数一个周期， 而， ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）一只蚂蚁从数轴上的某点，第一次向左爬1个单位到点，第二次由点向右爬2个单位到点，第三次由点向左爬3个单位到点，第四次由点向右爬4个单位到点，如此爬了2012次时，蚂蚁落在数轴上的点处，若点所表示的数是888，求点所表示的数． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减混合运算，一元一次方程．熟练掌握在数轴上表示有理数，有理数的加减混合运算，一元一次方程是解题的关键．设点所表示的数为，则所表示的数分别为：，由题意知：，计算求解即可． 【详解】解：设点所表示的数为，则所表示的数分别为：， 由题意知：， ∴，即， 解得，． 答：蚂蚁的初始位置点所表示的数为． 10．（2024八年级·全国·竞赛）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克10元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的9折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元； (2)超市销售这种干果共盈利8400元 【分析】（1）设该种干果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元，根据购进干果数量是第一次的2倍还多300千克列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）用总收入减去总支出即可得到超市销售这种干果共盈利的钱数； 此题考查了分式方程的应用、有理数混合运算的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该种干果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克元， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元； （2）（元） 答：超市销售这种干果共盈利元． 11．（2024七年级·全国·竞赛）贝贝为了计算的值，作了如下探究： ，， ，将这三个等式的两边相加， 得到． (1)请帮贝贝计算的值； (2)请直接写出的值，_______． (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值． ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据变化规律将算式展开后即可求解； （）根据变化规律将算式展开后即可求解； （）通过类比找出变化规律“”，依此规律将算式展开后即可得出结论； 本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，利用类比的数学思想解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）同上理： ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ∴． 12．（2024七年级·全国·竞赛）图1表示象棋盘的一部分，一个棋子“”从点出发向点行进（现规定只能向上走，或向右走），会有多种不同的走法，其中从点出发到某些交叉点的走法数已在图2中标出． (1)根据图2的提示，算出从点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从点出发到达点的走法共有多少种？ (2)算出从点出发到达点，但禁止通过交叉点的走法有多少种？ 【答案】(1)见解析，495 (2)285 【分析】本题考查了概率，关键是读懂题目，计算所有的等可能结果．本题运用两种计算方法：一、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，这是分类加法计数原理；二、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法，这就是分步乘法计数原理． （1）到达点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的下边交叉点和左边交叉点的数字之和，因此使用分类加法计数原理求解即可； （2）先求从点到点，并经过交叉点的走法数，再用从点到点总走法数减去它，即得出结果． 【详解】（1）解：完成从点到点必须向上走，或向右走， 到达点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的下边交叉点和左边交叉点的数字之和． 故使用分类加法计数原理，由此算出从点到达其余各交叉点的走法数，填图如图3所示， 答：从点出发到达点的走法共有495种． （2）先求从点到点，并经过交叉点的走法数，再用从点到点总走法数减去它，即得从点到点，但不经过交叉点的走法数． 完成从点出发经点到点这件事可分两步，先从点到点，再从点到点． 使用分类加法计数原理，算出从点到点的走法是10种，见图3； 算出从点到点的走法为21种，见图4； 再运用分步乘法计数原理，得到从点出发经过点到达点的走法共有种． 因此，（种） 答：从点出发到达点，但禁止通过交叉点的走法有285种． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$