精品解析：海南省儋州某校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

2024年秋季学期高一年级第一次月考考试数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 设命题，则为（ ） A B. C. D. 2. 下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 4. 函数，的值域为（ ）． A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于实数不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 6 8. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论不正确的是（    ） A. 函数存在跟随区间 B. 若为的跟随区间，则 C. 函数存在跟随区间 D. 二次函数存在“2倍跟随区间” 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图像与直线的交点最多有1个 C. 与是同一函数 D. 函数定义域为，则函数的定义域为 10. 以下正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是9 D. 的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题包括个3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡中的横线上） 12. 函数的定义域为______________ 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. （1）设全集，集合，，求. （2）解下列不等式. ①；②. 16. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 17. 已知集合，且. （1）当时， （2）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知二次函数. （1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季学期高一年级第一次月考考试数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题包括8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为. 故选：B 2. 下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③，④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系直接判断①②③，根据的适用情况判断④. 【详解】①是实数，故正确；②不是有理数，故正确； ③，是自然数，故正确；④只能用于元素与集合之间的关系，故错误； 所以正确的个数为个， 故选：C. 3. 已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图，则的值为（ ） 1 2 3 2 3 0 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像可知，，根据表格即可求得. 【详解】根据的图像可知，，根据表格可知，. 故选：B 4. 函数，的值域为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 5. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 6. 关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求，再代入不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，方程两个实数根是或， 所以，得，， 则不等式，即， 得，即， 所以不等式的解集为. 故选：C 7. 已知，则的最小值是（ ） A. 9 B. 10 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先分离常数，再配凑积为定值形式，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】， 由 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 8. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论不正确的是（    ） A. 函数存在跟随区间 B. 若为的跟随区间，则 C. 函数存在跟随区间 D. 二次函数存在“2倍跟随区间” 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数“跟随区间”的定义，结合选项中每个函数的单调性和自变量的取值范围，可列出相应的方程组，如果解得存在区间符合题意，则判断该选项正确，如果解得方程的解不符合题意，可判断该选项错误. 【详解】对于A，因为在R上单调递增，所以对于，其值域为， 由“跟随区间”的定义可知函数存在无数个跟随区间，故A正确； 对于B，若为的跟随区间，且的对称轴为， 所以，解得或（舍），故B正确； 对于C，假设存在“跟随区间”， 因为在单调区间上均单调递减， 则有，解得， 此时在内包含0，时函数无意义，故不存在跟随区间，故C错误； 对于D，若函数存在2倍跟随区间， 设定义域为 ，值域为， 当时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为，D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决这类给出函数新定义的题目时，关键是要正确准确地理解定义的含义，并能根据该定义去进行解答. 9. 有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图像与直线的交点最多有1个 C. 与是同一函数 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据定义域和对应关系可判断AC；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域的求法求得定义域可判断D. 【详解】A 选项：定义域为，定义域为，A选项错误； B选项：因为函数的定义可知当时，要么没有定义，要么存在唯一确定的值， 所以函数的图像与直线的交点最多有1个，B选项正确； C选项：和定义域均为且解析式相同，所以是同一个函数，C选项正确； D选项：因为函数的定义域为，所以时，令，即，所以定义域为. 故选：BCD. 10. 以下正确的选项是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断选项A的正误；选项B和D，通过取特殊值，即可判断出选项D和D的正误；选项C，由，得到，即可判断选项C的正误. 【详解】对于选项A，由，得到，又，所以，故选项A正确， 对于选项B，取，显然有，，但，不满足，所以选项B错误， 对于选项C，由，得到，又，所以，即， 所以，故选项C正确， 对于选项D，取，显然有，，但，所以选项D错误， 故选：AC. 11. 已知，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是1 C. 的最小值是9 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据均值不等式可判断A，由二次函数可判断B，由“1”的变形及均值不等式判断C，式子变形后由A结论判断D. 【详解】对A，因为，，当且仅当时等号成立；故A正确； 对B，因为，所以，则，当时，故B错误； 对C，，当且仅当，即时取“=”，故C正确； 对D，，由A知，所以，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题包括个3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填写在答题卡中的横线上） 12. 函数的定义域为______________ 【答案】 【解析】 【分析】由分式的分母不为零，偶次根式的被开方数为非负数，零次幂的底数不为零，求解函数的定义域即可. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 13. 2024届欧洲杯以西班牙夺冠圆满结束，小明统计了其所在班级50名同学中支持德国，西班牙，英格兰的人数，每人都至少支持其中一个队伍，有15人这三支队伍都支持，18人不支持德国，20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，则同时支持两支队伍的同学的人数为_________ 【答案】16 【解析】 【分析】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人，只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，结合图列式计算即得. 【详解】不妨设支持德国与西班牙的有人，支持德国与英格兰的有人，支持西班牙与英格兰的有人， 只支持德国、西班牙、英格兰的人数分别为，，，如图， 则，由18人不支持德国，得， 由20人不支持西班牙，16人不支持英格兰，得，， 则，因此， 所以同时支持两支队伍的同学的人数为16人. 故答案为：16 14. 已知集合，若集合A只有两个元素，则实数a可取的一个值为__________；若集合，集合，当集合C有8个子集时，实数a的取值范围为__________． 【答案】 ①. 2（答案不唯一，另两个值为、） ②. 【解析】 【分析】由方程根的情况求出值即可；由并集的元素个数，分类求解即得. 【详解】由，得或， 由集合A只有两个元素，得： ①方程有两个相等的实根，且该实根不为3， 因此，解得，此时方程的根为1或，符合题意， 所以，取； ②方程有一个实根为3，另一实根不为3， 此时，，此时方程的另一实根为，符合题意； 所以或； 由集合C有8个子集，得集合中有3个元素，而，， 则或或或， 当时，方程无实根，，解得， 当时，方程有两个相等的实根1，则， 当时，方程有两个相等的实根4， 而方程有实根时，两根之积为1，因此无解， 当时，方程的两根分别为，同上无解， 实数a的取值范围为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. （1）设全集，集合，，求. （2）解下列不等式. ①；②. 【答案】（1）；（2）①或；② 【解析】 【分析】（1）先表示出集合，然后根据并集和补集的概念计算出； （2）①通过因式分解求解出一元二次不等式的解集；②先将分式不等式化为一元二次不等式的形式，然后可求出解集. 【详解】（1）因为， 所以，所以. （2）①由，可得，即，解得或， 不等式的解集为或. ②，即，即， 则，解得， 所以不等式解集为. 16. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 17. 已知集合，且. （1）当时， （2）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求解集合，再由集合交并补的定义求解； （2）命题是真命题，可知，且，可得实数的取值范围； （3）若是充分不必要条件，得是的真子集，且，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，， 所以； 或，； 【小问2详解】 因为，所以， 命题是真命题，可知， 因为，， 则或，解得， 则的取值范围是. 【小问3详解】 若是的充分不必要条件，得是的真子集，， 则（等号不同时成立），解得， 故的取值范围是. 18. 已知二次函数. （1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值； （2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）或 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）令得两点的坐标分别为，令得点的坐标为， 代入三角形面积公式列式计算即可. （2）由题意化为恒成立，利用判别式法列不等式组求解即可. （3）根据和、、分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 令，则有，得两点的坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. 【小问2详解】 不等式可化为， 若不等式恒成立，则必有解得， 故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为. 【小问3详解】 不等式可化为， ①当时，不等式解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为． 19. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$