函数的最值专练-2025届高三数学一轮专题复习

函数的最值 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以函数的最大值为15. 故选：A 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可. 【详解】由得，，当时，， ∴在单调递减，∴是函数的最小值， 当时，为增函数，∴是函数的最小值， 又∵，都，使得， 可得在的最小值不小于在的最小值， 即，解得， 故选：A． 3．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解. 【详解】因为，可知开口向上，对称轴为， 则在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D. 4．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可. 【详解】若“，使成立”的否定是： “，使”为真命题， 即；令， 由，得，所以， 所以， 故选：C. 5．条件，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项. 【详解】若，使得，则，可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 故当时，，即， 所以，的一个必要不充分条件是. 故选：A. 6．函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设（），则函数等价于，，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 7．，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出两个函数在上的值域，然后由条件可得的值域是值域的子集，即可建立不等式求解. 【详解】函数， 因为，所以在的值域为， 函数在的值域为， 因为对任意的，存在，使， 所以， 所以，解得． 故选：A． 8．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题意可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立，解得， 又因为对于任意的，都有成立， 所以， 所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， （1）若，则对称轴，解得； （2）若，则在单调递增，满足题意； （3）若，则对称轴恒成立； 综上，. 故选：D. 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．不等式无解 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误; 对于选项B:关于对称，故B正确； 对于选项C:有解，故C错误； 对于选项D:，若，则， 若则， 当且仅当，即时，原式取等，故D正确. 故选:BD. 10．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 【答案】BD 【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果． 【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确； 对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误； 对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确； 故选：BD． 11．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，， 根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确； 对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确； 对于C选项，任取，，且，则，， 所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误； 对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项正确. 故选：ABD． 三、填空题 12．函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】依题意可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 令，，因为函数在上单调递增，所以， 即，则， 即函数的最大值为，当且仅当时取等号. 故答案为： 13．若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式变形为的形式,构造,求导判断单调性后可知,只需即可,即成立,只需,构造新函数,求导求单调性,求出最值解出a的取值范围即可. 【详解】解:因为对任意成立, 不等式可变形为:, 即, 即对任意成立, 记,所以, 所以在上单调递增, 则可写为:, 根据单调性可知,只需对任意成立即可, 即成立,记,即只需, 因为,故在上,,单调递增, 在上,,单调递减, 所以, 所以只需即可,解得:. 故答案为: 【点睛】思路点睛:本题考查不等式恒成立问题，属于难题，关于恒成立问题的思路如下: (1)若，恒成立，则只需; (2) 若，恒成立，则只需; (3) 若，恒成立，则只需; (4) 若，恒成立，则只需; (5) 若，恒成立，则只需; (6) 若，恒成立，则只需; (7) 若，恒成立，则只需; (8) 若，恒成立，则只需. 14．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】8 【分析】化简函数，设，，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可. 【详解】由， 设，， 则， 所以函数在上为奇函数， 所以， 由题意，得， 所以. 故答案为：8. 四、解答题 15．已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可； （2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可. 【详解】（1）是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍）， ； （2）， 即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减， . 16．在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围. 【详解】（1）由及余弦定理 得， 由正弦定理得：， 又， ， ， ， 都是锐角， ，即. （2）令 ， 由（1）得， 在锐角三角形中，，即， 解得，， 令，， 又函数在上单调递增， ， 故的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的最值 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 2．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．条件，，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．，，若对任意的，存在，使，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．不等式无解 D．的最大值为 10．如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在区间上的最大值为3，最小值为 D．在上有最大值3，有最小值 11．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．在区间上有最大值 D．的解集为 三、填空题 12．函数的最大值为 . 13．若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为 . 14．设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 四、解答题 15．已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 16．在锐角中，角所对的边分别是，满足. (1)求证：； (2)求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$