函数最值专题-2025届高三数学一轮专题复习

班级：_____ 考号：____________ 姓名：____________ 【章节】专题研究　函数最值 【用时】45分钟 求函数最值的常用方法 1.配方法 配方法是求二次函数型函数最值的基本方法，如函数y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的最值问题，例1.已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，且a≠0)，求函数的最小值． 2.换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 例2.(1)函数y＝的值域为________． (2)函数y＝x－的最大值为________，最小值为________． 3.不等式法 主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法． 例3.(1)已知x>0，y>0且x＋y－2xy＝0，则x＋4y的最小值为________． (2)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A．[－1，2]　　　　　　 B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] 4.单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值． 例4.设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________． 5.平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题． 例5.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为________． 6.数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法 例6.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． ． 课后练习 1.已知函数f(x)＝4cossin. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若关于x的不等式f(x)>1－m对x∈[－，]恒成立，求m的取值范围． 2.(1)若函数y＝sin2x＋2cos x在区间上的最小值为－，则α的取值范围是___________． (2)设x∈，则函数y＝的最大值为________． 3.已知f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，求f(x)的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 班级：_____ 考号：____________ 姓名：____________ 【章节】专题研究　函数最值 【用时】45分钟 求函数最值的常用方法 1.配方法 配方法是求二次函数型函数最值的基本方法，如函数y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的最值问题，例1.已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，且a≠0)，求函数的最小值． 【解析】　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2 ＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则t≥2，y＝f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2. ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 【探究】　本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心确定对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类讨论． 2.换元法 换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题． 例2.(1)函数y＝的值域为________． (2)函数y＝x－的最大值为________，最小值为________． 【解析】　（1）令sin θ＝t，则t∈[－1，1]， 故y＝＝＝－1＋， 由于t∈[－1，1]，∴2－t∈[1，3]，∈， ∴y＝－1＋∈，即函数y＝的值域为. （2）　由4－x2≥0，得－2≤x≤2，∴设x＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y＝2cos θ－＝2cos θ－2sin θ＝2cos， ∵θ＋∈， ∴cos∈，∴y∈[－2，2]． 3.不等式法 主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法． 例3.(1)已知x>0，y>0且x＋y－2xy＝0，则x＋4y的最小值为________． (2)设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A．[－1，2]　　　　　　 B．[－1，0] C．[1，2] D．[0，2] 【解析】　（1）因为x>0，y>0且x＋y－2xy＝0，则2xy＝x＋y，可得＋＝2， 所以x＋4y＝(x＋4y)＝≥＝， 当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立， 因此，x＋4y的最小值为. （2）∵当x≤0时，f(x)＝(x－a)2， 又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0. 当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”． 要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范围是0≤a≤2.故选D. 4.单调性法 先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值． 例4.设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________． 【解析】　∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上单调递增，∴函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别为loga(2a)，logaa＝1.∴loga2＝，a＝4. 5.平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题． 例5.已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为________． 【解析】　由题意，得所以函数的定义域为{x|－3≤x≤1}． 两边平方，得y2＝4＋2· ＝4＋2＝4＋2＝4＋2. 所以当x＝－1时，y取得最大值M＝2； 当x＝－3或1时，y取得最小值m＝2.则＝. 6.数形结合法 数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法 例6.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________． 【解析】　方法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象如图中实线部分所示． 易知点A(2，1)为图象的最高点， 因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 方法二：依题意， h(x)＝ 当0<x≤2时，h(x)＝log2x单调递增， 当x>2时，h(x)＝3－x单调递减， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 课后练习 1.已知函数f(x)＝4cossin. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若关于x的不等式f(x)>1－m对x∈[－，]恒成立，求m的取值范围． 2.(1)若函数y＝sin2x＋2cos x在区间上的最小值为－，则α的取值范围是___________． (2)设x∈，则函数y＝的最大值为________． 3.已知f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，求f(x)的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $$