精品解析：湖南省怀化市沅陵县思源实验学校2024—2025学年上学期八年级期中考试数学试卷

思源实验学校2024年下学期八年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题 1. 在式子，，，，中，分式有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，在式子，，，，中，，，是分式， 故选：C． 2. 是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A. B. C. 400 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解答本题的关键． 根据三角形三条边的关系判断，能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．计算即可． 【详解】A．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C．，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D．，能组成三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 解得：x=2， 故选C． 5. 如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得，求出，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ． 故选：D． 6. 下列代数式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，积的乘方、幂的乘方及同底数幂除法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，积的乘方、幂的乘方及同底数幂除法的运算法则逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质可得，，结合已知条件即可求解．本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D，E分别为边中点， ， ， ∵F是的中点， ∴， ， 的面积等于 ∴ 故选：A． 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 0或3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 9. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 10. 如图，中，，是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段，的延长线上，且．则以下结论：①；②；③；④从运动到的过程中，周长不变．正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，先利用判定出，再对给定的四个结论进行判断是否是不变量即可作出选择，判定出是解题的关键． 【详解】解：延长至，如图所示： 是等边三角形， ， ， ，， 又，， ； ， ，， ， ， ，故①正确； ， ， ， 在和中，有三角形内角和定理可得，则，故②正确； 在和中， ， ，故③正确； ，， ， ，而虽然不变，但是变化的，故④错误； 综合所述，正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，判定出是解题的关键． 二、填空题 11. 若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的意义，掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式的意义，分母不等于，即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：， 故答案为：． 12. 把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题 【答案】 ①. 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角 ②. 真 【解析】 【分析】找出命题中的题设与结论即可得，根据直角三角形的性质即可得判断真假． 【详解】命题“直角三角形的两个锐角互为余角”中的题设是三角形是直角三角形，结论是它的两个锐角互为余角， 则改写成：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角， 由直角三角形的性质得：这个命题是真命题， 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互为余角；真． 【点睛】本题考查了命题、直角三角形的性质，掌握理解命题的概念是解题关键． 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的逆运算、幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法的逆运算、幂的乘方的逆运算进行解题即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 14. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是_____________． 【答案】17或19##19或17 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．分以的边长为底边和以的边长为底边两种情况，分别求解即可． 【详解】解：当以的边长为底边时，三角形三边长分别为、、， 能够构成三角形，则它的周长， 当以的边长为底边时，三角形三边长分别为、、， 能够构成三角形，则它的周长， 所以，它的周长是或． 故答案为：17或19． 15. 若关于的分式方程的解，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数，先解分式方程得，再由分式方程的解为得，解之即可求解，掌握解分式方程及分式方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知 ，则_______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了分式的分式的混合运算，完全平方公式． 根据完全平方公式推出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴． 故答案为：32． 17. 如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为______． 【答案】##140度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，由得，由，可得，，即得，最后再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知，则的度数为 ________． 【答案】##57度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确得出对应角是解题的关键．首先直接利用全等三角形的性质得出对应角的度数，再根据三角形内角和定理，进而得出答案． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，利用乘方、零指数幂、负整数指数幂法则化简后计算即可得到结果． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据分式方程的运算法则求解即可． 【详解】 解：变形为： 所有项同乘可得： 移项合并同类项可得： 系数化为可得：； 检验：把代入可得：； ∴经检验是原方程的解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的计算和化简，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 如图，在中，已知是角平分线，． （1）求的度数； （2）若于点E，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和以及角平分线的定义是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由角平分线求解即可； （2）根据三角形外角的定义确定，再由直角三角形确定，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ， ∴， ∵是的角平分线 ∴； 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 23. 如图，在中： （1）用尺规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的图形中，设交于点E，交于点D，连接，若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） 解：作边的垂直平分线如图1， （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质．熟练掌握作垂直平分线，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作垂直平分线如图1；（2）如图2，由垂直平分线的性质可得，则，由，可知的周长为，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴的周长为， ∴的周长为． 24. 力旺中学图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．求每套《什么是数学》的价格．根据题意，小刚、小明两名同学分别列出来尚不完整的方程如下： 小刚：；小明：． （1）在小刚和小明两名同学所列的方程中，未知数表示的意义分别为： 小刚： ； 小明： ． （2）请你在括号里补全小刚和小明两名同学所列的方程． （3）请选择一名同学的做法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）小刚：设每套《什么是数学》的价格为元；小明：设《什么是数学》的数量为套， （2） 小刚：设每套《什么是数学》的价格为元，根据题意得， 小明：设《什么是数学》的数量为套，根据题意得， ， 所填空为：；； （3） 小刚：设每套《什么是数学》的价格为元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格为元 小明：设《什么是数学》的数量为套，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， 每套《什么是数学》的价格为元 答：每套《什么是数学》的价格为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用； （1）根据题意，“元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．”，结合方程即可求解； （2）根据题意补充方程，即可求解； （3）解方程，并经验，即可求解． 【小问1详解】 解：根据所列方程可得： 小刚：设每套《什么是数学》的价格为元； 小明：设《什么是数学》的数量为套， 故答案为：设每套《什么是数学》的价格为元；设《什么是数学》的数量为套； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，在与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质． （1）利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再根据邻补角的定义求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 又， ， ． 26. 【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明： ∵是的外角， ∴_______________， 又∵， ∴_______________， ∴________， ∴是等腰三角形． 【初步应用】 （2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，于D，，求证：． 【拓展提升】 （4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长． 【答案】（1），，，， （2）解：是等腰三角形，理由为： ∵等边中， ∴ ∵是中线， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； （3）解：如图，延长至，使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵于D， ∴； （4） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造等腰三角形是解题的关键． （1）根据三角形的外角即可得到，即可得到，进而得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到，然后根据中线得到，，进而推导，得以判定的形状； （3）延长至，使得，连接，得到，然后根据三线合一解题即可； （4）延长到点，使得，连接，则有，然后证明即可得到，然后利用的周长即可解题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：延长到点，使得，连接， 则， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， 又∵的周长为10，， ∴，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 思源实验学校2024年下学期八年级期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单选题 1. 在式子，，，，中，分式有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 是指大气中直径小于或等于的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，则表示空气污染越严重，这些颗粒物的直径用科学记数法表示为（　　） A. B. C. 400 D. 3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. -2 B. 0 C. 2 D. ±2 5. 如图，中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列代数式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在中，已知点D、E、F分别为边的中点，且的面积是，则阴影部分面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 0或3 9. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 10. 如图，中，，是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段，的延长线上，且．则以下结论：①；②；③；④从运动到的过程中，周长不变．正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题 11. 若式子有意义，则的取值范围是________． 12. 把命题“直角三角形的两个锐角互为余角”改写成“如果…那么…”的形式是________，这个命题是__________（填“真”或“假”）命题 13. 已知，，则的值为______． 14. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是_____________． 15. 若关于的分式方程的解，则______ 16. 已知 ，则_______． 17. 如图，是内一点，连接，已知，，，则的度数为______． 18. 如图，已知，则的度数为 ________． 三、解答题 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在中，已知是角平分线，． （1）求的度数； （2）若于点E，求的度数． 23. 如图，在中： （1）用尺规作出边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的图形中，设交于点E，交于点D，连接，若，的周长为，求的周长． 24. 力旺中学图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．求每套《什么是数学》的价格．根据题意，小刚、小明两名同学分别列出来尚不完整的方程如下： 小刚：；小明：． （1）在小刚和小明两名同学所列的方程中，未知数表示的意义分别为： 小刚： ； 小明： ． （2）请你在括号里补全小刚和小明两名同学所列的方程． （3）请选择一名同学的做法，写出完整的解答过程． 25. 如图，在与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 26. 【课本再现】在八年级课本第62页，我们学习了：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【问题提出】 （1）如果三角形的外角等于与它不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是等腰三角形． 小明通过思考，画出下面的图1，并对上述命题进行了如下证明： ∵是的外角， ∴_______________， 又∵， ∴_______________， ∴________， ∴是等腰三角形． 【初步应用】 （2）如图2，等边中，是中线，E在延长线上，且，判断的形状并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，于D，，求证：． 【拓展提升】 （4）如图4，中，，平分，的周长为10，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $