精品解析： 天津市北辰区第三学区2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试卷

2024秋季学期阶段练习九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 国产汽车在过去几年取得了显著进步，在全球影响力不断扩大．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程一个解是，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 无法判断 4. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数a， b， 定义运算“※” ∶ 例如： 若， 则x的值为（ ） A 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或-1 6. 如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在中，，将绕点旋转到'的位置，使得，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（ ） A. （－2，2） B. （4，1） C. （3，1） D. （4，0） 9. 下列各点，在抛物线设，，是抛物线上三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是_______． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是______． 15. 已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 16. 赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为____． 17. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为____________cm． 18. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 三、解答题（20-22每题8分，23题12分，其余每题10分，共66分） 19. （1）用适当的方法解方程： ① ② （2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型 “”来解决． 你设计的问题是：____________________________________________________． 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根为，且满足 ，求的值． 21. 以中、为边分别作正方形、，连接、． （1）证明：． （2）请用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的； （3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 23. 已知二次函数． （1）图象的顶点坐标为： ； （2）抛物线与x轴交点坐标 ； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，x的取值范围是 ； （5）当时，y的取值范围是 ． 24. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， （1）____________ （2）求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）当取何值时面积最大，最大是多少？ 25. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； （3）在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋季学期阶段练习九年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 国产汽车在过去几年取得了显著进步，在全球影响力不断扩大．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别；根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】∵x2＋4x−7＝0， ∴（x＋2）2＝11， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 3. 一元二次方程的一个解是，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键，把方程化为或，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或； ∴另一个根为：, 故选C 4. 如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，求出矩形的长和宽，根据面积为即可列出方程． 【详解】解：由题意知，6个矩形小块通过平移可以得到一个大的矩形，长为，宽为， 6个矩形小块的面积和为， ． 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含x的代数式表示出6个矩形小块合成的大矩形的长和宽． 5. 对于实数a， b， 定义运算“※” ∶ 例如： 若， 则x的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或-1 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了新定义下实数的运算，解方程，乘方等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】根据定义，得，整理得， 解方程，得， 故选A． 6. 如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 7. 如图，在中，，将绕点旋转到'的位置，使得，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠C'CA＝∠CAB＝64°，由折叠的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA＝64°，由三角形内角和定理可求解． 【详解】∵CC′∥AB， ∴∠C'CA＝∠CAB＝64°， ∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置， ∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'， ∴∠ACC'＝∠C'CA＝64°， ∴∠C'AC＝180°−2×64°＝52°， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键． 8. 正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（ ） A. （－2，2） B. （4，1） C. （3，1） D. （4，0） 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据旋转的性质作出旋转后的图形，写出点B对应点的坐标即可得解． 如图，点B的对应点B′的坐标为（4，0）． 考点：1.坐标与图形变化-旋转；2.正方形的性质． 9. 下列各点，在抛物线设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的图像与性质，数形结合即可得到答案． 【详解】解：抛物线开口向上，对称轴为，抛物线有最小值，且越靠近对称轴函数值越小， 在抛物线设，，是抛物线上的三点， ，，到抛物线对称轴的距离为，，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用二次函数图像与性质比较函数值大小，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、矩形的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 先求得抛物线的顶点坐标为，进而求得的最小值为1，再根据矩形的性质得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵轴， ∴的长等于点A的纵坐标．， ∴当点A在抛物线的顶点处时，点A到x轴的距离最小，即的最小值为1， ∵四边形为矩形， ∴． ∴对角线的最小值为1． 故选A． 11. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得平移后的解析式． 【详解】解：将抛物线y=-2x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，得y=-2（x+1）2-2； 故所得抛物线的解析式为y=-2（x+1）2-2． 故选：B． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 12. 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线的顶点坐标即可判断③；根据抛物线与x轴交点个数即可判断④；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断⑤． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2， ∴a＜0，b＞0 ∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间 ∴另一个交点在（0,0）和（1,0）之间 ∴抛物线与y轴交于负半轴 ∴c＜0 ∴abc＞0，故①错误； 由图象可知：当x=-1时，y＜0 ∴，故②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（2,1） ∴ 由①，得b=-4a 将b=-4a代入②，得 整理，得c-4a=1，故③正确； ∵抛物线与x轴交于两点 ∴ ∴，故④正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1） ∴（m为任意实数），故⑤正确． 综上：正确的有3个 故选B． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 在直角坐标系中，点A（－7，）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（7，-1） 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数得出答案即可． 【详解】点（-7，1）关于原点对称的点是（7，-1）． 故答案为：（7，-1）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数是解题的关键． 14. 若方程是关于的一元二次方程，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义二次项系数不为0解题即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，能够熟记定义并列式是解题关键． 15. 已知的图象与轴的一个交点为，则另一个交点为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和x轴交点的问题．求出二次函数图象的对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵的图象与轴的一个交点为， ∴的图象与轴的另一个交点为． 故答案为： 16. 赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形，其示意图如图所示，其解析式为．当水面离桥拱顶的高度为时，水面宽度为____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得的纵坐标为，把代入解析式确定的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意的纵坐标为， 把代入，得， ，， ．即水面宽度为． 故答案为：． 17. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为____________cm． 【答案】4 【解析】 【分析】设，可得，根据四边形内角和可得，取的中点，连接、，则，，继而可得，即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接、，如图： 是由绕点旋转得到， ，，， 设，则， 在四边形中， ， 在中，，，， ， 中，， 是中位线， ， 而， 当、、在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以为边的三角形，根据三角形三边关系得出的长度范围是解题的关键． 18. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 三、解答题（20-22每题8分，23题12分，其余每题10分，共66分） 19. （1）用适当的方法解方程： ① ② （2）请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型 “”来解决． 你设计的问题是：____________________________________________________． 【答案】（1）①；②； （2）原价为100元的商品降价两次后，现价为81元，求平均每次降价的百分率？ 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的实际应用，熟练掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程，学会结合生活经验设计一元二次方程的问题是解题的关键． （1）①运用直接开平方法解方程即可；②运用公式法解方程即可； （2）此问为开放性问题，结合生活经验利用方程设计问题即可． 【小问1详解】 解：①， ， ， ； ②， ， ， ， 解得：． 【小问2详解】 例：原价为100元的商品降价两次后，现价为81元，求平均每次降价的百分率？（言之有理即可） 20. 关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两根为，且满足 ，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出m的值． 【小问1详解】 ∵， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 由根与系数的关系可知：， ∵ ∴ 解得． 【点睛】此题考查了根与系数关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 21. 以中、为边分别作正方形、，连接、． （1）证明：． （2）请用旋转的性质说明上述关系成立的理由． 【答案】（1）见解析 （2）可以看成是绕着A点逆时针旋转得到 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形的性质，即可证明； （2）根据正方形的性质结合旋转的性质即可求解． 【小问1详解】 解：证明：在正方形和正方形中， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：正方形、中，， 可以看成是绕着A点逆时针旋转得到． 22. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的； （3）与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出对称中心的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）与是中心对称图形，对称中心为． 【解析】 【分析】本题主要考查作轴对称图形、中心对称和作旋转图形，掌握关于轴对称的点的特点和对称中心的求法是解题的关键． 作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，因为点在轴上，所以点关于轴的对称点还是点，连接、、，即可得所要求的三角形； 分别画出点、、绕原点顺时针旋转得到的点、、，连接点、、，得到即为所求； 把和的对应点连接起来交于一点，这个交点就是对称中心，从图中写出对称中心的坐标． 【小问1详解】 解：如下图所示， 作点关于轴的对称点， 作点关于轴的对称点， 点在轴上， 点关于轴的对称点还是点， 连接点、、，得到即为所求； 【小问2详解】 解：如下图所示，分别画出点、、绕原点顺时针旋转得到的点、、， 连接点、、，得到即为所求； 【小问3详解】 解：由图可知，与是中心对称图形，对称中心为． 23. 已知二次函数． （1）图象的顶点坐标为： ； （2）抛物线与x轴交点坐标 ； （3）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （4）当时，x的取值范围是 ； （5）当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）， （3）见解析 （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）利用配方法化简即可； （2）令，然后求解即可； （3）用“五点法”取值描点连线即可求解； （4）、（5）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，由， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，令， ∴或． ∴该抛物线与x轴的交点为，． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：由题意，由抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线． 令，则， ∴抛物线与y轴交于点． 又该抛物线与x轴的交点为，， 故作图如下． 【小问4详解】 解：由题意，由结合（3）的图象， ∴图象在x轴下方部分对应的自变量即为所求． ∴． 故答案为：． 【小问5详解】 解：由题意，当时， ∵当时，， 当时，． 当时，y取最小值为， 又结合（3）所作图象， ∴当时，． 故答案：． 24. 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个边上有一个宽为门的矩形场地，设，设矩形面积为， （1）____________ （2）求矩形面积与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）当取何值时面积最大，最大是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）当时，面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】（）根据题意和图形即可求解； （）根据矩形的面积公式可得与的函数关系式，再根据边的长度为正数列出不等式组可得的取值范围； （）把函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确求出与的函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ∵，， ∴当时，面积最大，最大值为． 25. 如图，抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点（）在抛物线上，当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值； （3）在（2）中面积取最大值的条件下，点是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，最大，且最大值为 （3），， 【解析】 【分析】本题考查二次函数，待定系数法求解析式，面积问题，平行四边的性质与判定； （1）根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作，得，从而得到，根据为等腰直角三角形，再结合二次函数的解析式，得到，最后结合二次函数的图形性质即可得到面积的最大值； （3）根据不同的情况展开讨论，通过全等三角形的性质计算出点的横坐标，再根据二次函数的解析式计算出纵坐标即可． 【小问1详解】 解：∵过点，， ∴ ， 解方程组得， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点，过点作，垂足为， ∵，，， ∴ ∵， ∴, ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴当时，最大，且最大值为； 【小问3详解】 解：∵当时，， ∴点， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 当时，， 解得， ∴点， ∴， 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， 由题意得， ∵， ∴、、、构成的四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 如下图所示，当四边形为平行四边形时，作垂直对称轴，垂足为，过点作轴，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点， ∴，， ∴点； 综上所述，符合条件的点N的坐标为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $