专题04 直角三角形的边角关系易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 直角三角形的边角关系易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 正切的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数的定义，根据一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到与的面积之比等于． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴与的面积之比等于． 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】利用正切的定义：，进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ （2）∵ ∴ ∴， ∴ （3）∵ ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题考查了正切的概念，正确判断对应角的对边和邻边是解决本题的关键． 【易错必刷二 求角的正切值或边长】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知在中，，，，则等于（　　） A．6 B．16 C．12 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正切值的定义．根据题意作图，由正切值的定义可得，，结合勾股定理，即可求得的值． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中， 则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根据正切的定义得到，设，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质与判定，解直角三角形； （1）根据平行四边形的性质，可知，，根据，，可知，由此即可证得结果； （2）根据平行四边形的性质勾股定理求得，，进而根据（）中的相似三角形，得出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又，， ， ； （2）解：∵，， ∴， 设，则， ∵，，即， 解得， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ， ， 即， ． 【易错必刷三 正弦的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦的定义，根据在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大即可得出答案，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵在锐角范围内，正弦的函数值随着角度的增大而增大， ∴若，则锐角锐角， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了三角函数的定义； （1）根据三角函数的定义进行证明即可； （2）根据（1）中的结论得出，即，然后代入求值即可． 解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，在一个中，，则，，． 【详解】（1）证明：∵在中，，，，，的对边分别是，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 【易错必刷四 求角的正弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质；过A作于D，则，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可得，再根据勾股定理可得，进而可求． 【详解】解：过A作于D，则， ，， ， ， ，， ， 故选：． 2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据，，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：如图：在中，， ，， ， 故答案为：8． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）先说明四边形是平行四边形，然后再根据直角三角形的性质得到即可证明结论； （2）在中，结合已知由，再运用勾股定理求得，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ，E是的中点， ， 所以四边形是菱形． （2）在中，，， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ， 是菱形，E是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、正弦值、勾股定理、菱形的性质等知识点；灵活运用相关性质成为解答本题的关键． 【易错必刷五 余弦的概念辨析】（共3小题） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 【答案】 【分析】（1）如图所示，在中，，证明越大，的值越小即可得到答案； （2）先证明，再根据（1）的结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，在中，设， ∴， 当减小时，的值减小，而此时的度数在增大， ∴可知越大，的值越小， ∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图所示，在中，设， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知余弦和正弦的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【答案】 【分析】先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到=，再证明CDE∽△CAB，根据相似三角形的面积比定义相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ADC∽△BEC， ∴=， ∴=， ∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CAB， ∵， ∴=， ∴=（）²=（）2=． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【易错必刷六 求角的余弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A的邻边与斜边的比叫做的余弦是解题的关键． 根据勾股定理求出，根据余弦的定义计算即可． 【详解】如图所示， ∵在中，， ∴由勾股定理得，， 则， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数，设小正方形的边长为，将点竖直向上移动个单位长度，得到点，在中，，据此即可求得答案； 【详解】如图所示，设小正方形的边长为，将点竖直向上移动个单位长度，得到点，连接点，，，在中，． ． ． 所以，． 故答案为： 3．（23-24九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键．由勾股定理求出，然后根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ． 【易错必刷七 特殊角的三角函数】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于D，E两点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，正切函数的定义解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，特殊角的三角函数，正切函数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ． ． ， ． 在中，． 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 3．（2024·青海西宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值，分别根据相关运算法则计算出各项的值，再进行加减运算即可． 【详解】解： 【易错必刷八 特殊角三角函数值的混合运算】（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查实数的混合运算，将特殊角三角函数值代入，再计算二次根式的乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可； （2）把特殊角的三角函数值代入，再计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【易错必刷九 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案． 本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴一定是等腰直角三角形， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】根据非负数的性质可得：，由此可求出，即为等腰三角形． 【详解】根据绝对值的非负性可得：， ∴， ∴， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查绝对值的非负性，特殊角的三角函数值以及等腰三角形的判定．熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【答案】 【分析】取，连接，作，于交轴于，先利用坐标求出线段长，得到，进而得到，推出，，得到，再利用垂线段最短，得到当与重合，与重合时，最短，即为的长，利用三角函数即可求出答案． 【详解】解：如图，取，连接，作，于交轴于， ，， ，，，， ， ， ，， ， 当与重合，与重合时，最短，最小值即为的长， 在中，， 的最小值为． 【点睛】本题考查了垂线段最短，锐角三角函数，30度角所对的直角边等于斜边一半，学会转化线段是解题关键． 【易错必刷十 根据特殊角三角函数值求角的度数】（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据45度角的正切值为1得到，则． 【详解】解：∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习） ；若，则锐角 ． 【答案】 40 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键，根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ； ，为锐角， ， ， 故答案为：，40． 3．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知α是锐角，且，计算∶ 【答案】 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算，根据题意得，然后代入计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键 【详解】解：∵α是锐角，且， ∴， ∴， ∴ 【易错必刷十一 已知角度比较三角函数值的大小】（共3小题） 1、（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【分析】掌握锐角三角函数值的变化规律．锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值是随着角的增大而减小． 【详解】解：A、的值越大，则越大，则梯子越陡，原说法正确，符合题意； B、的值越大越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越小越小，梯子越平缓，原说法错误，不符合题意； D、陡缓程度与的函数值有关，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 3．（23-24浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【答案】（1）1，1，1；（2）1；（3） 【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； （2）由（1）中的结论，即可猜想出； （3）利用完全平方公式进行变形运算，结合可得结果． 【详解】解：（1）sin230°+cos230°==1； sin245°+cos245°==1； sin260°+cos260°==1； （2）由（1）可得： ； （3）∵，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单． 【易错必刷十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解：，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 2（24-25九年级上·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数，二次函数的图象与轴的交点问题，解利用二次函数解二次不等式，熟练掌握三角函数的性质和应用、二次函数的图象与轴的交点个数是解题的关键．先利用是锐角三角形的一个内角，确定，再利用函数图像与轴没有交点，结合，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的一个内角， ∴， ∴， ∵函数图像与轴没有交点， ∴， ∵， ∴， 即， 对于，看作关于的二次函数， ∵， ∴的图象开口向上， 又时， 解得：或， 利用二次函数与不等式的关系， 得的解为：或（舍）， ∴， 则的取值范围是， 故答案为：． 3．（23-24·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【易错必刷十三 利用同角三角函数关系求值】（共3小题） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式， 过辅助线如图，证明，得出，即，求出，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解∶过C作交延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选∶D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（2024·河南信阳·二模）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 【易错必刷十四 求证同角三角函数关系式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 【答案】 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 【易错必刷十五 互余两角三角函数的关系】（共3小题） 1．（23-24九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系，解题关键是掌握一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s ． 【答案】0 【分析】本题考查锐角三角函数之间的关系．根据平方关系，倒数关系，互余关系，进行求解即可．掌握三角函数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：0． 3．（23-24·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【易错必刷十六 三角函数综合】（共3小题） 1．（2022·浙江温州·二模）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是．（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接CA，可得四边形CAFÉ是矩形，故EF=AC，分别在Rt△ABC和Rt△CDE中，利用三角函数即可求解AC和DE的长，即可求得DF的长． 【详解】解：连接CA，如图， 由题可知四边形CAFÉ是矩形， ∴CA⊥AF，EF=CA， ∴， ∵AB⊥BC， ∴， ∴， 在Rt△ABC中，， ∴， 在Rt△CDE中，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形． 2．（2023·广东广州·二模）如图，在边长为的菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在处，连接，已知，，则的长为 ．（精确到，其中）    【答案】 【分析】根据菱形的性质，可得，是等腰三角形，可求出，如图所示，过点作于点，构造直角三角形，根据三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵四边形是边长为的菱形纸片，，， ∴，，，， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∵沿直线翻折，使点落在处， ∴，， 在中， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形，折叠，等腰三角形，三角函数的综合，掌握相关的性质及计算方法是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，． (1)求点M的坐标． (2)求的值． 【答案】(1)的坐标是 (2)的值为 【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义． (1)作，垂足为H，在中，根据已知条件，，结合锐角三角函数的定义，求出，然后求出的长，据此即可求得点M的坐标； (2)，根据,求出的长，在中，利用勾股定理求得的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， 由，， ， ， 故点的坐标是； （2）解：由（1）知， ， ． 【易错必刷十七 解直角三角形的相关计算】（共3小题） 1．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）在中，，若，则的正切值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，掌握直角三角形中各锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，设，，利用勾股定理得到，最后由三角函数的定义可得的值． 【详解】解：如图所示， 在中，，， ∴设，， ∴ ∴． 故选：A． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，中线与交于点F，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，三线合一定理，解直角三角形求出的长，过点E作交于点M，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再根据正切的定义即可得到答案． 【详解】解：，且是中线， ． ， ， 过点E作交于点M， 在中，， ∴，． 在中，， 故答案为：． 3．（2024·广东惠州·三模）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”） (2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）根据特殊角的三角函数值即可求解； （）利用勾股定理求出，延长至，使得，连接，如图所示，可得，，进而得，，根据即可求解． 【详解】（1）解：， 又∵， ∴， 即有， 故答案为：，； （2）解：在中，，，， ∴， 延长至，使得，连接，如图所示， ∴，， ∴，， ∴． 【易错必刷十八 解非直角三角形】（共3小题） 1．（23-24·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】C 【分析】首先由题意可证△ACB是等腰三角形，即可求得BC的长，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案． 【详解】解：过C作CD垂直于海岸线l交于D点， 根据题意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°， ∴∠CAB=∠ACB， ∴BC=AB=3km， 在Rt△CBD中， CD=BC×sin60°=3×=(km)， 故选择：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，应熟练运用图形的性质，熟记特殊角的正弦余弦正切值． 2．（23-24·山东滨州·一模）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈) 【答案】300m 【分析】如图，作CE⊥BA于E．设EC=x m，BE=y m．由题意可构建方程组求出x，y即可解决问题． 【详解】解：如图，作CE⊥BA于E．设EC=xm，BE=ym． 在Rt△ECB中，tan53°=，即， 在Rt△AEC中，tan37°=，即， 解得x=180，y=135， ∴AC==300(m)， 故答案为：300m． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用方程思想解决问题． 3．（23-24九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 【易错必刷十九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】（共3小题） 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 【答案】D 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）． 故选择：D． 【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题． 2．（23-24·辽宁·一模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 3．（23-24九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键． 【易错必刷二十 仰角和俯角问题】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而进而得到，然后利用解直角三角形求出，即可求解． 【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，    由题意可得，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵博雅楼顶部E的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∵点A是的中点， ∴， 由题意可得四边形是矩形， ∴， ∵尚美楼顶部F的俯角为， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故选：A． 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为 米． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．过点作于点，利用直角三角形的解法得出，进而解答即可． 【详解】解：过点作于点， 当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为， 米，， （米）， 旗杆的高度（米）， 故答案为：． 3．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【答案】隧道南北两端A、B的距离约为155米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键，分别过A、B两点作于E，于F，解直角三角形得出（米）， （米），求出结果即可． 【详解】解：分别过A、B两点作于E，于F，如图所示： 在中，，米， ，（米）．     在中，， ，（米）． （米）． 答：隧道南北两端A、B的距离约为155米． 【易错必刷二十一 方位角问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 2．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，此时海轮所在的B处与灯塔P的距离是 海里．（结果精确到0.1海里．参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；由直角三角形的特征得，由正弦函数得，即可求解；掌握解直角三角形的解法，能从已知条件中找出相关的线段及角度是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，，， ， ，， ， 解得：， 海轮所在的B处与灯塔P的距离是海里； 故答案：． 3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方5千米处，点在点的正西方，点在点的北偏东45°方向，点在点的正南方千米处，点在点的南偏西方向．（结果精确到十分位，参考数据：，） (1)求的长度； (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】(1)的长度约为千米 (2)小明应选择路线①，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． （1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 则四边形为矩形， 在中，， 答：的长度约为千米． （2）解：如图，在中，， 在中， ， 四边形为矩形， 路线①的长度为 路线②的长度为 小明应选择路线①． 【易错必刷二十二 坡度坡比问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，，，，大刀的坡度（即的坡度）为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡比问题，先根据坡度的概念求出，进而求出，再根据坡度的概念计算，得到答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：大刀的坡度， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024·山东济宁·二模）某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为：；将斜坡的高度提高米即米后，斜坡改造成斜坡，其坡度为．则改造后斜坡的长为 ． 【答案】米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题；根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，坡度为：，则， 设米，米， ，又， ， 米， 米， 斜坡的坡度为：， 米， 由勾股定理得：米， 答：斜坡的长为米． 故答案为：米． 3．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的运用，行程问题，解直角三角形的运用，掌握一次函数图象的性质，解直角三角形的方法是解题的关键． （1）根据解直角三角形可求的值，根据无人机的速度可求出时间，由此即可求解； （2）运用待定系数法即可求解； （3）根据无人机与小明的路程，分别求值的解析式，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点坐标是，，无人机速度为，如图所示，作于点，    ∴，， 在中，， 无人机从的时间为：， ∴小明在斜坡上的跑步速度为； （2）解：， ∴， ∴，且， 设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线所在直线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵无人机与小明之间距离不超过， ∴在段时，，即， 解得，； 在段时，， 解得，； ∴， ∴ ∴小明沿方向运动，无人机与小明之间距离不超过的时长为． 【易错必刷二十三 其他问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，旋转的性质，先解得到，再由旋转的性质得到，则，最后解求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定；由已知角可求得，则；在中，由正弦函数即可求得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 在中，； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直角三角形的边角关系易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 正切的概念辨析】（共3小题） 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将一块等腰直角三角板和一块含角的直角三角板叠放，则与的面积之比为 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，． （1）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （2）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ （3）在边上取一点D，使得，则和有什么大小关系？ 【易错必刷二 求角的正切值或边长】（共3小题） 1．（23-24九年级上·四川泸州·期末）已知在中，，，，则等于（　　） A．6 B．16 C．12 D．4 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）在中， 则的长为 ． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【易错必刷三 正弦的概念辨析】（共3小题）1．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 2．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）若，则锐角 锐角（填、或）． 3．（23-24九年级上·山西长治·阶段练习）如图，在中，，，，，的对边分别是，，． (1)利用锐角三角函数的定义求证：； (2)若，求的值． 【易错必刷四 求角的正弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 2．（24-25九年级上·上海青浦·期中）在中，，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在四边形中，，E是的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，则四边形的面积为______． 【易错必刷五 余弦的概念辨析】（共3小题） 1．（2024·河北邢台·一模）如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）比较大小：   （1） ；（2） ． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，，求的值． 【易错必刷六 求角的余弦值或边长】（共3小题） 1．（24-25九年级上·福建泉州·期中）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点都在格点上，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，，．求的值． 【易错必刷七 特殊角的三角函数】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于D，E两点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在中，，则 ． 3．（2024·青海西宁·一模）计算：． 【易错必刷八 特殊角三角函数值的混合运算】（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）的值等于（    ） A．0 B．1 C． D． 2．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）计算： ． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）计算 (1)； (2)． 【易错必刷九 由特殊角的三角函数值判断三角形的形状】（共3小题） 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是 ． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在平面坐标系内，点，．点为轴上动点，求的最小值． 【易错必刷十 根据特殊角三角函数值求角的度数】（共3小题） 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）若，则锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习） ；若，则锐角 ． 3．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知α是锐角，且，计算∶ 【易错必刷十一 已知角度比较三角函数值的大小】（共3小题） 1、（2025九年级下·全国·专题练习）如图，梯子（长度不变）与地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列说法中，正确的是（） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 2．（23-24九年级上·北京·单元测试）下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 3．（23-24浙江杭州·模拟预测）（1）计算：___________，___________，___________； （2）猜想：___________； （3）根据上述猜想结果，解决下面的问题： 若，且，求值． 【易错必刷十二 根据三角函数值判断锐角的取值范围】（共3小题） 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2（24-25九年级上·上海·阶段练习）是锐角三角形的一个内角，已知关于的函数图像与轴没有交点，则的取值范围是 ． 3．（23-24·浙江宁波·一模）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【易错必刷十三 利用同角三角函数关系求值】（共3小题） 1．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，连接，若要计算的面积，只需知道（   ） A．长 B．长 C．长 D．长 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 3．（2024·河南信阳·二模）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【易错必刷十四 求证同角三角函数关系式】（共3小题） 1．（23-24九年级上·上海静安·课后作业）⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 3．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【易错必刷十五 互余两角三角函数的关系】（共3小题） 1．（23-24九年级下·上海普陀·期中）在中，，已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：s ． 3．（23-24·广东惠州·一模）已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【易错必刷十六 三角函数综合】（共3小题） 1．（2022·浙江温州·二模）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是．（　　） A． B． C． D． 2．（2023·广东广州·二模）如图，在边长为的菱形纸片中，是边上一点，将沿直线翻折，使点落在处，连接，已知，，则的长为 ．（精确到，其中）    3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，． (1)求点M的坐标． (2)求的值． 【易错必刷十七 解直角三角形的相关计算】（共3小题） 1．（辽宁省鞍山市高新区2024--2025学年上学期九年级期中测试数学试卷）在中，，若，则的正切值等于（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，中线与交于点F，则 ． 3．（2024·广东惠州·三模）在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道： ， 发现结论： ； （选填“”或“”） (2)实践探究： 如图1， 在中，，，，求的值：小明想构造包含 的直角三角形： 延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解 ． 【易错必刷十八 解非直角三角形】（共3小题） 1．（23-24·江苏苏州·一模）如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（    ） A．km B．km C．km D．km 2．（23-24·山东滨州·一模）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为 ．(参考数据：tan37°≈，tan53°≈) 3．（23-24九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【易错必刷十九 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】（共3小题） 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 2．（23-24·辽宁·一模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 3．（23-24九年级上·山东青岛·期末）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【易错必刷二十 仰角和俯角问题】（共3小题） 1．（2024九年级上·全国·专题练习）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度为 米． 3．（2024·安徽合肥·三模）昌景黄高铁于2023年底通车运行，在设计线路图时，有很多地方需要打隧道．如图就是某隧道示意图，为了测量隧道的长度，施工队用无人机在距地面高度为200米的C处测得隧道南北两端A、B的俯角、（已知A、B、C三点在同一平面上），求该隧道南北两端A、B的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，） 【易错必刷二十一 方位角问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 2．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处．海轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，此时海轮所在的B处与灯塔P的距离是 海里．（结果精确到0.1海里．参考数据：，，） 3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点在点的正东方，点在点的正北方5千米处，点在点的正西方，点在点的北偏东45°方向，点在点的正南方千米处，点在点的南偏西方向．（结果精确到十分位，参考数据：，） (1)求的长度； (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【易错必刷二十二 坡度坡比问题】（共3小题） 1．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）小明看完“上刀山”表演后，被表演艺人精湛技艺所震撼，他发现，艺人在如图大刀的段表演时最精彩，他想利用所学知识测量一下B点的高度，已知点P、A、B在一条直线上，点P、C、D也在一条直线上，，，，大刀的坡度（即的坡度）为，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济宁·二模）某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡米，坡度为：；将斜坡的高度提高米即米后，斜坡改造成斜坡，其坡度为．则改造后斜坡的长为 ． 3．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 【易错必刷二十三 其他问题】（共3小题） 1．（24-25九年级上·山东威海·期中）如图，鱼竿的长为．露在水面上的鱼线的长为，将鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是（   ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，要测量河内小岛B到河岸l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得，则小岛B到河岸l的距离为 m． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $$