专题03 直角三角形的边角关系40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 直角三角形的边角关系40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】 题型一 锐角三角函数与三角形压轴 题型二 锐角三角函数与四边形压轴 题型三 锐角三角函数与一次函数压轴 题型四 锐角三角函数与相似压轴 题型五 锐角三角函数的最值训练 题型六 锐角三角函数的应用 题型七 锐角三角函数的新定义问题 题型八 锐角三角函数的综合 【经典例题一 锐角三角函数与三角形压轴】 1．（1）如图，已知，求证：； （2）如图，在中，，点为斜边上的一点，连接．作使得，边与边相交于点．已知，，求的值（用含的代数式表示）； （3）如图，在中，，，，点为斜边上一点，且，点在边上，且，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）首先由相似三角形的性质得到，然后证明出，即可得到； （2）由得到，，然后证明出，得到，然后得到，设，则，根据求解即可； （3）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，，垂足为，证明出，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】（1）证明：， ，， ，即， 又，即， ， ； （2）解：如图所示， ， ，，， ，即， ， ，， ， 又， ， ， 又， 设，则， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，，垂足为， ，， ， ，， 又， ， 由题意可知，， ， ， ， ， ，由勾股定理得：，， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．综合与探究 问题情境：我们使用两块大小相同的含角的直角三角板来探究一些数学问题． 将两块三角板按图1位置摆放，，，与重合，与在一条直线上． 旋转探究：（1）固定三角板，将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转，如图2，与交与点D，与交于点E，连接． ①求证：． ②猜想：是什么三角形，并说明理由． 平移探究：（2）将图2中的沿射线方向平移得到，此时B，C，在一条直线上．如图3，交于点M，交于点N，若，平移距离为，请直接写出的面积S与平移距离d之间的函数关系． 【答案】（1）①见解析；②是等边三角形，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握旋转和平移的性质是解答本题的关键． （1）①由旋转的性质求出，然后根据内错角相等两直线平行即可得证； ②先证明得，进而可证是什么三角形； （2）由平移的性质得，，，，求出，由（1）②知，，求出，，进而求出，，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：∵将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转60°， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； ②解：是等边三角形，理由： ∵将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）由平移的性质得，，，， ∴， ∴． 由（1）②知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，证明为等边三角形，为等边三角形．得出，，即可得证； （2）过点A作于点D．先求出，再解直角三角形即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形． ∴，， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴点A到直线的距离为． 4．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 【答案】知识迁移：，；拓展应用：1． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 知识迁移： 作平分交于，过作于，设，则，，由面积法求得，进而即可求得；同理可得：； 拓展应用： 连接，证出，，，设，，，，求出，则可得出答案． 【详解】知识迁移： 解：如图，作平分交于，过作于， ∵， ∴， ∵平分交于， ，， 中，， 即， 设， 则， ， ∵， ∴即， ∴， ∴； 同理可得：， 故答案为：，； 拓展应用： 解：连接， ，， ， ，， ， ， ， ，； 设，， ，， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线分别交于，，于点E，O，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质则，，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，推出，同理，即可证得结论； （2）根据菱形的性质，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵垂直平分线段， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：过D作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【经典例题二 锐角三角函数与四边形压轴】 6．在矩形中，点E在边上，，过点C作于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若点F为线段的中点，直接写出长度等于线段的倍的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，得，进而得出结论； （2）证出，得，则，证是等边三角形，得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：长度等于线段的倍的线段有，理由如下： ∵点F为线段的中点， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 7．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出对角线的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)①若（1）中所作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，，则四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是菱形，理由见解析；② 【分析】（1）分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，直线即为所作； （2）①由线段垂直平分线的性质得出，，，从而得出，由平行四边形的性质得出，推出，得到，进而得出，即可得解；②于，则，解直角三角形求出，，得出，再由勾股定理求出，最后由面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， ； （2）解：①四边形是菱形， 理由如下： ∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②作于，则， ， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：， ∵四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．综合探究 已知在矩形中，，，过点C作对角线的垂线l，点E为直线上一点，过点E作，交直线l于点F． (1)如图（1）所示，当点F在的延长线上时， (2)如图（2）所示，过点F作的延长线，垂足为点G，请写出与的数量关系，并说明理由． (3)连接，当是等腰三角形时， 求的长． 【答案】(1)30度 (2)相等，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）首先由特殊角的三角函数值求出，然后证明出，得到，进一步证明出，即可得到； （2）首先由含角直角三角形的性质得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）设，则，首先判断出若是等腰三角形，则或，然后分情况讨论，分别根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，设与交于点O， ∵在矩形中， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）相等，理由如下： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； （3）设，则 ∵， ∴ 若是等腰三角形，则或 ①如图所示，当， 且点F位于上方时，作， ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ 解得，（舍去）； ②如图所示，当， 且点F位于下方时，延长交于点 N， 在中， 同理可得 解得，(舍去)； ③如图所示，当时， 延长交于点N， ∵，， 综上可得，或或． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 9．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明； （2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形． ∴，， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D．    ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴点A到直线的距离为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 10．如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)若 ①求的长； ②若P，Q分别是线段上的动点，求的最小值． (2)若，记，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质、折叠性质、勾股定理、最短路径问题、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、解一元二次方程等知识，解答的关键是利用相似三角形的性质以及设参数求解． （1）①根据矩形性质得，，，，由折叠性质得，，然后利用勾股定理求解即可； ②根据折叠性质得垂直平分，则，当F、P、Q共线，且时，最小值，最小值为的长，证明四边形是矩形，则有； （2）先证明，利用相似三角形的性质以及正切定义得到，设，，，利用勾股定理可得，再利用相似三角形的性质列方程求得，进而可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质得，， 在中，， 在中，，， 由勾股定理得，则， 解得； ②连接，根据折叠性质得垂直平分， ∵P，Q分别是线段上的动点， ∴，如图，当F、P、Q共线，且时，最小值，最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 设，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，则， 由得， ∴， 即， 整理，得，即， ∴，则（负值已舍去）， ∴． 【经典例题三 锐角三角函数与一次函数压轴】 11．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）由时，P与O重合，得，时，P与B重合，得； （2）设，由，即，得到，则；分两种情况：当时，设交于E，可得，得到，则；当时，求出直线AB解析式为，可得，由得，故． 【详解】（1）解：当时，P与O重合，此时， 当时，，P与B重合， ∴，， ∴的长为4，的面积为， 故答案为：4，； （2）∵A在直线上， ∴， 设， ∴，即， ∴， ∴； 当时，设交于E，如图：    ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    设直线解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息． 12．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴，． (1)求反比例函数解析式； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）首先求出点B坐标，作于，利用等角的余角相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】（1）解：点在上， ， ， 把代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的解析式为：； （2）、两点关于原点成中心对称， ； 如图所示，作于， ，， ， 轴，轴， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线，分别相交于第二、四象限内的，两点，直线与x轴交于点C．已知，． (1)求直线，双曲线对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)直接写出的解集． ． 【答案】(1)，； (2)9 (3)或． 【分析】（1）根据，，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，不等式的解集． 【详解】（1）解：设直线与y轴交于点D， 在中，，． ∴， 即点， 把点，代入直线得， ，解得，， ∴直线的关系式为； 把，代入得， ，， ∴，， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∴，； （2）∵，，， ∴ ． （3）由图象可知，不等式的解集为或． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入解析式是常用的方法，锐角的正切的应用，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键． 14．如图，矩形的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且，．反比例函数的图象经过点A，交，于点M，N，，连接，，． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点N的坐标为 (2)点P的坐标为或 【分析】（1）作轴于点E，由点的坐标与图形的性质求得点，代入反比例函数解析式求得该双曲线方程；由点M的坐标易得点B的坐标，再由此设点N的坐标为，代入求得n的值即可； （2）．设点P的坐标为，由“的面积与四边形的面积相等”可得，由此求得p的值即可． 【详解】（1）解：作轴，由，，可得，． ∴点A的坐标为． ∴反比例函数的解析式为， 由，， 可得点M的坐标为． 由，， 可得． ∴点B的坐标为． 设点N的坐标为，代入中，得． ∴点N的坐标为． （2）解： ． 设点P的坐标为． 由，得． ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的面积公式，三角形的面积公式，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，综合性比较强，但是难度不是很大． 15．已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点，，AB⊥x轴于点B，若． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线AO的垂线，交直线AC于点P，求P点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，从而求出点A的坐标，再代入反比例函数中求出k的值，再将点和点代入直线解析式，求出m、n的值即可； （2）过点P作x轴的垂线，设点P的坐标为，再证明△ABO∽△ODP，列出，即，解出t的值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴AB=a，BM=4， ∴， ∴a=3， ∴， ∴反比例函数关系式为， 将点和点代入直线解析式得： ，解得：， ∴直线AM的函数表达式； （2）过点P作x轴的垂线，垂足为D， ∵直线AM的函数表达式 ∴设点P的坐标为， ∵AB⊥x轴，PD⊥x轴， ∴∠ABO=∠PDO=90°， ∴∠BAO+∠BOA=90°， ∵AO⊥OP， ∴∠POD+∠BOA=90°， ∴∠BAO=∠POD， ∴△ABO∽△ODP， ∴ 即， 解之得， ∴ ∴P点坐标为 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的性质及判定，正确求出解析式是解题的关键． 【经典例题四 锐角三角函数与相似压轴】 16．在四边形的边上任取一点E（点E不与A，B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”． (1)如图①，，试判断点E是否是四边形的边上的相似点，并说明理由； (2)如图②，在矩形中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形的边上的强相似点； (3)如图③，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】根据题意证明和，得到∽； 以为直径画弧，与的交点即为所求； 根据相似三角形的性质和折叠的性质解答即可． 【详解】（1）解： ，， ， 又， ∽， 点是四边形的边上的相似点； （2）解：如图中所示的点和点为上的强相似点； （3）解：∵点是四边形的边上的一个强相似点， ∽∽， ， 由折叠可知：≌， ，， ，， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合应用，解直角三角形，矩形与折叠，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 17．如图1，P为内一点，连接，如果与相似，那么称点P为的“黄金点” (1)①等边三角形______“黄金点”（填“存在”或“不存在”）： ②中，，，若点P是的“黄金点”，则______°； (2)如图2，中，，，的中线交于点P，试说明：点P是的“黄金点”； (3)如图3，中，，，，若点P是的“黄金点”，且点P在的平分线上，求的长． 【答案】(1)①不存在；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①证明不可能是等边三角形，则与一定不相似，即可得到结论；②分三种情况讨论即可得到答案； （2）在中，，，可设,则，，则，，，同时得到，则，，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，,得到，即可得到结论； （3）若点P是的“黄金点”，由（1）中②可知，则，先证明，则,得到，，则，，由，则，代入数值即可得到的长． 【详解】（1）解：①∵点P是为等边三角形内一点， ∵是等边三角形， ∴, ∵点P是为等边三角形内一点， ∴，， 即，， ∴不可能是等边三角形， ∴与一定不相似， ∴等边三角形不存在 “黄金点”， 故答案为：不存在 ②∵在中，，， ∴， 若， 则,， ∴此种情况不存在； 若， 则,， 即点P在上， ∴与P为内一矛盾， ∴此种情况不存在； 若， 则,，， ∴此种情况成立； 综上可知， 故答案为： （2）在中，，，可设, ∴， ∵的中线交于点P， ∴，是的中位线，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，, ∴， ∴点P是的“黄金点”； （3）若点P是的“黄金点”，由（1）中②可知，则， ∴， ∵点P在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 即的长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理及其逆定理、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值． (2)若E为轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断与是否相似？请说明理由． 【答案】(1)； (2)或，与相似，理由见解析过程； 【分析】（1）解方程可得，再用勾股定理求出的长即可求出； （2）由三角形的面积公式可求解；由线段长度可得，且，可证； 【详解】（1）解：解一元二次方程得， ， ， , 中，, , 故答案为：； （2）， ， ， ∵点E在x轴上， ∴E点的坐标为或， 故答案为：或． 与相似，理由如下： ，， 又， ； 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，一元二次方程，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 19．已知：如图，各顶点的坐标分别是．    (1)求的余切值； (2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由两点距离公式可求，，由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解； （3）根据题意可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点B作于H，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P在y轴正半轴上， ∴， 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述：当点P的坐标为或时，与相似； （3）解：∵，， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 此时点M的坐标为或．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 20．如图，已知正方形的边长是4，点E是边上一动点（点E不与点B、C重合），点F是射线上一点，且，交于点P，，垂足为O，交射线于点Q，设．    (1)若点E是的中点，求的值； (2)若点Q在边上，求的长（用含有m的代数式表示）； (3)连接，若与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点E作于H，分别求出线段，即可求解； （2）过点E作于G ，证即可求解； （3）分类讨论点Q在线段上和线段的延长线上，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点E作于H，      ∵点E是的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如图2，过点E作于G，      ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：一、如图3，当点Q在线段上时，      ∵， ∴， ①若， ∴， ∴， ∴， ∴ ②如图3，当时， 则， ∴， ∴， ∴； 二、当点Q在线段的延长线上时，      当时， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：的长为或或 【点睛】本题考查了正方形的性质、求一个角的正切值、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．综合性较强，熟记相关结论是解题关键． 【经典例题五 锐角三角函数的最值训练】 21．问题探究： （1）如图①，在等边中，点为高上的动点，过点作，垂足为点，则的值为_____； （2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点．若点为线段上的动点，求的最小值； 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且．点在边上，且．点在边上，将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处．那么在折痕上是否存在点，使得最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）最小值不存在 【分析】（1）根据等边三角形的三线合一性可以得到，再利用三角形解得到结果； （2）根据一次函数与坐标轴的交点可以得到两点的坐标，进而根据最小路径的求出最小值； （3）根据题目给出的条件得到：，进而得出点不存在． 【详解】解：(1) ∵在等边中，为的高 ∴ ∴ （2） 过作的对称点，作，作于，交于点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴最小 ∴与相交与点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为： （3）不存在，如图所示 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴作轴于 设 ∴ ∴ ∴ ∴在中 ∴ ∴解得： ∵ ∴在　中， ∴ ∴最小值不存在 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，特殊角的三角形函数等相关知识点，灵活运用特殊角三角形函数是解题的关键． 22．【问题提出】 （1）如图①，在中，，，．若点P是边上一点，则的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，试求的最小值； 【问题解决】 （3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点B作于P，由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据勾股定理和三角形面积公式求解即可； （2）作点E关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知，可得共线，此时最小，最小值为的长度，根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可； （3）作C关于的对称点M，连接，交于，作点C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，交于点E，交于点F，由轴对称的性质可得，再根据轴对称的性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）过点B作于P，如图， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∵， ∴ ∵ ∴， 故答案为：； （2）作点E关于直线的对称点，连接，如图， ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， ∴共线， ∴此时最小，最小值为的长度， ∵ ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值为； （3）作C关于的对称点M，连接，交于，作点C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，交于点E，交于点F，如图， ∵C，N关于对称，C，M关于对称， ∴， ∴， ∵共线， ∴此时的值最小， ∵，，， ∴ ∵C，M关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵C，N关于对称，， ∴共线，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴的长为500米，的长为1000米． 【点睛】本题考查了四边形的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质，含30度的直角涉及相对的性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解直角三角形等，解题的关键是作对称以及熟练掌握知识点． 23．综合与实践 某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，． 问题初探 （1）如图2，当点D在直线上时， ①求证：． ②推断：与的比值． 问题深入 （2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由． 问题解决 （3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，． ①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由． ②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？ 【答案】（1）①见解析；②；（2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立，理由见解析；（3）①存在，见解析；②x=4，最小值为 【分析】（1）①由，，，得，，则，，所以，则，即可证明； ②由相似三角形的性质得； （2）由，，，得，，则，所以，因为，所以，则与不垂直，可知（1）①中的结论不成立；因为，所以（1）②中的结论成立； （3）①连接、，作于点M，可证明，，所以，则，，而，，所以，，则，，可证明，得，则，所以边上存在使恒成立的点M，点M为的中点． ②由，可知点F在经过点C且与垂直的直线上运动，作交的延长线于点P，求得，则，当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值，由点E与点C重合，得，所以当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）①证明：如图2，∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴， ∴， ∴． ②的值为， 理由：∵， ∴， ∴的值为． （2）（1）①中的结论不成立，（1）②中的结论成立， 理由：如图1，∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点D不在直线上， ∴， ∴， ∴与不垂直， ∴（1）①中的结论不成立； ∵， ∴， ∴的值为， ∴（1）②中的结论成立． （3）①存在，点M是的中点， 理由：如图3，连接、，作于点M，则， ∵点O是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴边上存在使恒成立的点M，点M为的中点． ②如图3， ∵， ∴， ∴点F在经过点C且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点P，则， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点F重合时，的值最小，此时y取得最小值， 如图4，点P与点F重合，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点E与点C重合， ∴，即， ∴当点E在点B的右侧，且时，y的值最小，最小值为． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、正多边形的半径及中心角的定义、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 24．（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值． （3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）    【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）的长为500米，的长为1000米 【分析】（1）过B作于P，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法即可求解； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，由E，关于直线对称，可知，当B，P，共线时，此时最小，最小值为的长度，根据，点E是的中点，可得，再用勾股定理可得答案； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，由C，N关于对称，C，M关于对称，，当N，E，F，M共线，最小，根据，，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米． 【详解】解：（1）过B作于P，如图：    由垂线段最短可知，时， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）作E关于直线的对称点，连接交于P，如图：    ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， 当B，P，共线时，最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵E，关于直线对称， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值为； （3）作C关于的对称点M，连接交于H，作C关于的对称点N，连接，延长，交于G，连接，连接交于E，交于F，如图：    ∵由C，N关于对称，C，M关于对称， ∴， ∴， 当N，E，F，M共线时，此时最小； ∵， ∴， ∵C，M关于对称， ∴， ∴， ∴米，由勾股定理得米， ∴米， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∵C，N关于对称， ∴C，B，N共线，， ∴米， 由勾股定理得米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， （米）， 在中， （米）， ∴（米）， 答：的长为500米，的长为1000米． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题． 25．动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法． 如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H． （1）在图1中：易知，则 ； 思考探索 如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点． （2）在图2中：的面积为 ； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积； ②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）①18；②最小值为， 【分析】（1）利用AAS证明，求出，则，问题随之得解； （2）同（1），利用AAS证明，可得，再根据面积公式即可作答； （3）①过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理求出AE的长度，过点作交延长线于点，再证明，可得，，问题随之得解；②由点C是点B关于AE的对称点可知的最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，由比例线段求出DE的长，即可得到答案． 【详解】解：（1）由旋转的性质，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 又∵， ∵， ∴， 在和中， ∴ ； ∴， ， ， 故答案为：； （3）①过点A作AE⊥BC于点E，如图 ∵，，， ∴， ∴， 过点作交延长线于点， 与（1）（2）同理，可证， ∵， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 在等腰中，，， ∴垂直平分， ∴点C是点B关于的对称点，则， 设与的交点为点D，则此时有最小值，如图： 即的最小值为线段的长度， ； ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，有最小值． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，是几何变换综合题，证明是解题的关键． 【经典例题六 锐角三角函数的应用】 26．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一条直线上，；测得，，，连接． (1)求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线的距离）．（精确到，参考数据：） 【答案】(1)见详解 (2)雕塑的高约为米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ， 即， ， 即． （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 在中，， ， ， ， 在中，， 米， 答：雕塑的高约为米． 27．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 (1)求的距离．（结果保留到个位） (2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 【答案】(1)的距离为840米 (2)小明先到达点E 【分析】（1）过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K，证明四边形为矩形，四边形为正方形，为等腰直角三角形，设，根据相关性质以及勾股定理求出，，，的长根据，求出x的值，进而得出结果； （2）利用他们没人所走的距离除以速度得出时间进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作交于点F，交于点H，交于点I，交于点J，于点K， 则四边形为矩形， 设， 点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向且， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 米， 米， 点C位于点B东北方向， ， 米， 米， ， 解得：， ， ， 米； （2）由（1）可知米， 小明走到E点所用时间为秒， 小刚走到E点所用时间为秒， ， 小明先到达点E． 【点睛】本题考查了方位角，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的计算，等腰三角形的判定与性质，有理数混合运算的应用，准确作出辅助线，求出相关边长是解题关键． 28．综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 【答案】【折纸探究】；折叠一：见解析；折叠二：，见解析；【解决问题】 【分析】解：折纸探究：由折叠的性质可得；折叠一：可证明，得结论；折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接，证明，得，从而求出、和的关系；解决问题：延长到点，使得，连接，交于点，连接．易证，可转化为“折叠二”问题，得，把代入， 得 【详解】解：折纸探究：根据轴对称的性质得出， 折叠一：连，交于点． ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 解决问题： 延长到点，使得，连接，交于点，连接． ∵平分， ∴， ∴， 转化为“折叠二”问题， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，三角函数的定义，关键是作适当的辅助线构造相似三角形． 29．综合与实践： (1)问题背景：如图（1），在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且，探索，，的数量关系；则得出的结论是_________． (2)探索延伸：如图（2），若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，（1）中的结论是否仍成立？并说明理由； (3)实际应用：如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)111海里 【分析】（1）如图1证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）延长、相交于点G，根据题意得到，，，根据图2的结论计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）（1）中的结论仍然成立，即．理由： 延长到点G．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； （3）延长、相交于点G， 舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处， ， ， 舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处， ， 甲、乙两舰艇分别到达E，F处， 舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处， 且舰艇乙在指挥中心南偏东， ，海里，海里， ， 为等边三角形， ， ， ， 在四边形中 ， ， 符合（2）中的条件，结论成立， 海里． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 30．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，正确记忆相关知识点是解题关键． 任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可； 任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出； 任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 斜坡的坡比为， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米，米， ，两点的垂直高度差为10米； 任务 延长交的延长线于点，延长交于点， 由题意得：米，， 设米， 米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， ．（米， 顶点到水平地面的垂直高度为38.7米； 任务 若选择小组一的方案： 在中，，米， （米， （米， 旗杆的高度为30.1米； 若选择小组二的方案： 在中，，（米， （米， 在中，， （米， （米， 旗杆的高度为31.16米． 【经典例题七 锐角三角函数的新定义问题】 31．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，定义每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C，D，E，F均在格点上． 【基本感知】 （1）观察网格，填空． ______；______； 【操作探究】 （2）通过平移、旋转，使得的顶点A与顶点D重合，边与重合，边在的左侧，得到．请在图中画出，并用量角器测量______°； （3）观察所画的图形，点B也在格点上，连接，则是______三角形． 【答案】（1）；  （2）画图见解析；45  （3）等腰直角 【分析】本题考查了求正切，全等三角形的判定和性质． （1）根据正切的定义，即可解答； （2）根据题意作图，再测量即可； （3）令旋转后点B的对应点为，通过证明即可得出结论． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）如图所示，即为所求； 经过测量可得：， 故答案为：45； （3）令旋转后点B的对应点为， 根据勾股定理可得：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 32．建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 【答案】桅杆天线的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：米，米，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：米，米， 设米， 在中，， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 塔高达米， 米， 桅杆天线的高度约为米． 33．阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 34．阅读与思考 请阅读下面材料，并完成相应的任务． 有趣的布罗卡尔点 1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，三角形这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，引起一大批数学家的兴趣，形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系． 定义：如图1，若内一点P满足，则称点P为的布罗卡尔点．若设，则称α为布罗卡尔角．研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点．    任务： (1)如图2，是等边三角形． ①等边三角形的布罗卡尔角的度数为___________． ②若设等边三角形的面积为S，边长为a，三条边长的平方和为m，布罗卡尔角为β，求证：． (2)如图3，在等腰直角三角形中，，若点P是的一个布罗卡尔点，且满足，，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据布罗卡尔角的定义以及等腰三角形的性质求解即可；②利用等边三角形三角形的面积公式求解即可； （2）利用等腰直角三角形的性质，得出，证明，推出，可得结论． 【详解】（1）①解：   是等边三角形， ， ， ， ， ， 同理可得， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②证明：由①可知，， ， 如图，过点A作于点H，则，    ， ， ； （2）解：是等腰直角三角形， ， ， ， ，即， 又， ， ， ，， ， . 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，布罗卡尔角的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 35．定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，，，则四边形为蝴蝶四边形． (1)【概念理解】如图2，正方形中，对角线与相交于O．求证：正方形为蝴蝶四边形； (2)【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：； (3)【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形中，， ，．当是等腰三角形时，求此时以为边的正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）由正方形的性质可知，，则和都是等腰直角三角形，进而结论得证； （2）证明，进而可证； （3）如图，延长交于N，证明，则，由，可得，则，，勾股定理求，则，进而可求面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴正方形为蝴蝶四边形； （2）证明：∵四边形是蝴蝶四边形，， ∴和都是等腰直角三角形，，， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于N， ∵是等腰三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为边的正方形的面积为5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 【经典例题八 锐角三角函数的综合】 36．在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接交直线于点． (1)如图1，若，，，，求的面积； (2)如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，点是直线上一点，连接、，将沿翻折后得到，连接，点是的中点，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由可得，，进而根据求出，由即可解题； （2）先证明，可得，，过点作，交于，证明得是等边三角形，进而可得，再证明可得，由此可得，再在等腰三角形中求出即可得出结论. （3）连接，由（2）得，结合，可得 ，再由，可得，得是中位线，得出， 由翻折可知：，由此可得，即当、、三点共线时，最大，由此求出，进而求出. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵ （2）结论：， 证明：由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 如图，过点作，交于， 作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. （3）连接，如图， 由（2）得， 又∵， ∴，解得：， 由（2）得， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∴当最大时，最大， 由翻折可知：， ∴， ∴当、、三点共线时，最大，如图： 此时 ∴， ∴. 【点睛】本题考查了解三角形、旋转的性质和全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质、三角形中位线性质、最短距离等知识点，涉及了几何中几种常见模型：倍长中线模型、旋转全等模型、最短距离模型，解题关键是证明过点作，交于，证明是等边三角形，得，，得是中位线. 37．综合与实践 问题情境 如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接，，，，． 推理证明 （1）求证：为等腰直角三角形． 深入探究 （2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边与边交于点P时，若，猜想与的数量关系，并说明理由． ②在①的条件下，求旋转角度的值． （3）如图3，当点E落在边上时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，（3）问的关键是构造，得到，由求解． （1）证明即可得，，由此即可证明结论； （2）①证明，由等边对等角即可得出结论； ②作，易证明，由此得出，进而求出求旋转角度； （3）延长、交于点，易求，，再证明，可得，，进而可得． 【详解】（1）∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2）①∵，， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵矩形中，， 由①得， ∴， ∴， 又， ∴，， 即旋转角度 （3）延长、交于点， ∵矩形矩形， ∴，， ， ∴，， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 38．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，分别交于点，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得，，再根据，继而推出，利用证明即可； （2）过点作于点，根据正切的定义得，继而得到，设，则，根据正方形的性质及等角对等边，进一步推出，再根据平行线分线段成比例定理可得结论； （3）由（1）推出，设，则，得，，在中得，由（2）知，得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：过点作于点， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为； （3）由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在中，， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点．掌握锐角三角函数，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 39．(1)如图，在中，，，．为同一平面上一动点，且点与点之间的距离为，连接，．在点移动过程中，的最大值为 ． (2)在同一平面内，有，，，四个动点，米，米，点位于上方，点位于下方，，相交于点，连接，，要求，当四边形的面积最大时，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得当位于的中点时，最大，此时也最大，即可求解； （2）根据题意得当，最大，此时，再根据得到即可解答． 【详解】（1）解：，且点与点之间的距离为， 的轨迹是以为直径的圆， 当位于的中点时，最大，此时也最大， 此时，，， 在中，， 所以，的最大值为， 故答案为：； （2）解：如图，过作于，过作于， ， 米， ， ， ， 米， 平方米， 当取最大值平方米时，此时，如下图： ， ， ， 设米，米， 则米，米， ， ， ， ， 故． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的性质、解直角三角形、三角形三边关系、直径所对的圆周角为的逆用等知识点，解答本题的关键是掌握以上知识点． 40．一副三角板分别记作和，其中，．作于点M，于点N，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的绕点C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段的数量关系，并证明； ③当时，直接写出线段的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；③当时，线段，，的数量关系为 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即， 而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；②如图，当时，连接，同理，结合，可得 【详解】（1）证明：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形是正方形； ②，证明如下： 如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴ ③，证明如下： 如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直角三角形的边角关系40道压轴题型专训（8大题型） 【题型目录】题型一 锐角三角函数与三角形压轴 题型二 锐角三角函数与四边形压轴 题型三 锐角三角函数与一次函数压轴 题型四 锐角三角函数与相似压轴 题型五 锐角三角函数的最值训练 题型六 锐角三角函数的应用 题型七 锐角三角函数的新定义问题 题型八 锐角三角函数的综合 【经典例题一 锐角三角函数与三角形压轴】 1．（1）如图，已知，求证：； （2）如图，在中，，点为斜边上的一点，连接．作使得，边与边相交于点．已知，，求的值（用含的代数式表示）； （3）如图，在中，，，，点为斜边上一点，且，点在边上，且，求的值． 2．综合与探究 问题情境：我们使用两块大小相同的含角的直角三角板来探究一些数学问题． 将两块三角板按图1位置摆放，，，与重合，与在一条直线上． 旋转探究：（1）固定三角板，将三角板绕直角顶点C逆时针方向旋转，如图2，与交与点D，与交于点E，连接． ①求证：． ②猜想：是什么三角形，并说明理由． 平移探究：（2）将图2中的沿射线方向平移得到，此时B，C，在一条直线上．如图3，交于点M，交于点N，若，平移距离为，请直接写出的面积S与平移距离d之间的函数关系． 3．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 4．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案． 2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空： 先作，其中，；然后延长到点，使，连接． （1）． （2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），． （3）． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究： 【知识迁移】 在中，，，那么____；____． 【拓展应用】 如图，在中，，，，点、分别在边、上，且，，连接、交于点，求的值． 5．如图，在中，是的角平分线，的垂直平分线分别交于，，于点E，O，F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长 【经典例题二 锐角三角函数与四边形压轴】 6．在矩形中，点E在边上，，过点C作于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若点F为线段的中点，直接写出长度等于线段的倍的线段． 7．如图，四边形是平行四边形，是对角线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出对角线的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)①若（1）中所作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，，则四边形的面积为______． 8．综合探究 已知在矩形中，，，过点C作对角线的垂线l，点E为直线上一点，过点E作，交直线l于点F． (1)如图（1）所示，当点F在的延长线上时， (2)如图（2）所示，过点F作的延长线，垂足为点G，请写出与的数量关系，并说明理由． (3)连接，当是等腰三角形时， 求的长． 9．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 10．如图，在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)若 ①求的长； ②若P，Q分别是线段上的动点，求的最小值． (2)若，记，，求的值． 【经典例题三 锐角三角函数与一次函数压轴】 11．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A．为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴交直线于点D，与的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．    (1)的长为 ___________；的面积为 ___________； (2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 12．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴，． (1)求反比例函数解析式； (2)求的值． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线，分别相交于第二、四象限内的，两点，直线与x轴交于点C．已知，． (1)求直线，双曲线对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)直接写出的解集． ． 14．如图，矩形的顶点O与坐标原点重合，点C在x轴上，点A在对角线OB上，且，．反比例函数的图象经过点A，交，于点M，N，，连接，，． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)若点P在x轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 15．已知直线与x轴交于点，与反比例函数图象交于点，，AB⊥x轴于点B，若． (1)求反比例函数和直线的函数表达式； (2)过点O作直线AO的垂线，交直线AC于点P，求P点坐标． 【经典例题四 锐角三角函数与相似压轴】 16．在四边形的边上任取一点E（点E不与A，B重合），分别连接，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形的边上的“强相似点”． (1)如图①，，试判断点E是否是四边形的边上的相似点，并说明理由； (2)如图②，在矩形中，A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形的边上的强相似点； (3)如图③，将矩形沿折叠，使点D落在边上的点E处，若点E恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系． 17．如图1，P为内一点，连接，如果与相似，那么称点P为的“黄金点” (1)①等边三角形______“黄金点”（填“存在”或“不存在”）： ②中，，，若点P是的“黄金点”，则______°； (2)如图2，中，，，的中线交于点P，试说明：点P是的“黄金点”； (3)如图3，中，，，，若点P是的“黄金点”，且点P在的平分线上，求的长． 18．如图，平行四边形在平面直角坐标系中，，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)求的值． (2)若E为轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断与是否相似？请说明理由． 19．已知：如图，各顶点的坐标分别是．    (1)求的余切值； (2)若点在轴的正半轴，且与相似，请直接写出点的坐标； (3)已知点在轴上，如果，求点的坐标． 20．如图，已知正方形的边长是4，点E是边上一动点（点E不与点B、C重合），点F是射线上一点，且，交于点P，，垂足为O，交射线于点Q，设．    (1)若点E是的中点，求的值； (2)若点Q在边上，求的长（用含有m的代数式表示）； (3)连接，若与相似，求的长． 【经典例题五 锐角三角函数的最值训练】 21．问题探究： （1）如图①，在等边中，点为高上的动点，过点作，垂足为点，则的值为_____； （2）如图②，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点．若点为线段上的动点，求的最小值； 问题解决： （3）如图③，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，且．点在边上，且．点在边上，将沿翻折，使得点恰好落在边上的点处．那么在折痕上是否存在点，使得最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 22．【问题提出】 （1）如图①，在中，，，．若点P是边上一点，则的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，试求的最小值； 【问题解决】 （3）某市一湿地公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点E，F分别在边上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计） 23．综合与实践 某数学兴趣小组在探索等腰直角三角形有关问题时，经历了如下过程： 如图1，和是共顶点的等腰直角三角形，． 问题初探 （1）如图2，当点D在直线上时， ①求证：． ②推断：与的比值． 问题深入 （2）当点D不在直线上时，（1）中的结论还成立吗？请结合图1说明理由． 问题解决 （3）如图3，点O是正方形的中心，点E在直线上运动，连接，过点E作，且，连接，． ①正方形的边上是否存在一点M，使恒成立？若存在，直接写出点M的位置；若不存在，说明理由． ②连接，若正方形的边长为4，设，，当x为何值时，y的值最小，最小值为多少？ 24．（1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　． （2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值． （3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）    25．动手操作 利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法． 如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H． （1）在图1中：易知，则 ； 思考探索 如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点． （2）在图2中：的面积为 ； 拓展延伸 （3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积； ②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值． 【经典例题六 锐角三角函数的应用】 26．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E在同一条直线上，；测得，，，连接． (1)求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线的距离）．（精确到，参考数据：） 27．如图为某公园平面图，小明沿路线跑步运动，小刚沿路线跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，，点D位于点G北偏西方向，点E位于点D北偏西方向，且，已知 米， 米， 米，（参考数据 (1)求的距离．（结果保留到个位） (2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E． 28．综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 29．综合与实践： (1)问题背景：如图（1），在四边形中，，，．E，F分别是，上的点．且，探索，，的数量关系；则得出的结论是_________． (2)探索延伸：如图（2），若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，（1）中的结论是否仍成立？并说明理由； (3)实际应用：如图（3），在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心（O处）南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离都是90海里，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，同时，舰艇乙沿着射线的方向（），以14海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且舰艇乙在指挥中心南偏东，试问，两舰艇E，F之间的距离是否符合（2）的条件？如果符合，请求出两舰艇之间的距离（画出辅助线）；如果不符合，请说明理由． 30．【问题背景】 一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算． 【问题探究】 如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为． 学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务． 任务1：计算，两点的垂直高度差． 任务2：求顶点到水平地面的垂直高度． 【问题解决】 为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案： 小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为； 小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为． 任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度． 【经典例题七 锐角三角函数的新定义问题】 31．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，定义每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C，D，E，F均在格点上． 【基本感知】 （1）观察网格，填空． ______；______； 【操作探究】 （2）通过平移、旋转，使得的顶点A与顶点D重合，边与重合，边在的左侧，得到．请在图中画出，并用量角器测量______°； （3）观察所画的图形，点B也在格点上，连接，则是______三角形． 32．建立模型为了求得角的正切值，王老师带领同学们设计了如下的数学模型： 如图， 先画一个含角的，使得，，则，延长到，使得，连接，则根据正切的定义，则有：． 模型运用河南省标志性建筑中原福塔是世界最高的全钢结构塔，塔高达米地面至桅杆顶端，整个建筑分塔座、塔身、塔楼、桅杆四个部分为了测量中原福塔最上端桅杆天线部分的高度，李老师带领同学们在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为往前移动米，在距离地面米的建筑物上测得塔楼层处的仰角为． 请您运用所学知识，求出桅杆天线的高度精确到米可能用到的数据：， 33．阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 34．阅读与思考 请阅读下面材料，并完成相应的任务． 有趣的布罗卡尔点 1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，三角形这一特殊点，被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，引起一大批数学家的兴趣，形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系． 定义：如图1，若内一点P满足，则称点P为的布罗卡尔点．若设，则称α为布罗卡尔角．研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点．    任务： (1)如图2，是等边三角形． ①等边三角形的布罗卡尔角的度数为___________． ②若设等边三角形的面积为S，边长为a，三条边长的平方和为m，布罗卡尔角为β，求证：． (2)如图3，在等腰直角三角形中，，若点P是的一个布罗卡尔点，且满足，，请直接写出的值． 35．定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，，，则四边形为蝴蝶四边形． (1)【概念理解】如图2，正方形中，对角线与相交于O．求证：正方形为蝴蝶四边形； (2)【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：； (3)【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形中，， ，．当是等腰三角形时，求此时以为边的正方形的面积． 【经典例题八 锐角三角函数的综合】 36．在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接交直线于点． (1)如图1，若，，，，求的面积； (2)如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，点是直线上一点，连接、，将沿翻折后得到，连接，点是的中点，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 37．综合与实践 问题情境 如图1，矩形矩形，且点G在边的延长线上，连接，，，，． 推理证明 （1）求证：为等腰直角三角形． 深入探究 （2）将图1中的矩形绕点A顺时针旋转一个角度． ①如图2，当边与边交于点P时，若，猜想与的数量关系，并说明理由． ②在①的条件下，求旋转角度的值． （3）如图3，当点E落在边上时，请直接写出的值． 38．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，分别交于点，交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，求的值； (3)在（2）的条件下，求的值． 39．(1)如图，在中，，，．为同一平面上一动点，且点与点之间的距离为，连接，．在点移动过程中，的最大值为 ． (2)在同一平面内，有，，，四个动点，米，米，点位于上方，点位于下方，，相交于点，连接，，要求，当四边形的面积最大时，求的正切值． 40．一副三角板分别记作和，其中，．作于点M，于点N，如图1． (1)求证：； (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的绕点C按顺时针方向旋转后，延长交直线于点P． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段的数量关系，并证明； ③当时，直接写出线段的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$