专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 解直角三角形与图形综合 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 1．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，．动点M从点B出发，在边上以的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B运动，运动时间为，连接．当 时，是等腰三角形． 3．已知等腰中，，，分别是腰，上点，连接，设． (1)当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； (2)如图3，若，当时，直接写出的值为_____． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A．200米 B．200米 C．220米 D．100米 2．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 3．如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 1．如图，，，AC＝10，则的面积是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 2．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    3．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　） A．sinB B．sinC C．tanB D．sin2B+sin2C＝1 1．如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则 ． 3．如图为正方形网格，每一个正方形的边长均为1． (1)的邻补角为，写出的值，并证明 (2)若均为小于45度的锐角，若，请直接写出两组符合要求的和 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】如图，在菱形中，，点，点D在对角线上，且，点E是射线上一动点，连接，F为x轴上一点（F在左侧），且，连接，当的周长最小时，点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将沿直线翻折，得．若，则点B的坐标为 ． 3．如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，， ，反比例函数的图象经过的中点B，与交于点D． (1)求点C坐标； (2)求k值； (3)求的面积． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 1．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ． 3．如图，在中，以为斜边在内部作等腰直角，且，连接，过点E作交于点F，交于点G，且． (1)若，求的长； (2)求证：． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】如图，在平行四边形中，，，，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④四边形为平行四边形．其中正确的有（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 1．如图，正六边形的边长为2，连接，点G是上的动点，若，点H在线段上，有以下结论：①；②四边形是矩形；③当点H在边的中点处时，；④当时， ．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 2．如图，在菱形中，，，点E为边上一个动点，延长到点F，使，且、相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为 ． 3．如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的中线，连接，点H是的中点，连接，试猜想、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点Q是的中点，点P是上一点，将沿翻折，得到，点D、P在运动过程中，当最短时，请直接写出的面积． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】如图，已知点为轴负半轴上一点，M、N是函数图像上的两个动点，且，若的最小值为10，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图像上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 2．函数图像与轴交于点，将函数图像绕点顺时针方向旋转后得到的函数图像对应的表达式是 ． 3．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与、轴交于点、，与反比例函数的图象分别交于点、，轴于点，，，． (1)求直线的函数表达式； (2)求该反比例函数的函数表达式． 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为，则小船和山崖之间的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．300米 1．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 2．如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为 ． 3．【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： (1)求的值； (2)如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 1．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 2．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 1．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点E是矩形的边的中点，且于点F，则下列结论中错误的是（   ） A．图中与相似的三角形共有4个 B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，正方形中，对角线，交于点，点为上一点，点为上一点，连接，交于点，与交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　） A．160 B． C．200 D． 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则 ． 7．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 8．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，疫情期间在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角为，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4．已知，于点C，． （1） ； （2）显示屏的顶部比原来升高了 ．（结果保留到，参考数据：） 9．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”，如图，神舟十八号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点A时，地面处的雷达站测得米，仰角为37°，0.3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为，点在同一直线上，已知两处相距460米，则飞船从A到处的平均速度为 米/秒．（结果精确到1米；参考数据：） 11．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）设，是锐角的两条高，连接． (1)求证：； (2)若，，求． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为： ，，，． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______； (2)若角的终边与直线重合，则______； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，则______； (4)若，求的取值范围． 14．（四川省峨眉山市2024年九年级二调考试数学试题）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解直角三角形及其应用重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 在直角三角形中直接解直角三角形 题型二 解非直角三角形 题型三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 题型四 网格中解直角三角形 题型五 坐标系中解直角三角形 题型六 四边形中解直角三角形 题型七 解直角三角形与图形综合 题型八 函数中解直角三角形 题型九 直角三角形应用之仰俯角问题 题型十 直角三角形应用之方位角问题 题型十一 直角三角形应用之坡度坡比问题 题型十二 直角三角形应用之其他问题 知识点1：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点2：解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 知识点3：解直角三角形的应用——方位角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 知识点4：解直角三角形的应用—:坡度、坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点5: 解直角三角形的综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【经典例题一 在直角三角形中直接解直角三角形】 【例1】如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． 1．将有一边相等的两个直角三角板按如图的方式放置，已知，，，与交于点E，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键． 根据，可得，进而可得，，根据，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选A． 2．如图，中，，，．动点M从点B出发，在边上以的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B运动，运动时间为，连接．当 时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质，由题意可得，，，则，再分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，则， ∵是等腰三角形， ∴当时，， 解得：； 当时，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当或或时，是等腰三角形， 故答案为：或或． 3．已知等腰中，，，分别是腰，上点，连接，设． (1)当点是的中点时． ①如图1，若是的中点，求的值； ②如图2，若，求的值； (2)如图3，若，当时，直接写出的值为_____． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①如图所示，过点D作交于点F，首先得到是的中位线，然后得到，得到，然后证明出是等腰直角三角形，设，然后根据勾股定理和等腰直角三角形的性质表示出，求出，然后得到； ②如图所示，延长到点F使，得到是等腰直角三角形，然后证明出，得到，设，，表示出，，，然后代入求出，然后得到； （2）如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G，证明出，得到，证明出边形是正方形，设，然后证明出，得到，然后得到，推出，得到，，然后证明出，得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：①如图所示，过点D作交于点F， ∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵等腰中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴设， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，延长到点F使， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，以为斜边，向下作等腰，连接，作交于点M，交于N，连接交于K，延长交的延长线于点P，设交于点O，交于点G， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线以及掌握以上知识点． 【经典例题二 解非直角三角形】 【例2】如图，在中，，，，点为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设PQ与AC交于点O，作⊥于，首先求出，当P与重合时，PQ的值最小，PQ的最小值=2． 【详解】设与AC交于点O，作⊥于，如图所示： 在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠ACB=45， ∴， ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴， ∵⊥，∠ACB=45， ∴， 当与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小， ∴PQ的最小值 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 1．如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　） A．200米 B．200米 C．220米 D．100米 【答案】D 【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°，BD=CD=100米，再在Rt△ACD中求出AD的长，据此即可求出AB的长． 【详解】∵在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°， ∴BD＝CD＝100米， ∵在热气球C处测得地面A点的俯角分别为30°， ∴AC＝2×100＝200米， ∴AD＝＝100米， ∴AB＝AD+BD＝100+100＝100（1+）米， 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 2．如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长． 【答案】 【分析】根据，求出，根据，求出，再根据勾股定理求出即可求周长． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴，， ∵在中，， ∴，即， ∴ ∴，， ∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数知识解直角三角形． 【经典例题三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】 【例3】如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案. 【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，，，， ∴ ∴. 故选：B 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键. 1．如图，，，AC＝10，则的面积是（　　） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】A 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， ∵sinC＝ ， ∴AD＝AC•sinC＝6， ∴由勾股定理可知：BC＝8， ∵cosB＝ ， ∴∠B＝45°， ∴BD＝AD＝6， ∴BC＝14， ∴△ABC的面积为BC•AD＝×6×14＝42． 故选A． 【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度. 2．如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为 ．    【答案】 【分析】过点B作于点E，作于点F，构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形，求出BE、CF的长，利用的正弦值为，得到它是，即直线BC与直线AD所夹的锐角度数． 【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F， ∵AB=40，， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是． 故答案是：．    【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值． 3．如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．    (1)求证：． (2)求需要绿化的空地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理即可推得； （2）根据代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：在中，， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【经典例题四 网格中解直角三角形】 【例4】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（　　） A．sinB B．sinC C．tanB D．sin2B+sin2C＝1 【答案】A 【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得： , ∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°， ∴，，，，只有A错误． 故选择：A． 【点睛】此题考查解直角三角形，关键是根据勾股定理得出AB，AC，BC的长解答． 1．如图，，，是正方形网格的格点，连接，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，然后根据正方形的性质和勾股定理，可以得到和的长，然后即可计算出的值，从而可以得到的值． 【详解】解：如图，作于， 设小正方形边长为1， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，． 的值是， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，计算出和的长度． 2．已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接DE，如图所示： 在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC， ∴∠α=30°， 同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α． 又∵∠AEC=60°， ∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°． 设等边三角形的边长为a， 则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a， ∴tan（α+β）= =． 故答案为：． 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键． 3．如图为正方形网格，每一个正方形的边长均为1． (1)的邻补角为，写出的值，并证明 (2)若均为小于45度的锐角，若，请直接写出两组符合要求的和 【答案】(1)，证明见解析 (2)，或， 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质： （1）过点B作交延长线于H，先利用勾股定理和网格的特点得到，，，再利用等面积法求出，则解直角三角形可得，再根据邻补角互补和平角的定义证明，则； （2）由（1）可知，，则，进而可得，再解直角三角形求出，即可；在正方形中，，则，在上截取，则，再解直角三角形求出，即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，过点B作交延长线于H， 由网格的特点和勾股定理得到，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的邻补角为， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，由网格的特点可知三点共线， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴此时满足题意的和可以为， 如图所示，在正方形中，，则， 在上截取，则， 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，， ∴此时满足题意的和可以为， 综上所述，满足题意的和可以为，或，． 【经典例题五 坐标系中解直角三角形】 【例5】如图，在菱形中，，点，点D在对角线上，且，点E是射线上一动点，连接，F为x轴上一点（F在左侧），且，连接，当的周长最小时，点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、坐标与图形、解直角三角形、垂线段最短等知识，取点G构造等边三角形是解答的关键．先根据菱形的性质和等边三角形的判定说明是等边三角形，再利用垂线段最短找到点E的位置，最后确定E的坐标． 【详解】解：如图，取点，连接， ∵四边形是菱形，点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长最小时，最小， 如图，过D作，垂足为E，过E作轴，垂足为H， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，， ∴当的周长最小时，点E的坐标为 故选：C． 1．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，利用菱形的性质，直角三角函数解答即可． 本题考查了菱形的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 【详解】解：作于， ∵菱形，，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 2．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将沿直线翻折，得．若，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出，点坐标是解题关键．利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出，的长，进而得出，点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，再求解即可． 【详解】解：连接，过点作轴于点， 将沿直线翻折，得，，， ，，，， 则，故，， 是等边三角形，且， 则，即， 故， ， 则，故，点坐标为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 即直线的解析式为：． 令，得， ， 故答案为：． 3．如图，点A在第一象限，轴，垂足为C，， ，反比例函数的图象经过的中点B，与交于点D． (1)求点C坐标； (2)求k值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】 此题考查了反比例函数综合题，用到了锐角三角函数、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键 （1）先利用求出，再利用勾股定理求出，即可得到点C的坐标； （2）求出，代入函数解析式即可得答案； （3）求出，利用求出答案即可． 【详解】（1） 解：∵轴，， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴ （2）∵B是的中点， ∴， ∴； （3）当时，， ∴， ∴， ∵ ． 【经典例题六 四边形中解直角三角形】 【例6】如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 1．如图，在正方形外取一点E，连接，，，过点作的垂线交于点P，若，则下列结论：①；②；③点C到直线的距离为；④其中结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点作的延长线于点，利用勾股定理求出，，再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到，进而得到正方形面积，即可判断④． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ， ， ， ， 故②正确； 过点作的延长线于点，如图所示， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故③错误； ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，将矩形沿对角线折叠，点C的对应点为点E，分别交，于点P，Q．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】先证明，，可得，可得，，然后利用特殊角的三角函数值可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，三角形的内角和定理的应用，求解是解本题的关键． 3．如图，在中，以为斜边在内部作等腰直角，且，连接，过点E作交于点F，交于点G，且． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，运用全等三角形的性质和判定解决问题是解题关键； （1）作交于，可得，进而可得的值； （2）连接，可得是等边三角形，根据可知，进而可得结论． 【详解】（1）解：作，交于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，． （2）证明：连接， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，，， ， ，，， 在与中， ， ， ， ． 即． 【经典例题七 圆中解直角三角形】 【例7】如图，在平行四边形中，，，，过对角线的中点的直线分别交、于点、，交的延长线于点，交的延长线于点，连接、，则以下结论：①；②；③；④四边形为平行四边形．其中正确的有（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的判定和性质， 利用平行四边形的性质得出即可得出，进而得出即可判断出①④正确；同①的方法判断出，进而得出，即可求出，即可得出②错误；利用平行四边形的面积公式求出平行四边形的面积，再判断出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， 是平行四边形的对角线的交点， ， 在和中， ， ， ， ，所以①正确； ，， 四边形为平行四边形，所以④正确； 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，所以②错误； 过点作于，在中，，，     ， ， ，， ， ∵，，， ∴，， 又， ∴， ， ，所以③正确； 即：正确的有①③④， 故选：B． 1．如图，正六边形的边长为2，连接，点G是上的动点，若，点H在线段上，有以下结论：①；②四边形是矩形；③当点H在边的中点处时，；④当时， ．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质和等边对等角即可进行判断①；求出．同理可得，四边形是矩形．即可判断②；若，则，则，点G，E重合．连接，此时．得到此时，即可判断③；，则．即可判断④． 【详解】解：由正六边形的性质，得，， ∴， 故①正确； 由正六边形的性质，得， ∴． 同理可得， ∴四边形是矩形． 故②正确； 当点H在边的中点处时，， 若，则， ∴， ∴点G，E重合．连接， 此时． ∵， ∵此时， ∴点H在边的中点处时，不成立． 故③错误； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴． ∵正六边形的边长为2， ∴， ∴． 故④正确； 综上可知，正确的是①②④， 故选：A 【点睛】此题考查了正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键. 2．如图，在菱形中，，，点E为边上一个动点，延长到点F，使，且、相交于点G．当点E从点A开始向右运动到点B时，则点G运动路径的长度为 ． 【答案】/ 【分析】连接，延长交于点W．首先证明，推出点G在上运动．当B，E重合时，求出，可得结论． 【详解】解：如图1中，连接，延长交于点W． ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点G在上运动． 如图2中，当点E运动到点B时，作于点H， ∵四边形为菱形，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在中，，， ，， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∴G点路径长度为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 3．如图，在中，，，点D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转得到线段． (1)如图1，求证：； (2)如图2，是的中线，连接，点H是的中点，连接，试猜想、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点Q是的中点，点P是上一点，将沿翻折，得到，点D、P在运动过程中，当最短时，请直接写出的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理得出，由旋转的性质可得，即可得证； （2）在线段上截取，连接，取的中点，连接，证明得出，，再证明是等边三角形得出，结合，即可得解； （3）由（2）可得：，由全等三角形的性质可得，，，设，则，以为直径作，连接并延长交于，连接交于，则，，，求出，，，进而得出，，由勾股定理得出，推出当时，有最小值，即的最小值为，此时取得最小值，作于，解直角三角形得出、的长，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：证明：如图， ∵， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，，即， ∴； （2）解：猜想：，理由如下： 如图，在线段上截取，连接，取的中点，连接， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵、分别是、的中点， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得：， ∴，，， ∵， ∴， 设，则， 如图，以为直径作，连接并延长交于，连接交于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴当时，有最小值，即的最小值为，此时取得最小值， 作于， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【经典例题八 函数中解直角三角形】 【例8】如图，已知点为轴负半轴上一点，M、N是函数图像上的两个动点，且，若的最小值为10，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为B，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：最小值，由时，最小，再通过即可求出的长，从而得出A点的坐标． 【详解】假设中点为点，连接，根据直角三角形斜边中线定理可得 ∵ ∴（即定点A到直线上动点的最短距离为5） ∵的图象与x、y轴交于C、D两点， ∴，， 根据垂线段最短可得，直线时，如图所示 在中，由勾股定理得： 中， 中， ∴， ∴ ∵点A在轴的负半轴 ∵ ∴ ∴点A的纵坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标，勾股定理，以及垂线段最短和三角函数等知识，得出垂线段长是解决问题的关键． 1．如图，在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图像上，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】点，落在函数，的图像上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，    点在反比例函数上，点在上， ，， 又 ， ∽， ， ， 设，则，， 在中，． 故选：D． 【点睛】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值． 2．函数图像与轴交于点，将函数图像绕点顺时针方向旋转后得到的函数图像对应的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、旋转变换、解直角三角形、一次函数的综合应用等知识，熟练掌握三角形函数的应用是解题关键．设函数图像与轴交于点，将该函数图像绕点顺时针方向旋转后得到的函数图像与轴交于点，首先确定点的坐标，利用三角形函数可解得，结合题意可知，进而求得点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如下图，设函数图像与轴交于点，将该函数图像绕点顺时针方向旋转后得到的函数图像与轴交于点， 对于函数， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∴， ∵， ∴在中，可得， ∴， ∵将原函数图像绕点顺时针方向旋转后得到新的函数图像， ∴， ∴， ∴， ∴， 设旋转后得到的函数图像对应的表达式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴旋转后得到的函数图像对应的表达式为． 故答案为：． 3．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线分别与、轴交于点、，与反比例函数的图象分别交于点、，轴于点，，，． (1)求直线的函数表达式； (2)求该反比例函数的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到，，再根据三角函数的定义计算出，即可求得，然后利用待定系数法求得直线的解析式； （2）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式． 【详解】（1）解：，， ，， 又轴于点，， ， ， 设直线的解析式为，将，代入，得，解得， 直线的函数表达式为； （2）解：设反比例的解析式为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例的解析式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式以及三角函数的定义，正确利用三角函数的定义求得点的坐标是关键． 【经典例题九 直角三角形应用之仰俯角问题】 【例9】观测员从海面上的一艘小船上（小船和观测员高度忽略不计）观察前方高出海平面150米的一座山崖顶端，测得仰角为，则小船和山崖之间的水平距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．300米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，由已知条件即可得出，米，则，代入计算即可． 【详解】解：根据题意如下图： 则，米， ∴(米)， ∴小船和山崖之间的水平距离为米， 故选：C． 1．在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（     ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 设米，在中，利用锐角三角函数定义表示出，在中，利用锐角三角函数定义表示出，再由列出关于的方程，求出方程的解得到的值即可． 【详解】解：设米， 在中，， ，即， 整理得：米， 在中，， ，即， 整理得：米， ∵米， ∴，即， 解得：， 侧这栋楼的高度为米． 故选：A． 2．如图，竖直放置的旗杆在某一时刻的影子恰好落在斜坡的处．已知此时1米高的竹杆的影长为，测得为，为，斜坡与地面成角，则旗杆的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行投影，理解1米高的竹杆的影长为是解答关键． 延长交的延长线于，根据1米高的竹杆的影长为求出，利用锐角三角函数值的求出得到，进而得到，再利用来求解． 【详解】解：延长交的延长线于，如图 米的杆影恰好为米， ． 四边形是矩形， （米），． 在中 ，（米），， （米）， （米）， （米），（米）， （米）． 故答案为：． 3．【信息阅读】关于三角函数有如下公式： ； ； ． 【解决问题】利用上述公式解决问题： (1)求的值； (2)如图，建筑物前方有一个水塘，点B，D，C在同一直线上，，在C，D处测得建筑物顶端A的仰角分别为．求水塘的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，解直角三角形的实际应用： （1）根据，再结合公式计算求解即可； （2）先求出，再解求出的长，再利用公式求出的值，进而解直角三角形求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∵ = ， ∴在中，， ∴ 答：水塘的宽度为． 【经典例题十 直角三角形应用之方位角问题】 【例10】如图，一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港．则，两港之间的距离（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，由题意得，由勾股定理，从而得出的长，解决本题的关键是根据题意得到． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， ， ， 故选：A． 1．平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 2．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔．轮船继续向北航行2小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向，则的距离为 海里． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解本题的关键是特殊角的三角函数的灵活运用．设出，先利用锐角三角函数表示出，，再用三角函数表示出，列出方程求出即可． 【详解】解：如图， 设，在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 3． 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛海里的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． (1)当渔船航行到与小岛距离最近时，求渔船航行的距离及渔船与小岛之间的最近距离． (2)当渔船到达距离小岛最近的点后，按原航向继续航行海里后到点处突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短？最短航程是多少？（结果保留根号） 【答案】(1)渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里 (2)救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键． （1）过作于，根据题意求得，在中，根据垂线段最短和锐角三角函数定义求解即可； （2）先根据锐角三角函数定义求得，进而可得，在中，利用两点之间线段最短及锐角三角函数定义求解即可． 【详解】（1）解：过作于，则， 由题意可知，则， 在中，∵，， ∴． 答：渔船航行海里距离小岛最近，渔船与小岛之间的最近距离为海里． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴． 故救援队从处出发沿点的南偏东的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是海里． 【经典例题十一 直角三角形应用之坡度坡比问题】 【例11】5G时代，万物互联．互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活．网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔建在了山坡的平台上，已知山坡的坡度为．身高的小明站在A处测得塔顶M的仰角是，向前步行到达B处，再沿斜坡步行至平台点C处，测得塔顶M的仰角是，若在同一平面内，且 和分别在同一水平线上，则发射塔的高度约为（    ）（结果精确到，参考数据：，，，，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H，设，，利用三角形函数构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，设C点处垂线与B处视线交点为F，过点F作于L，过点E作于I，延长交的延长线于H， 设，， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，则， 在中，， ∵， ， ∴，则， ∴， 解得． 故选：B． 1．某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 2．“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 【经典例题十二 直角三角形应用之其他问题】 【例12】如图，道路左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．现将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子与地面的夹角为，道路左侧的通道拓宽了（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，正确的进行解直角三角形，根据题意，得到为等腰直角三角形，得到，再由解直角三角形，求出的长度，然后得到的长度． 【详解】解：如图， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴道路左侧的通道拓宽了米， 故选：A． 1．在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，表示窗户，且米，表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线的最小夹角a为，最大夹角为，根据以上数据，计算出遮阳蓬中的长是（结果精确到）（参考数据：）（   ） A．1.2米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.5米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，把实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 如图：设为x米，则有在中可利用得到米，在中利用得到米，则，列方程可得，解得x的值即可． 【详解】解：如图：设为x米， 在中，， ∵， ∴米， 在中，， ∵， ∴米， ∵， ∴，解得：． ∴米． 故选：B． 2．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中， ，且 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，为小明家附近的一个湖泊，四边形为湖泊旁的一幢建筑物．已知，，，，，．（结果保留整数，参考数据：，，，） (1)求的长． (2)点处为小明家附近的一个书店，小明从点出发，沿路线前往点处，请你帮助小明计算出路线的长． 【答案】(1) (2)小明路线的长为 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）过点作于点，可证明四边形是矩形，得到，，推出，最后根据，即可求解； （2）根据矩形的性质可得：，，推出，可求出，进而求出，由，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 又，， 四边形是矩形， ，， ， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 小明路线的长为． 1．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，点E是矩形的边的中点，且于点F，则下列结论中错误的是（   ） A．图中与相似的三角形共有4个 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定找出与相似的三角形即可判断A；利用相似三角形的性质及平行四边形的判定和性质判断选项B，根据相似三角形的性质即可判断C；根据相似三角形的性质及正切的定义即可判断选项D． 【详解】解：A、∵，矩形， ∴， ∵， ∴， 同理得：，，，， ∴图中与相似的三角形共有5个，选项错误，符合题意； B、过D作交于N， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵点E是矩形的边的中点 ∴， ∴，故选项正确，不符合题意； D、设，由，有． ∴ ∵，故选项正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质、三角形中线的性质、线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定及性质等知识点，熟练掌握数学基础知识是解题的关键． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形等知识，由题意可得，再由，得到，然后根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题知，， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，正方形中，对角线，交于点，点为上一点，点为上一点，连接，交于点，与交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得出，设，则，，作于，则，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，解直角三角形得出，求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， 如图，作于，则， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（　　） A．160 B． C．200 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 是的一个外角，，， ， ， 米， 在中，（米）， 该主塔的高度是米， 故选：D． 5．（23-24九年级上·河北保定·期末）图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．由勾股定理求出，根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，，，证明，由得到，则，由，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点B落在边的上方点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 7．（23-24九年级下·浙江温州·自主招生）如图，四边形是菱形，，，为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点M作于点E，判定是等边三角形，过点C作于点G，根据轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数解答即可．． 【详解】解：过点M作于点E，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，是等边三角形， ∴； 过点C作于点G， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点A，点C关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当M，C，E三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，得当时，取得最小值， 故当点E与点G重合时，取得最小值，此时， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形判定和性质，轴对称原理，垂线段最短原理，特殊角的三角函数，熟练掌握菱形性质，特殊角的三角函数是解题的关键． 8．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）如图，疫情期间在家学习网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角为，此时感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2．使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，使电脑变化至位置（如图3），侧面示意图为图4．已知，于点C，． （1） ； （2）显示屏的顶部比原来升高了 ．（结果保留到，参考数据：） 【答案】 /30度 15.2 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义是解题关键． （1）先利用锐角三角函数求出三角函数值，再求角即可； （2）如图，过点B作交的延长线于D，先求出，据三角函数求，可证，，在同一直线上，计算和差即可． 【详解】解：（1）于C，， ， ． 故答案为：； （2）如图，过点B作交的延长线于D， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，在同一直线上， ， ∴显示屏的顶部比原来升高了． 故答案为：． 9．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）2024年4月25日20时59分，运载火箭托举着神舟十八号载人飞船，在酒泉卫星发射中心点火升空，送航天员奔赴“天宫”，如图，神舟十八号载人飞船从地面处成功发射，当飞船到达点A时，地面处的雷达站测得米，仰角为37°，0.3秒后，飞船直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为，点在同一直线上，已知两处相距460米，则飞船从A到处的平均速度为 米/秒．（结果精确到1米；参考数据：） 【答案】1133 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 根据题意可得：, 先在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答. 【详解】由题意得： ,在中,米,, (米) ,， 解得：米，米， ∵米, ∴米， 在中, , ∴米， 米， ∴飞船从到处的平均速度 (米/秒) , 故答案为: . 11．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）设，是锐角的两条高，连接． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据两角对应相等证明，根据性质得，则 又，根据判定方法即可求证； （）根据相似三角形的性质和正弦的定义即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知在中，点D是边上一点，且，点E是边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角函数等知识，添加适当的辅助线是解答本题的关键． （1）证明即可； （2）过点作于点，再根据等腰三角形的性质以及三角函数即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴， ； （2）解：过点作于点， ， ， ， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）如图1所示的直角三角形中，是锐角，那么锐角A的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数分别为： ，，，． 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角的三角函数规定为：，，，，我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角的大小有关，而与点P在角的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则在角的三角函数值、、、中，它们的相反数取负值的是______； (2)若角的终边与直线重合，则______； (3)若角是钝角，其终边上一点，且，则______； (4)若，求的取值范围． 【答案】(1)它们的相反数取负值的是； (2)或； (3)； (4)． 【分析】（1）由，推出，，根据，，，，即可判断； （2）分两种情形讨论即可解决问题； （3）如图2中，作轴于E．勾股定理求出的长，根据三角函数的定义即可解决问题； （4）首先求出当时，，当时，根据三角形的两边之和大于第三边得到，然后由整理得到，进而得到，然后求出，即可求解． 本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 【详解】（1）解：， ，， 角的三角函数值、、、，其中取正值的是，取负值的是、、． 它们的相反数取负值的是； （2）解：角的终边与直线重合， 如图1中， ①当点P在第一象限时，作轴于E．设，则， ∴， ， ∴； ②当点P在第三象限时，作轴于E．设，则， ∴， ∴同理可得，， ∴； 综上所述，或； （3）解：如图2中，作轴于E． 由题意，， ∴ ∴， ∴； （4）解：若，设， 则， 当时，， 当时，根据三角形的两边之和大于第三边，则， ∴ ∴， ∴； ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 14．（四川省峨眉山市2024年九年级二调考试数学试题）我国一艘巡航船在南海海域处巡逻，岛上的海军发现点在点的正西方向，岛上的海军发现点在点的南偏东的方向上，已知点在点的北偏西方向上，且、两地相距120海里，如图所示． (1)求此时点到岛的距离； (2)上的处有一只渔船发出求救信号，希望处的巡航船沿方向在个小时赶到处进行救援，若巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达吗？已知在岛测得点在的南偏东的方向上．（不计水流速度，结果保留根号） 【答案】(1)点到岛的距离为海里 (2)能 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键时添加辅助线，构造直角三角形： （1）过点作，分别解，求出的长即可； （2）过点作，设，分别解，求出的值，比较巡航船2小时行驶的路程与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作，则：， 由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴点到岛的距离为海里； （2）过点作，设，则：， 由题意，得：，， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴巡航船以每小时海里／小时的速度能提前到达． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)支点离桌面的高度为； (2)当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【分析】本题考查解直角三角形的应用．作合适的辅助线构建直角三角形是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； （2）解：过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； ； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 学科网（北京）股份有限公司 $$