专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 正切、正弦、余弦概念辨析 题型二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 题型三 根据三角函数的定义求边长 题型四 特殊三角形的三角函数 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十 利用同角三角函数关系求值 题型十一 求证同角三角函数关系式 题型十二 互余两角三角函数的关系 题型十三 三角函数综合 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． 知识点2：正弦与余弦a c A B C b 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 知识点3：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 正切、正弦、余弦概念辨析】 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　） A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB 1．在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 3．如图，在中，， ，分别是角，，的的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【经典例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 1．如图， 在中， ， ， 垂足为D， 若 则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为 ． 3．如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【经典例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例3】如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小形的顶点叫做格点，其中点,,在格点上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 1．如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则 ． 3．如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． (1)证明四边形是平行四边形． (2)若矩形是边长为1的正方形，且，则______． 【经典例题四 特殊三角形的三角函数】 【例4】的值等于（    ）． A． B． C． D． 1．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 2． ． 3．计算：. 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】下列选项中是有理数的是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 1．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是 ． 3．计算：． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 1．在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是底角为30°的等腰三角形 2．在中，∠A，∠B为锐角，sinA =，tanB =，则的形状为 3．【课本再现】 思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且． 求证：平分． 【知识应用】 （2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，． ①求的度数； ②若，，求的长． 【经典例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例7】已知、均为锐角，且满足，则（    ） A．45° B．60° C．75° D．105° 1．在中，，，，过点作直线，将绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点恰好落在直线m上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在等腰三角形中，，点是边上一点，若，则的度数为 ． 3．人教版初中数学八年级下册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题． (1)填空： ； (2)求的度数． 【经典例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例8】在中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值（          ） A．都缩小 B．都不变 C．都扩大倍 D．无法确定 1．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 2．对于锐角 ．（填）. 3．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【经典例题九 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例9】若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．在中，，当的度数不断增大时，的值的变化情况是（ ） A．不断变大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定 2．已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是 ． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【经典例题十 利用同角三角函数关系求值】 【例10】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【经典例题十一 求证同角三角函数关系式】 【例11】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【经典例题十二 互余两角三角函数的关系】 【例12】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 1．如果，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 3．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【经典例题十三 三角函数综合】 【例13】1如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 6．（24-25九年级上·山东东营·期中）在锐角中，若，则的余弦值是 ． 7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．    8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 9．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点A，B，C都在格点上，若，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕．若 ． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，求的长． 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，求和的长． 13．（24-25九年级上·上海·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． (1)如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； (2)利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 锐角三角函数重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 正切、正弦、余弦概念辨析 题型二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值 题型三 根据三角函数的定义求边长 题型四 特殊三角形的三角函数 题型五 特殊角三角函数值的混合运算 题型六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 题型七 根据特殊角三角函数值求角的度数 题型八 已知角度比较三角函数值的大小 题型九 根据三角函数值判断锐角的取值范围 题型十 利用同角三角函数关系求值 题型十一 求证同角三角函数关系式 题型十二 互余两角三角函数的关系 题型十三 三角函数综合 知识点1：正切与余切 1.正切 直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A． ． 2.余切 直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A． ． a c A B C b 知识点2：正弦与余弦 1.正弦 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A． ． 2.余弦 直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）．锐角A的余弦记作cos A． ． a c A B C b 知识点3：特殊锐角三角比的值 1.特殊锐角的三角比的值 30° 45° 1 1 60° 3.通过观察上面的表格，可以总结出： 当0 90 ， 的正弦值随着角度的增大而增大， 的余弦值随着角度的增大而减小； 的正切值随着角度的增大而增大， 的余切值随着角度的增大而减小． 【经典例题一 正切、正弦、余弦概念辨析】 【例1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　） A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB 【答案】D 【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可． 【详解】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则 sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误； tanA＝，则b＝，故B选项错误； cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 1．在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， 则sin，即，故A正确，不符合题意； ，即，故B不正确，符合题意； ，即，故C正确，不符合题意； ，即，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有 个 （1） ；（2）；（3）；（4）． 【答案】3 【分析】根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高， ∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∴cosA＝＝＝． 故（1），（2），（4）正确． 故答案为：3． 【点睛】考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键． 3．如图，在中，， ，分别是角，，的的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【答案】(1)，理由见解析 (2)==，理由见解析 【分析】（1）过作，，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，两者相等即可得证． （2），过作交的延长线于点，过点作于点，同（1）的方法分别表示出，即可求解． 【详解】（1），理由如下， 如图，过作，， 在中，，即， 在中，，即， ∴=，即=， 同理可得=， 则==．    （2）==． 解：如图所示，过作交的延长线于点，过点作于点，    ∵， ∴ ∵ 即， ∴ ∴==． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 【经典例题二 根据三角函数定义求角的正切、正弦、余弦值】 【例2】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，当时，不能组成三角形；当时，能组成三角形，过点A作于点D，即可得出，再根据勾股定理表示出，然后根据正切的定义解答即可． 【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能组成三角形； 当时，能组成三角形， 过点A作于点D， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，正切，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1．如图， 在中， ， ， 垂足为D， 若 则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是得到．由勾股定理求出，由等角的余角相等得出，再根据锐角三角函数的定义求解即可 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接． ，，， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，是等腰三角形，．已知，用两种方法表示的面积______ 【探究】你能否从这里得出的计算公式呢？ 【答案】题空：， 探究： 【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键． 填空：根据等腰三角形性质得到，其面积的两种表示法为，， 探究：得到，结合等腰三角形性质得到，根据，，，，，即得． 【详解】题空： ∵是等腰三角形，， ∴，， 故答案为：，； 探究： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴． 【经典例题三 根据三角函数的定义求边长】 【例3】如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小形的顶点叫做格点，其中点,,在格点上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握菱形的性质，正弦，正切是解题的关键． 如图，连接，由菱形的性质可得，，，，设菱形的边长为，则，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由菱形的性质可得，，，， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 1．如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，角平分线的性质等知识，过点E作于点F，判断出，均为等腰直角三角形，根据角平分线的性质得出，解求出，设，证明，求出，可得出，即可求解． 【详解】如解图，过点E作于点F． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，均为等腰直角三角形， ∵为的平分线， ∴． 在中，． 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， 解得， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切的定义解答即可，掌握正切是直角三角形中对边比邻边成为解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． (1)证明四边形是平行四边形． (2)若矩形是边长为1的正方形，且，则______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查对特殊四边形的性质，全等三角形的性质和判定，正切． （1）证即可； （2）设：，则，，即可求解． 【详解】（1）是矩形，，， ，，， ， ， 同理， 四边形为平行四边形； （2）设：，则， ， ， 在中，， 解得：， 即：的长为2． 【经典例题四 特殊三角形的三角函数】 【例4】的值等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的加法等知识点，牢记常见的特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 1．的值等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、二次根式减法运算等知识，先计算特殊角的三角函数值，再由二次根式减法运算求解即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值、二次根式减法运算是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 2． ． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角形函数值，零指数幂运算及二次根式的加减运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．根据特殊角的三角形函数值，零指数幂及二次根式的加减运算，即可求得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：5． 3．计算：. 【答案】1 【分析】本题考查了实数的加减乘除混合运算，特殊角三角函数值,熟练掌握实数的加减乘除混合运算是解题的关键．先分别计算负指数幂运算，零指数幂运算，特殊角三角函数值，二次根式的化简，再求和，即得答案． 【详解】 ． 【经典例题五 特殊角三角函数值的混合运算】 【例5】下列选项中是有理数的是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤． A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可． 【详解】解：① ，是有理数，故①符合题意； ②，是无理数，故②不符合题意； ③，是无理数，故③不符合题意； ④，是有理数，故④符合题意； ⑤，是无理数，故⑤不符合题意， 综上所述，有理数有①④， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 1．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算验证即可． 【详解】解：A．，而，因此选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提． 2．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即．试用公式，求出的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．将化为和两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【经典例题六 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【例6】在中，(2sinA-1)2+=0，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状． 【详解】解：∵(2sinA-1)2+=0， ∴2sinA-1=0，cosB-=0， ∴sinA=，cosB=， ∴∠A=30°，∠B=60°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=90°， 故△ABC为直角三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键． 1．在△ABC中，（tanA-3）2+=0，则△ABC为(    ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°的任意三角形 D．是底角为30°的等腰三角形 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质得出tanA与cosB的值，再由特殊角的三角函数值求出∠A与∠B的值，进而可得出结论． 【详解】∵（tanA-3）2+=0， ∴tanA-3=0，2cosB-=0， ∴tanA=，cosB=， ∴∠A=60°，∠B=30°， ∴△ABC是直角三角形． 故选A． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 2．在中，∠A，∠B为锐角，sinA =，tanB =，则的形状为 【答案】等腰三角形 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出的度数，再根据等腰三角形的判定即可得． 【详解】在中，为锐角，， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、等腰三角形的判定，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 3．【课本再现】 思考 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？ 可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理； 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：如图1，在的内部，过射线上的点作，，垂足分别为，，且． 求证：平分． 【知识应用】 （2）如图2，在中，过内部一点，作，，，垂足分别为，，，且，，连接，． ①求的度数； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】此题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，特殊角的三角函数和勾股定理，判断出角平分线并用角平分线的性质求出角的度数是解题的关键． （1）此问只需证明即可 （2）①判断出、、是角平分线，用平分线的性质及三角形内角和是即可求出的度数； ②由①得构造特殊直角三角形从而求出,,在中用勾股定理即可求出． 【详解】解：（1）证明：，， ． 在与中 ； ； ；即平分． （2）①， 由（1）中定理得：，． ． ②过点作于点． ， ． ， ， ． ， ． 【经典例题七 根据特殊角三角函数值求角的度数】 【例7】已知、均为锐角，且满足，则（    ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】根据绝对值和二次根式的非负性即可求出和，再根据特殊角的锐角三角函数值求出、，最后代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵，均为锐角 ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了非负性的应用、特殊角的锐角三角函数值等知识点，掌握绝对值和二次根式的非负性以及特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 1．在中，，，，过点作直线，将绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点恰好落在直线m上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理可求出，再根据旋转的性质可求出．由平行线的性质可知，．又可求出，由特殊角的三角函数值得出，从而得出． 【详解】由题意可求出在中，． 由旋转的性质可知， ， ，． 又， ∴， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值．熟练掌握上述知识点并利用数形结合的思想是解题关键． 2．在等腰三角形中，，点是边上一点，若，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，特殊角锐角三角函数．根据特殊角锐角三角函数可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．人教版初中数学八年级下册第64页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法： ①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； ②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题． (1)填空： ； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，特殊角度三角函数值； （1）根据折叠判断线段关系即可计算比值； （2）由（1）可知，可得到，即可得到，然后在根据折叠计算即可． 【详解】（1）由折叠可知：，， ，； 故答案为： ； （2）在中，， ， ， 由折叠可得：． 【经典例题八 已知角度比较三角函数值的大小】 【例8】在中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，那么锐角的各个三角函数值（          ） A．都缩小 B．都不变 C．都扩大倍 D．无法确定 【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的，根据勾股定理可知，另一条直角边也缩小至原来的，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知这两个直角三角形相似，由相似三角形的对应角相等，可知锐角A的大小不变，所以锐角A的各个三角函数值也都不变． 【详解】解：在Rt△ABC中，设∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则b=． 如果在△A′B′C′中，B′C′=a，A′B′=c，即一条直角边a和斜边c的长度都缩小至原来的． 那么由勾股定理，可知A′C′==b． ∵a：a=b：b=c：c，∴△A′B′C′∽△ABC，∴∠A′=∠A，∴锐角A的各个三角函数值都不变． 故选B． 【点睛】根据已知条件得出∠A的大小不变，是解题的关键． 1．sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（　　） A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 【答案】D 【分析】首先根据锐角三角函数的概念，知：sin70°和cos70°都小于1，tan70°大于1，故tan70°最大；只需比较sin70°和cos70°，又cos70°=sin20°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行比较. 【详解】根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1． 又cos70°=sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°=sin20°． 故选D． 2．对于锐角 ．（填）. 【答案】 【分析】根据锐角三角函数正弦、余弦、正切之间的关系，列示解决即可. 【详解】 角是锐角， 故答案是＞. 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三个锐角函数之间的关系是解决本题的关键. 3．我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示. （1）试探索随着锐角度数的增大，它的三角函数值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较，，，角的正弦，余弦，正切值的大小. 【答案】（1）锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大；（2）见解析 【分析】（1）根据概念结合图中几个锐角角，就能发现随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦变化规律 （2）根据（1）中规律即可 【详解】解：（1）由题图可知，. ∵， ， ， 又∵，且， ∴， ∴ ∵，， ， 又∵， ∴， ∴． ∵， ， 又∵，， ∴. ∴. 规律：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小.锐角的正切值随着角度的增大面增大. （2）； ； . 【点睛】本题考查锐角三角函数的求法以及比较大小，熟练掌握锐角函数的定义是解题关键 【经典例题九 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【例9】若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了锐角三角函数的性质，根据正弦值随着角度的增大而增大即可求解，掌握锐角三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 1．在中，，当的度数不断增大时，的值的变化情况是（ ） A．不断变大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定 【答案】B 【分析】当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；依此即可求解． 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A的度数不断增大时，cosA的值的变化情况是不断减小． 故选B． 【点睛】此题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 2．已知0°＜θ＜30°，且sinθ＝km＋(k为常数且k＜0)，则m的取值范围是 ． 【答案】＜m＜ 【分析】根据θ的范围即可求得 km+的范围，从而求得m的取值范围． 【详解】∵0°＜θ＜30°， ∴sin0°＜sinθ＜sin30°， 即0＜km+＜， ∴-＜km＜， ∴＜m＜-． 故答案是：＜m＜-． 【点睛】本题主要考查了特殊角0°与30°的正弦值，以及正弦函数随角度的增大而增大． 3．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 【经典例题十 利用同角三角函数关系求值】 【例10】已知的三边长分别为，其中，则的外接圆半径和内切圆半径的和（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数，以及切线长定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．先由勾股定理的逆定理得为直角三角形，再过内切圆圆心点作，垂足分别为点，进而利用切线长定理即可求解． 【详解】解：， 为直角三角形，如图，过内切圆圆心点作，垂足分别为点，则由切线长定理可知，，， ，， ． 故选：A． 1．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，，，为边上一点，连接，过点作，垂足为，交边于点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线，交于点，先证明出，计算出的长度，根据同角的三角函数相等，可求得，利用线段关系得到的值，最后通过勾股定理即可求解 【详解】过点作的垂线，交于点 是矩形 在与中， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及三角函数，解题的关键在于画出辅助线 3．（1）计算：；（参考公式：） （2）已知a、b是一元二次方程的两个实根，求的S值． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，同角三角函数，解一元二次方程，代数式求值，以及对题干参考公式的理解，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则，并正确计算． （1）本题根据，以及将式子变形为，再结合特殊角的三角函数值求解，即可解题； （2）解一元二次方程得到a、b的值，分别讨论当，时，以及当，时，结合特殊角的三角函数值计算求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： a、b是一元二次方程的两个实根， ， 解得，或，， 当，时， 则 ； 当，时， 则 ； 【经典例题十一 求证同角三角函数关系式】 【例11】在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 1 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 2．下列结论中（其中，均为锐角），正确的是 ．（填序号） ①；②；③当时，；④． 【答案】①③④ 【分析】根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①如图，在中， ∵，， ∴，故①正确； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 3．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    【答案】；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 【经典例题十二 互余两角三角函数的关系】 【例12】给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 1．如果，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各项分别计算然后判断. 【详解】解：A.     ，故此选项错误； B. ，故此选项正确； C. ，故本选项错误；     D. 当，，∴，故本选项错误 故选：B. 【点睛】本题考查锐角三角函数及其增减性，熟练掌握特殊角三角函数值是本题的解题关键. 2．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 3．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．    (1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）； (2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质． （1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可； （2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可． 掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角， ∴， ∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误； ②当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； 若是直角三角形，则：， ∵， ∴， ∴， ∴，与不符；故③错误； 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故④正确； 综上：可以选择的是②④； 故答案为：②④； （2）选择②，证明如下： 当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 选择④，证明如下： 当， 则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【经典例题十三 三角函数综合】 【例13】如图，是的切线，P为切点，连接，分别与相交于点C，点D，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据切线的性质可得，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而利用弧长公式进行计算，即可解答． 本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线，P为切点， ，即， ， ， 在中，，， ． ， ， ， ， 的长． 故选：C． 1．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 2．如图，已知是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据等边三角形性质，三角形外角性质，以及等腰三角形性质得到，作于点，根据直角三角形性质得到，利用解直角三角形得到，最后根据三角函数即可解题． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，三角函数综合，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 3．如图，在中，，为上的一点，以为直径作交于点，上的点为弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由点为弧的中点，可得，推出，进 而 得 到，推出，可得，即 可 证 明 ； （2）连接，得到，由可得，再 根 据 勾 股 定 理 求 出 ，得 到 ，证明，得 到 ，设，，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， 点为弧的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接， 为的直径， ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得：（不合题意，舍去），， ． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关的知识． 1．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，根据题意设，，根据勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 设，， 由勾股定理得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，则底角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，当时，，不能构成三角形；当时，,能构成三角形，过A作于D，得，即得． 【详解】如图，等腰是“倍长三角形”，设， 当时，，不能构成三角形，三角形不存在； 当时，,能构成三角形， 过A作于D， 则， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义——“倍长三角形”．熟练掌握新定义，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，余弦定义，分类讨论，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．取格点，使得，连接，得到，根据勾股定理的逆定理可推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，取格点，使得，连接， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 4．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键．连接，作轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形的面积，再求证出三角形是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可． 【详解】解：连接，作轴于D， 的面积是2，， 的面积为2， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ∵， ∴， ， ， ， ∵反比例函数的图象位于第一象限， ． 故选：C． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图所示，在矩形中，，平分，分别交、于点、，，则（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】证明，则，如图，连接，则，，由，可得，由平分，可得，则，，由，可得，则，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 如图，连接， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切等知识．熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键． 6．（24-25九年级上·山东东营·期中）在锐角中，若，则的余弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出及的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ，为锐角， ，， ， 的余弦值是． 故答案为：． 7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，与关于直线对称，反比例函数（，）的图象经过的中点，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定．过点B作轴，根据题意得出，，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图，过点B作轴，   ，，， ，， ，， ，， ，， 与关于直线对称， ，， ， ，B，三点共线， ， ， ， ， 将其代入，得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直角三角形斜边上的中线和边上的中线互相垂直，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】如图，记的交点为，设，则，由是直角三角形斜边上的中线可知，则，证明，则，，即，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为，设，则， 由题意知，， ∴， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切等知识．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，正弦，正切是解题的关键． 9．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点A，B，C都在格点上，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质得出，进而利用等边三角形的判定与性质得出，过点作于点，先求出的度数，即可求出的长，勾股定理可求出的长，于是得出的长，再证，即可求出的值． 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在Rt中，，将折叠，使点落在边上的点处，为折痕．若 ． 【答案】 【分析】设，则，由等边对等角，折叠的性质可得，，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理，正弦等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形内角和定理，正弦是解题的关键． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，正弦，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，正弦，勾股定理是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，进而可求的长． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， 12．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点． (1)求证：； (2)点在边上，满足．若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2), 【分析】（1）根据矩形的判定，证明四边形是矩形，即可得证； （2）过C作于F，过O作于G，则，由等腰三角形的判定可得，根据三角函数和勾股定理可求，， ，再根据三角形等面积可求，再根据矩形的性质和中位线的性质，勾股定理即可求出和的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ； （2）解：过C作于F，过O作于G，则， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， ， ， 解得：， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是的中位线， ， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，三角函数，等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线． 13．（24-25九年级上·上海·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，、、、均在格点上． (1)如图1，仅利用网格和无刻度的直尺作图，在上找一点，使．小明作出线段（点、均在格点上），得到、的交点就是点，请证明小明的画法是正确的； (2)利用小明的方法，仅利用网格和无刻度的直尺作图，请在图的线段上画点，使，保留作图痕迹，并求的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析； 【分析】本题考查了无刻度网格作图，相似三角形的性质与判定，求正弦； （1）根据得出，进而得出，勾股定理求得，即可得证； （2）取格点，连接交于点，则点即为所求，根据（1）的方法证明即可求解；取格点，连接，进而勾股定理求得，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴小明的画法是正确的； （2）解：如图所示，取格点，连接交于点，则点即为所求； 连接， ∵ ∴ ∴ ∴， 如图所示，取格点，连接， 在中， ∴ ∴ 14．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，点为边上一点，将沿翻折，使点恰好落在边上的点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是翻折得到的，得到，根据勾股定理可得的长，从而得到的长，证明，得到，从而求出的长； （2）根据，得到，所以，设，，可得到，，的长，根据，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出，，，的值，代入即可． 【详解】（1）解：∵是翻折得到的， ∴，， ∴， 在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题． 15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图所示，根据提供的数据回答下列问题： (1)在图①，______，______，______； 在图②中，______，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明； (2)在图①中，______，______； 在图②中，______，______； 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以证明． 【答案】(1)；；证明见解析 (2)；；证明见解析 【分析】（1）本小题要求找到规律并证明，要规律首先就应该准确的计算出，，，，，以及和的值；要证明结论就应该在一般的三角形中求解，在边长分别为、、的直角三角形中，，，计算的结果证明结论； （2）在边长分别为、、的直角三角形中计算，，看结论是否相同即可． 本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作是解题的关键． 【详解】（1）解：，，， ，，， 规律：对于任意锐角有， 故答案为：，，1，，，1； 证明：如图所示，在中，， ，，， ． （2）解：，， ， 规律：对于任意锐角有， 证明：如图， ，， ． 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$