北师大版 期末真题必刷压轴60题（35个考点专练） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

期末真题必刷压轴60题（35个考点专练） 知识导图 一．算术平方根（共2小题） 二．立方根（共2小题） 三．实数的运算（共1小题） 四．二次根式的性质与化简（共2小题） 五．分母有理化（共1小题） 六．二次根式的化简求值（共2小题） 七．二元一次方程组的解（共1小题） 八．解二元一次方程组（共2小题） 九．二元一次方程组的应用（共3小题） 一十．三元一次方程组的应用（共2小题） 一十一．点的坐标（共1小题） 一十二．坐标确定位置（共2小题） 一十三．坐标与图形性质（共1小题） 一十四．函数关系式（共1小题） 一十五．函数的图象（共2小题） 一十六．一次函数的性质（共1小题） 一十七．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 一十八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 一十九．一次函数综合题（共3小题） 二十．平行线的判定（共1小题） 二十一．平行线的性质（共1小题） 二十二．平行线的判定与性质（共3小题） 二十三．三角形内角和定理（共2小题） 二十四．三角形的外角性质（共2小题） 二十五．勾股定理（共3小题） 二十六．勾股定理的逆定理（共1小题） 二十七．勾股定理的应用（共2小题） 二十八．平面展开-最短路径问题（共1小题） 二十九．命题与定理（共2小题） 三十．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题） 三十一．坐标与图形变化-对称（共1小题） 三十二．条形统计图（共2小题） 三十三．中位数（共1小题） 三十四．众数（共1小题） 三十五．方差（共2小题） 题型强化 一．算术平方根（共2小题） 1．（2023秋•开江县校级期末）已知实数的平方根是，，求的平方根． 2．（2022秋•渝中区校级期末）材料一：若是正整数，除以13的余数为1，则称是“映辰数”例如：14是正整数，且，则14是“映辰数”；41是正整数，且，则41不是“映辰数” 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由． （2）若有一四位正整数是“映辰数”， 的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且是有理数，求所有满足条件的． 二．立方根（共2小题） 3．（2021秋•成华区期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，试求的值． 4．（2022秋•烟台期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 三．实数的运算（共1小题） 5．（2023春•通川区期末）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如 计算：． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：　 　，　 　； （2）计算：； （3）将化为，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． 四．二次根式的性质与化简（共2小题） 6．（2023春•芜湖期末）观察下列各式： ；； ， 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 ①猜想：　　　　； ②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用为正整数）表示的等式：　　； ③应用：计算． 7．（2022秋•鼓楼区校级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）若，且、均为正整数，试化简：； （3）化简：． 五．分母有理化（共1小题） 8．（2021秋•安仁县校级期末）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 六．二次根式的化简求值（共2小题） 9．（2022秋•城关区期末）先化简，后求值：，其中． 10．（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　； （3）化简 七．二元一次方程组的解（共1小题） 11．（2021秋•河津市期末）为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解． 八．解二元一次方程组（共2小题） 12．（2023秋•凤翔区期末）先阅读材料，然后解方程组： 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组． 13．（2023秋•民乐县校级期末）解方程组： （1）． （2）． 九．二元一次方程组的应用（共3小题） 14．（2023秋•民乐县校级期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 15．（2024春•临湘市期末）某公园的门票价格如下表： 购票人数 人 人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 16．（2023秋•甘州区校级期末）张掖市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买、两种奖品以鼓励抢答者．如果购买种20件，种15件，共需380元；如果购买种15件，种10件，共需280元．请问、两种奖品每件各多少元？ 一十．三元一次方程组的应用（共2小题） 17．（2022秋•巫溪县期末）党的二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．我县乡村振兴项目在如火如荼的开展，通城镇长红村村民黄大爷种植了李子、桃子和板栗三种果树，去年李子的亩产量是板栗亩产量的2倍，今年加强了管理、施肥和灭虫，每亩李子、桃子和板栗的产量分别增加了、、，这两年相同品种果树的种植面积不变，李子、桃子和板栗三种果树的种植面积之比为，今年三种果树增加的总产量是三种果树去年总产量的，则去年桃子的亩产量与板栗的亩产量之比为 　　． 18．（2021春•福州期末）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？ 一十一．点的坐标（共1小题） 19．（2023秋•西安期末）已知平面直角坐标系中有一点 （1）当为何值时，点到轴的距离为1？ （2）当为何值时，点到轴的距离为2？ 一十二．坐标确定位置（共2小题） 20．（2022秋•城关区期末）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． （1）如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为 　　，点的坐标为 　　，点的坐标为 　　． （2）若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 21．为了西部的发展，在某地区四个中小城市，，，附近新建机场，试建立适当的直角坐标系，并用坐标来表示各城市及机场的位置． 一十三．坐标与图形性质（共1小题） 22．（2022春•越秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． （1）在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，　　； （2）在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； （3）当点在线段上的运动过程中，射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，求与的数量关系． 一十四．函数关系式（共1小题） 23．某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式并写出自变量的取值范围． 上题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题： ①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数与这排的排数的函数关系式是　　，且是正整数） ②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数与这排的排数的函数关系式分别是　　，　　，且是正整数） ③某礼堂共有排座位，第一排有个座位，后面每一排都比前一排多个座位，试写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 一十五．函数的图象（共2小题） 24．（2024春•东昌府区校级期末）在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是　　 A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米小时 C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到地比乙到地早小时 25．（2023秋•子洲县校级期末）如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为，△的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质． 一十六．一次函数的性质（共1小题） 26．（2022春•任丘市期末）如图点是第一象限内一个动点，且在直线上，直线与轴交于点． （1）当点的横坐标为3时，的面积为多少？ （2）设面积为，用含的解析式表示，并写出的取值范围． 一十七．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 27．（2023秋•成都期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点． （1）求，两点的坐标； （2）求的长； （3）设是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点的坐标（不需计算过程）． 28．（2023秋•汉中期末）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点、分别为线段，上的两个动点，，，则周长的最小值为 　　． 29．（2024春•柘城县期末）如图，直线与轴和轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、为顶点的三角形与全等，则的长为　　 A．2或 B．3或 C．2或 D．3或 一十八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 30．（2022秋•东平县期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求、两点的坐标； （2）求． （3）求点到直线的距离． （4）求直线的解析式． 一十九．一次函数综合题（共3小题） 31．（2023秋•彰武县期末）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，，且，点，轴于点，一次函数经过点，交轴于点． （1）求证；； （2）求的面积． 32．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． （1）求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； （2）连接，若，求的值； （3）是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 33．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和． （1）求直线和的表达式． （2）点是轴上一点，当最小时，求点的坐标． （3）如图2，点为线段上一动点，将△沿直线翻折得到△，线段交轴于点，若△为直角三角形，求点坐标． 二十．平行线的判定（共1小题） 34．（2023春•岳池县校级期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 二十一．平行线的性质（共1小题） 35．（2024春•大观区校级期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二十二．平行线的判定与性质（共3小题） 36．（2022春•平舆县期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则　　，　　； （2）在（1）中，若，则　　，若，则　　； （3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜、的夹角　　时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，请说明理由． 37．（2022秋•萨尔图区校级期末）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直． 已知：如图①，，　　． 求证：　　． 证明： （2）如图②，，点、分别在直线、上，，与的角平分线相交于点．求证：． （3）如图③，，点、分别在直线、上，，，与的角平分线相交于点，，求的度数． 38．（2024春•启东市期末）如图，，， （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 二十三．三角形内角和定理（共2小题） 39．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②； ③；④，其中正确的为　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 40．（2023秋•佛山期末）已知，直线与交于点，与交于点，点，均不与点重合，平分，平分． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，延长与交于点，过作射线与交于点，且满足．求证：； （3）如图3，过点作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点，与交于点．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 二十四．三角形的外角性质（共2小题） 41．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　　． 42．（2022秋•宣化区期末）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． （1）如图1，猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②若，求的度数． 二十五．勾股定理（共3小题） 43．（2022秋•河间市校级期末）如图，在中，，，则边上的高的长为　　 A．4 B． C． D．5 44．（2021秋•南阳期末）已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，求的值． 45．（2021秋•平远县期末）如图，在中， （1）为上的中点，求证：； （2）若为上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明； （3）若为延长线上一点，说明、、、之间的数量关系． 二十六．勾股定理的逆定理（共1小题） 46．（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积． 二十七．勾股定理的应用（共2小题） 47．（2023秋•仓山区校级期末）已知在中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，求的长． 48．（2023秋•乐平市期末）综合探究： “在△中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点△（即△三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△的面积是 　　； （2）若△的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的△，并求出△的面积． （3）拓展应用：求代数式的最小值． 二十八．平面展开-最短路径问题（共1小题） 49．（2023秋•焦作期末）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　　的路程． 二十九．命题与定理（共2小题） 50．（2021春•裕华区校级期末）如图所示，和中，，点，，，在同一条直线上，有如下三个关系式：①；②；③； （1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果，那么 （2）说明你写的一个命题的正确性． 51．（2022秋•黄岛区校级期末）如图，已知：点、、在一条直线上． （1）请从三个论断①；②；③中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件：　　． 结论：　　． （2）证明你所构建的是真命题． 三十．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题） 52．（2022秋•和田市校级期末）如图，已知线段轴，点在第一象限，且平分，交轴于，连、． （1）判断的形状，并予以证明； （2）若点、关于轴对称，求证：． 53．（2022秋•威县期末）如图，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形△． （2）写出点的坐标． 三十一．坐标与图形变化-对称（共1小题） 54．（2020秋•文山市期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，， （1）求的面积； （2）在图中作出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标． 三十二．条形统计图（共2小题） 55．（2022春•南浔区期末）某校研究性学习小组以“学生到学校交通工具类型”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的项目有：公共汽车、小车、摩托车、自行车、其它（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 交通方式 频数（人数） 频率 公共汽车 0.25 小车 24 0.20 摩托车 36 自行车 18 0.15 其它 12 0.10 请根据图表信息解答下列问题： （1）本次共抽样调查　 　个学生； （2）填空：频数分布表中的　 　，　 　； （3）在扇形统计图中，请计算出“摩托车”所在的扇形的圆心角的度数． 56．（2024春•恩平市期末）为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：、绘画；、唱歌；、演讲；、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题： （1）这次抽查的学生人数是多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，求选课程的人数所对的圆心角的度数； （4）如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程的学生约有多少人？ 三十三．中位数（共1小题） 57．（2022春•康县期末）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15 乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15 丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16 请回答下列问题： （1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数； （2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数； （3）如果你是顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？ 三十四．众数（共1小题） 58．（2024春•鼓楼区校级期末）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为、、、四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图： （1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空：　　；　　；　　； 平均数（分 中位数（分 众数（分 一班 90 二班 87.6 80 （3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 三十五．方差（共2小题） 59．（2022秋•莘县校级期末）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为　　． 60．（2023秋•长安区期末）要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全国比赛，在最近的5次选拔赛中、他们的成绩如下（单位：环） 甲：7、8、6、8、9 乙：9、7、5、8、6 （1）甲运动员这5次选拔赛成绩的中位数和众数分别是多少？ （2）求乙运动员这5次选拔赛成绩的平均数和方差； （3）若已知甲运动员的选拔赛成绩的方差为1.04，为了保证稳定发挥，应该选哪位运动员参加比赛？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷压轴60题（35个考点专练） 知识导图 一．算术平方根（共2小题） 二．立方根（共2小题） 三．实数的运算（共1小题） 四．二次根式的性质与化简（共2小题） 五．分母有理化（共1小题） 六．二次根式的化简求值（共2小题） 七．二元一次方程组的解（共1小题） 八．解二元一次方程组（共2小题） 九．二元一次方程组的应用（共3小题） 一十．三元一次方程组的应用（共2小题） 一十一．点的坐标（共1小题） 一十二．坐标确定位置（共2小题） 一十三．坐标与图形性质（共1小题） 一十四．函数关系式（共1小题） 一十五．函数的图象（共2小题） 一十六．一次函数的性质（共1小题） 一十七．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 一十八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 一十九．一次函数综合题（共3小题） 二十．平行线的判定（共1小题） 二十一．平行线的性质（共1小题） 二十二．平行线的判定与性质（共3小题） 二十三．三角形内角和定理（共2小题） 二十四．三角形的外角性质（共2小题） 二十五．勾股定理（共3小题） 二十六．勾股定理的逆定理（共1小题） 二十七．勾股定理的应用（共2小题） 二十八．平面展开-最短路径问题（共1小题） 二十九．命题与定理（共2小题） 三十．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题） 三十一．坐标与图形变化-对称（共1小题） 三十二．条形统计图（共2小题） 三十三．中位数（共1小题） 三十四．众数（共1小题） 三十五．方差（共2小题） 题型强化 一．算术平方根（共2小题） 1．（2023秋•开江县校级期末）已知实数的平方根是，，求的平方根． 【分析】先依据平方根的定义得到，，从而可求得、的值，然后可求得的值，最后依据平方根的性质求解即可． 【解答】解：由已知的平方根是，则，则； 由，则，则，则． 所以的平方根为． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 2．（2022秋•渝中区校级期末）材料一：若是正整数，除以13的余数为1，则称是“映辰数”例如：14是正整数，且，则14是“映辰数”；41是正整数，且，则41不是“映辰数” 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，规定：． 请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断：300，1029是不是“映辰数”，并说明理由． （2）若有一四位正整数是“映辰数”， 的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4，且是有理数，求所有满足条件的． 【分析】（1）根据“映辰数”的定义进行判断即可； （2）由题意可知，，根据“的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4”可得出，的值，再根据“映辰数”的定义可得关于，的方程，再进行讨论即可． 【解答】解：（1）300是“映辰数”，1029不是“映辰数”，理由如下： 300是正整数，且，则300是“映辰数”； 1029是正整数，且，则1029不是“映辰数”； （2）由题意可知，， 的千位数字比百位数字少1，千位数字与百位数字的和不大于4， 且， 解得， ，， ， 是“映辰数”， 是“映辰数”， 设， 整理得，， 是有理数， ． ，解得； 当时，不合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，，，符合题意； 当时，，，，，不符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，，，不符合题意； 当时，，，，，符合题意； 当时，，，不合题意，舍． 综上，符合题意的的值为1236或1288． 【点评】此题主要考查了新定义，不等式的应用，灵活应用新定义是解本题的关键． 二．立方根（共2小题） 3．（2021秋•成华区期末）已知的算术平方根是3，的立方根是，试求的值． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义得到①，②，解方程组可求，的值，再代入计算可求的值． 【解答】解：根据题意得， 解得， 所以，， 所以． 【点评】本题考查了立方根的定义：若一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，记作．也考查了算术平方根的定义． 4．（2022秋•烟台期末）已知：的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根． 【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知，，列方程解出、，最后代入代数式求解即可． 【解答】解：的平方根是， ， ， 的立方根是3 把的值代入解得： ， 的算术平方根为10． 【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中． 三．实数的运算（共1小题） 5．（2023春•通川区期末）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为，均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如 计算：． 根据上述材料，解决下列问题： （1）填空：　　，　 　； （2）计算：； （3）将化为，均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． 【分析】（1）根据，则，，然后计算； （2）根据完全平方公式计算，出现，化简为计算； （3）分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算． 【解答】解：（1）， ，， 故答案为：，1； （2）； （3）． 【点评】本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题． 四．二次根式的性质与化简（共2小题） 6．（2023春•芜湖期末）观察下列各式： ；； ， 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题 ①猜想：　　　　； ②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用为正整数）表示的等式：　　； ③应用：计算． 【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案； ②直接利用已知条件规律用为正整数）表示的等式即可； ③利用发现的规律将原式变形得出答案． 【解答】解：①猜想：； 故答案为：，； ②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用为正整数）表示的等式： ； ③应用： ． 【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键． 7．（2022秋•鼓楼区校级期末）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、、均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　； （2）若，且、均为正整数，试化简：； （3）化简：． 【分析】（1）先计算，根据得结论； （2）仿照例题，把7写成两个数的和的形式，利用完全平方公式； （3）多次利用完全平方公式得结论． 【解答】解：（1）， 又， ，． 故答案为：，． （2）； （3） ， ． ． ， ． ． 【点评】本题考查了二次根式的化简，理解题例，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解决本题的关键． 五．分母有理化（共1小题） 8．（2021秋•安仁县校级期末）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 【分析】（1）运用第二种方法求解， （2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案， 【解答】解：（1）原式； （2）原式 【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． 六．二次根式的化简求值（共2小题） 9．（2022秋•城关区期末）先化简，后求值：，其中． 【分析】求出的值，根据平方差公式得出，推出，把的值代入求出即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平方差公式和二次根式的化简求值的应用，关键是根据性质进行化简，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目． 10．（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如． 设（其中、、、均为正整数），则有，，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　． （2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　； （3）化简 【分析】（1）将用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案； （2）设，则，比较完全平方式右边的值与，可将和用和表示出来，再给和取特殊值，即可得答案； （3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）设 则 ， 若令，，则， 故答案为：21，4，1，2． （3） 【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度． 七．二元一次方程组的解（共1小题） 11．（2021秋•河津市期末）为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解． 【分析】先将原方程组中的看作常数，解出方程组的解，由方程组的解互为相反数得到，列式可得的值，代入方程组的解可得结论． 【解答】解：， ①②得：， ， ②①得：， ， 方程组的解互为相反数， ， ， 把代入原方程组的解中：， ， 当时，方程组的解互为相反数，此时这个方程组的解为：． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解和相反数的特点，根据条件得出是本题的关键． 八．解二元一次方程组（共2小题） 12．（2023秋•凤翔区期末）先阅读材料，然后解方程组： 材料：解方程组 在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①得，所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组． 【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 【解答】解：由①得：③， 把③代入②得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（2023秋•民乐县校级期末）解方程组： （1）． （2）． 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， ①②得，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）方程组整理得：， ①②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 九．二元一次方程组的应用（共3小题） 14．（2023秋•民乐县校级期末）某校七年级400名学生到郊外参加植树活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ （2）若计划租小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满： ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【分析】（1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人，根据题意可得等量关系：3辆小客车座的人数辆大客车座的人数人；1辆小客车座的人数辆大客车座的人数人，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）①根据题意可得小客车辆运的人数大客车辆运的人数，然后求出整数解即可；②根据①所得方案和小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元分别计算出租金即可． 【解答】解：（1）设每辆小客车能坐人，每辆大客车能坐人， 据题意：， 解得：， 答：每辆小客车能坐20人，每辆大客车能坐45人； （2）①由题意得：， ， 、为非负整数， 或或， 租车方案有三种： 方案一：小客车20车、大客车0辆， 方案二：小客车11辆，大客车4辆， 方案三：小客车2辆，大客车8辆 ②方案一租金：（元， 方案二租金：（元， 方案三租金：（元， 方案三租金最少，最少租金为2300元． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程或方程组． 15．（2024春•临湘市期末）某公园的门票价格如下表： 购票人数 人 人 100人以上 每人门票价 13元 11元 9元 实验学校初二（1）、二（2）两个班的学生共104人去公园游玩，其中二（1）班的人数不到50人，二（2）班的人数有50多人，经估算，如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元，如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节省不少钱，你能否求出两个班各有多少名学生？联合起来购票能省多少钱？ 【分析】此题可以设二（1）班有人，二（2）班有人．根据共有104人和共付1240元列方程组求解；再进一步根据共有104人，每人按100元以上的票价，即9元．计算出共付的钱数和1240进行比较． 【解答】解：设二（1）班有人，二（2）班有人 则： 解得： 节省钱数为元． 答：两个班各有48人和56人，学生联合起来购票能省304元． 【点评】此题要注意理解各个人数段对应的票价． 16．（2023秋•甘州区校级期末）张掖市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买、两种奖品以鼓励抢答者．如果购买种20件，种15件，共需380元；如果购买种15件，种10件，共需280元．请问、两种奖品每件各多少元？ 【分析】设种奖品每件元，种奖品每件元，根据“如果购买种20件，种15件，共需380元；如果购买种15件，种10件，共需280元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设种奖品每件元，种奖品每件元， 根据题意得：， 解得：． 答：种奖品每件16元，种奖品每件4元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 一十．三元一次方程组的应用（共2小题） 17．（2022秋•巫溪县期末）党的二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．我县乡村振兴项目在如火如荼的开展，通城镇长红村村民黄大爷种植了李子、桃子和板栗三种果树，去年李子的亩产量是板栗亩产量的2倍，今年加强了管理、施肥和灭虫，每亩李子、桃子和板栗的产量分别增加了、、，这两年相同品种果树的种植面积不变，李子、桃子和板栗三种果树的种植面积之比为，今年三种果树增加的总产量是三种果树去年总产量的，则去年桃子的亩产量与板栗的亩产量之比为 　　． 【分析】根据题意可设出去年李子、桃子和板栗三种果树的亩产量分别为：、、，利用增加的百分数可得出今年每亩李子、桃子和板栗增加的产量分别为：、、，根据比例关系设出李子、桃子和板栗三种果树的种植面积分别为、、亩，利用今年三种果树增加的总产量是三种果树去年总产量的可列出：可列方程得：，化简即可得出答案． 【解答】解：根据题意可设，去年李子、桃子和板栗三种果树的亩产量分别为：、、， 今年加强了管理、施肥和灭虫，每亩李子、桃子和板栗的产量分别增加了、、， 今年每亩李子、桃子和板栗增加的产量分别为：、、， 李子、桃子和板栗三种果树的种植面积之比为， 可设李子、桃子和板栗三种果树的种植面积分别为：、、亩， 今年三种果树增加的总产量是三种果树去年总产量的， 可列方程得：， 整理得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三元一次方程的应用，解题关键：一是根据题意设出未知数，二是根据等量关系列出方程． 18．（2021春•福州期末）某中学的1号教学大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门也大小相同，安全检查时，对4道门进行了测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）该中学的2号教学大楼，有和1号教学大楼相同的正门和侧门共5道，若这栋大楼的教室里最多有1920名学生，安全检查规定，在紧急情况下，全大楼学生应在4分钟内通过这5道门安全撤离，该栋大楼正门和侧门各有几道？ 【分析】（1）根据题意可知，本题有两个未知数：平均每分钟一道正门和一道侧门各通过多少名学生．等量关系有两个：当同时开启一道正门和两道侧门时，内可以通过560名学生．当同时开启一道正门和一道侧门时，内可以通过800名学生．根据以上条件可以列出方程组求解； （2）根据（1）的数据，列出方程组解答即可． 【解答】解：（1）设平均每分钟一道正门可通过名学生，一道侧门可以通过名学生． 则， 解得． 答：平均每分钟一道正门可通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生； （2）设该栋大楼正门有道，侧门有道，则 ， 解得． 故该栋大楼正门有2道，侧门有3道． 【点评】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 一十一．点的坐标（共1小题） 19．（2023秋•西安期末）已知平面直角坐标系中有一点 （1）当为何值时，点到轴的距离为1？ （2）当为何值时，点到轴的距离为2？ 【分析】（1）让纵坐标的绝对值为1列式求值即可； （2）让横坐标的绝对值为2列式求值即可． 【解答】解：（1） 或 或； （2） 或 或． 【点评】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值；点到轴的距离为点的横坐标的绝对值． 一十二．坐标确定位置（共2小题） 20．（2022秋•城关区期末）中国象棋棋盘中蕴含着平面直角坐标系，如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图①中“马”所在的位置可以直接走到点、处． （1）如果“帅”位于点，“相”位于点，则“马”所在的点的坐标为 　　，点的坐标为 　　，点的坐标为 　　． （2）若“马”的位置在点，为了到达点，请按“马”走的规则，在图中画出一种你认为合理的行走路线，并用坐标表示． 【分析】结合图示，确定原点，再根据题意求出点的位置和马走的路线． 【解答】解：（1）结合图形以“帅” 作为基准点，则“马”所在的点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； （2）若“马”的位置在点，为了到达点，则所走路线为，，，，，． 【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 21．为了西部的发展，在某地区四个中小城市，，，附近新建机场，试建立适当的直角坐标系，并用坐标来表示各城市及机场的位置． 【分析】要建立坐标系首先要确定原点的位置，进而确定平面直角坐标系中轴与轴的位置．画出坐标系，可确定其它位置的坐标． 【解答】解：若以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立坐标系．则各城市的坐标为：，，，，． 【点评】由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键． 一十三．坐标与图形性质（共1小题） 22．（2022春•越秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒． （1）在运动过程中，当点到的距离为2个单位长度时，　或　； （2）在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； （3）当点在线段上的运动过程中，射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使得，求与的数量关系． 【分析】（1）由非负数的性质得，，解得，，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当时②当时；③当时，分别表示即可； （3）结论：或．分两种情形分别画出两个图形进行求解即可． 【解答】解：（1），满足关系式， ，， ，， ． 当点到的距离为2个单位长度时，，或， 或， 故答案为：或． （2）①当时，点在上，此时，． ②当时，点在上，此时，，由于点在第四象限，纵坐标小于0，则． ③当时，点在上，此时，． ． （3）当点在线段上时，分四种情况： ①如图1中，，理由如下： ， ， ； ②如图2中，，理由如下： ， ， ； ③如图3中，结论：，理由如下： 连接， ，， ； ④如图4中，结论：，理由如下： 当在延长线上，在上，设交于， ，， ， ， 综上所述，或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了矩形的性质、图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 一十四．函数关系式（共1小题） 23．某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式并写出自变量的取值范围． 上题中，在其他条件不变的情况下，请探究下列问题： ①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数与这排的排数的函数关系式是　　，且是正整数） ②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数与这排的排数的函数关系式分别是　　，　　，且是正整数） ③某礼堂共有排座位，第一排有个座位，后面每一排都比前一排多个座位，试写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【分析】（1）（2）通过观察可得出（其中为后一排比前排多出的座位数），由此可得出（1）（2）的答案； （3）由每排多出个座位可知，到第排时共多出几个座位，再由第一排有个座位可得出答案． 【解答】解：找出座位数与排数之间的关系： 第一排： 第二排： 第三排： 第排： 可得规律，． 每排的座位数与这排的排数的函数关系式为：，自变量的取值范围：． ①根据题意：第一排有20个座位，当后面每一排都比前一排多2个座位， 则可以得出：每排的座位数与这排的排数的函数关系式是， 故答案为：， ②同理，当后面每一排都比前一排多3个座位时，， 当后面每一排都比前一排多4个座位时，； ③每一排多出个座位第排多出， 第排的座位数为：，且是正整数． 【点评】本题考查了函数关系式，同时是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 一十五．函数的图象（共2小题） 24．（2024春•东昌府区校级期末）在同一条道路上，甲车从地到地，乙车从地到地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是　　 A．乙先出发的时间为0.5小时 B．甲的速度是80千米小时 C．甲出发0.5小时后两车相遇 D．甲到地比乙到地早小时 【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案． 【解答】解：、由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意； 、乙先出发0.5小时，两车相距， 乙车的速度为：， 故乙行驶全程所用时间为：（小时）， 由最后时间为1.75小时，可得乙先到达地， 故甲车整个过程所用时间为：（小时）， 故甲车的速度为：， 故选项正确，不合题意； 、由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：， 乙车行驶的距离为：，，故两车相遇， 故选项正确，不合题意； 、由以上所求可得，乙到地比甲到地早：（小时）， 故此选项错误，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 25．（2023秋•子洲县校级期末）如图1，在长方形中，，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，．设点的运动时间为，△的面积为． （1）求关于的函数关系式，并写出的取值范围． （2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的两条性质． 【分析】（1）分“”和“”两种情况讨论即可； （2）结合函数图象解答即可． 【解答】解；（1）当时，． ． 如图，当时，， ． 综上所述，关于的函数关系式； （2）函数图象如图所示． ①当时，的值随值的增大而增大． ②该函数在自变量的取值范围内有最大值：时，函数取得最大值，最大值为12． 【点评】此题重点考查三角形的面积公式、一次函数的图象与性质、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 一十六．一次函数的性质（共1小题） 26．（2022春•任丘市期末）如图点是第一象限内一个动点，且在直线上，直线与轴交于点． （1）当点的横坐标为3时，的面积为多少？ （2）设面积为，用含的解析式表示，并写出的取值范围． 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点坐标，故可得出的长，再把代入直线求出的值，故可得出的面积； （2）设点，根据三角形的面积公式用表示出即可． 【解答】解：（1）令，则，解得， ， 点是第一象限内一个动点，且在直线上， 当时，， ； （2）点， ． 【点评】本题考查的是一次函数的性质及三角形的面积．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 一十七．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题） 27．（2023秋•成都期末）如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折，使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点． （1）求，两点的坐标； （2）求的长； （3）设是坐标轴上一动点，若使是直角三角形，直接写出点的坐标（不需计算过程）． 【分析】（1）令求出的值，再令求出的值即可求出、两点的坐标； （2），根据翻折变换的性质用表示出的长，再根据勾股定理求解即可； （3）分点在轴与轴两种情况，设出点的坐标，再根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）令，则； 令，则， 故点的坐标为，点的坐标为； （2）设，则， ， ， ， 解得， ； （3）点的坐标为，点的坐标为， ，，， 如图，当点在轴时， 当时，点坐标为； 当当时，设，则： ， 解得：， 故点坐标为，； 当点在轴时，设，则： ， 解得：， 故点坐标为， 综上，点的坐标为或，或． 【点评】此题比较复杂，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解． 28．（2023秋•汉中期末）如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点、分别为线段，上的两个动点，，，则周长的最小值为 　　． 【分析】过点作轴于点，交于点，连接交于点，交轴于点，此时，周长最小，即可求解． 【解答】解：由一次函数的表达式得，点，，则， 作点关于轴的对称点，，点关于直线的对称点，则，， 过点作轴于点，交于点，连接交于点，交轴于点，此时，周长最小， 理由：周长为最小， 在中，，则，， 则， 则中，，， 则点，， 由点的坐标得，， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数综合应用，涉及到解直角三角形、最值的确定、点的对称性等，综合性强，难度适中． 29．（2024春•柘城县期末）如图，直线与轴和轴分别交于、两点，射线于点．若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、为顶点的三角形与全等，则的长为　　 A．2或 B．3或 C．2或 D．3或 【分析】根据题意解方程得到，则，令，则，求得，，根据勾股定理得到，①当时，如图1，②当时，如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：， ， ， ， 在中， 令，则，令，则， ，，由勾股定理得， ①当时，如图1， ， ， ； ②当时，如图2， ， ， ， 综上所述：的长为或3． 故选：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏． 一十八．待定系数法求一次函数解析式（共1小题） 30．（2022秋•东平县期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处． （1）求、两点的坐标； （2）求． （3）求点到直线的距离． （4）求直线的解析式． 【分析】（1）由解析式令，，即，令时，，即； （2）根据三角形面积公式即可求得； （3）根据三角形面积求得即可； （4）由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，，求出的坐标，设直线的解析式为，再把、坐标代入就能求出解析式． 【解答】解：（1）当时，，即， 当时，，即； （2）点的坐标为：，点坐标为：，， ，， ， ； （3）设点到直线的距离为， ， ， 解得， 点到直线的距离为4.8； （4）由折叠的性质，得：， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为，把；， 代入可得． 【点评】此题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，解答本题的关键是求出的长度． 一十九．一次函数综合题（共3小题） 31．（2023秋•彰武县期末）在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，，且，点，轴于点，一次函数经过点，交轴于点． （1）求证；； （2）求的面积． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，，根据余角的性质，可得，根据，可得答案； （2）根据全等三角形的性质，可得点坐标，根据待定系数法，可得的值，根据三角形的面积公式，可得答案． 【解答】（1）证明：是等腰直角三角形 ， ， （2）解： ， 点的坐标为 又一次函数经过点 点的坐标为 在中，边上高的长度就是点纵坐标的绝对值． 的面积为24． 【点评】本题考查了一次函数综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题求出点坐标是解决问题的突破点． 32．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，，直线分别交轴，直线于点，． （1）求点、点的坐标，并用含的代数式表示，，的坐标； （2）连接，若，求的值； （3）是轴上的一点，连结，，若，且，求的值． 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，分别令和时即可得出与坐标轴交点，联立两直线解析式可得两直线交点坐标； （2）利用勾股定理求出，根据，即可求得的值； （3）过点作轴于，设，则可证明，即可得出，，分情况讨论的值，求解即可． 【解答】解：（1）直线分别交轴，轴于点，， 令，则， 故点的坐标为， 令，则， 故点的坐标为， 直线分别交轴，直线于点，， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 直线与直线交于点， ， 解得， 故点的坐标为； 综上，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为； （2）连接， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，， ， ， 解得：； （3）过点作轴于， 设， ， ，， ， ，， ， ，， 当时，， 解得或，重合舍去）， 故， 当时，， 解得或（舍， 故， 综上，或． 【点评】本题考查了一次函数综合，一次函数与坐标轴交点问题，两直线交点问题，全等三角形的判定与性质，结合数形结合的思想解题，建立方程是解题的关键，注意分类讨论． 33．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与直线交于点，两直线与轴分别交于点和． （1）求直线和的表达式． （2）点是轴上一点，当最小时，求点的坐标． （3）如图2，点为线段上一动点，将△沿直线翻折得到△，线段交轴于点，若△为直角三角形，求点坐标． 【分析】（1）把代入，得的值，可得直线解析式，把点代入，得的值，即可求解； （2）由两点间直线距离最短可知：作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求； （3）由对折得，可得△为直角三角形，分两种情况讨论：当时和当时，分别计算即可． 【解答】解：（1）把代入， ， ， 直线的函数表达式为：， 把点代入， ， ， 直线的函数表达式为：； （2）作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 如图： 当时， 解得， 将，代入， 解得：． 所以的坐标为： 作关于轴的对称点，则坐标为：， ，； 设所在直线解析式为：，将，代入得： ， 解得：， 即解析式为：， 令，， 即点坐标为：． （3）△为直角三角形，分两种情况讨论： ①当时， 如图，由对折可得，， ， 过点作于， ， ， ， ； ②当时，如图所示： 由图可知：，，，， 由对折得，，， ， 设，，则， 由勾股定理可知： ， ， 解得：， ， ， 在轴负半轴， ，． 综上所述：点坐标为：或，． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键． 二十．平行线的判定（共1小题） 34．（2023春•岳池县校级期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，求的度数． 【分析】（1）根据同位角相等两直线平行，可证； （2）根据平行线的性质可得，根据等量关系可得，根据内错角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得与之间的数量关系； （3）根据对顶角相等可求，根据三角形外角的性质可求，根据平行线的性质可得，，再根据平角的定义可求的度数． 【解答】（1）证明：， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3），， ， ， ， ， ， ． 【点评】考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义，平行线的性质有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行；平行线的性质有：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补． 二十一．平行线的性质（共1小题） 35．（2024春•大观区校级期末）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【解答】解：延长，交于． ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ①错误；②正确， 平分， ， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ③平分，④平分不一定正确． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高． 二十二．平行线的判定与性质（共3小题） 36．（2022春•平舆县期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等． （1）如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则　100　，　　； （2）在（1）中，若，则　　，若，则　　； （3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜、的夹角　　时，可以使任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，请说明理由． 【分析】根据入射角与反射角相等，可得，． （1）根据邻补角的定义可得，根据，所以，，根据三角形内角和为，即可求出答案； （2）结合题（1）可得的度数都是； （3）证明，由，证得与互补即可． 【解答】解：（1），． 入射角与反射角相等，即，， 根据邻补角的定义可得， 根据，所以， 所以， 根据三角形内角和为，所以； （2），． 由（1）可得的度数都是； （3）（2分） 理由：因为， 所以， 又由题意知，， 所以， ， ， ． 由同旁内角互补，两直线平行，可知：． 【点评】本题是数学知识与物理知识的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性． 37．（2022秋•萨尔图区校级期末）（1）证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的角平分线互相垂直． 已知：如图①，，　直线分别交直线，于点，，、分别平分、　． 求证：　　． 证明： （2）如图②，，点、分别在直线、上，，与的角平分线相交于点．求证：． （3）如图③，，点、分别在直线、上，，，与的角平分线相交于点，，求的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线定义即可证明； （2）延长交于点，过点作交于点，结合（1）的方法即可证明； （3）延长、交于点，过点作交于点．结合（1）的方法可得，再根据角平分线定义即可求出结果． 【解答】（1）已知：如图①，，直线分别交直线，于点，，、分别平分、， 求证：； 证法， ， 、分别平分、， ． ， ． ； 证法2：如图，过点作交直线于点． ， ， 、分别平分、， ． ，， ． ． ； 故答案为：直线分别交直线，于点，，、分别平分、，； （2）证明：如图，延长交于点，过点作交于点， ， ， ， ． 、分别平分、， ， ，， ． ． ； （3）解：如图，延长、交于点，过点作交于点． ，， ， 由（1）证法2可知， 、分别平分、， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 38．（2024春•启东市期末）如图，，， （1）求证：； （2）若是的平分线，，求的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可． 【解答】证明：（1）， ， ， ， ； （2），， ， 是的平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出是解题的关键． 二十三．三角形内角和定理（共2小题） 39．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②； ③；④，其中正确的为　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【解答】解：平分，， ． ， ，即，①错误； 平分， ， ， ，即， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ，故③正确； 平分，平分， 为外角的平分线， ， ，，， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 40．（2023秋•佛山期末）已知，直线与交于点，与交于点，点，均不与点重合，平分，平分． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，延长与交于点，过作射线与交于点，且满足．求证：； （3）如图3，过点作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点，与交于点．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数． 【分析】（1）利用直角三角形的性质，角平分线的定义和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质解答即可得出结论； （2）利用（1）的方法求得，再利用三角形的外角的性质计算得到，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，计算得到，再利用三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义解答即可；②当时，计算得到，，利用与①同样的方法解答即可． 【解答】（1）解：，， ， 平分，平分， ，， ，， ； （2）证明：平分，平分， ，， ． ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当时， ， ， ， ． ， ， ． ． ． 平分， ， ， 平分， ； ②当时， ， ， ， ，， ， ， ． ． ． 平分， ， ， 平分， ． 综上，在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，的度数为或． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，平行线的判定定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形的内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 二十四．三角形的外角性质（共2小题） 41．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　6　． 【分析】连接，，，根据三角形内角与外角的性质可得，，，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：连接，，， 是的外角， ， 是的外角， ， 在四边形中，①， 在中，②， ①②得，， 即， ． ． 故答案为：6． 【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答． 42．（2022秋•宣化区期末）中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． （1）如图1，猜想与的关系，并说明你的理由； （2）如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，由三角形的内角和得到，，于是得到结论； （2）①由角平分线的性质得到，由三角形的内角和得到，于是得到结论；②由角平分线的性质得到，，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）， 理由：三个内角的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）①平分， ， ， ， ； ②平分， ， 三个内角的平分线交于点， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 二十五．勾股定理（共3小题） 43．（2022秋•河间市校级期末）如图，在中，，，则边上的高的长为　　 A．4 B． C． D．5 【分析】过作于点，根据勾股定理计算出底边上的高的长，然后计算三角形的面积，再以为底，利用三角形的面积计算出边上的高即可． 【解答】解：过作于点， ， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合． 44．（2021秋•南阳期末）已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长度； （2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可； （3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值． 【解答】解：（1）在中，， ； （2）由题意知， ①当为直角时，点与点重合，，即； ②当为直角时，，，， 在中， ， 在中，， 即：， 解得：， 故当为直角三角形时，或； （3）①当时，； ②当时，，； ③当时，，，， 在中，， 所以， 解得：， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 45．（2021秋•平远县期末）如图，在中， （1）为上的中点，求证：； （2）若为上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明； （3）若为延长线上一点，说明、、、之间的数量关系． 【分析】（1）先连接，由于，是中点，利用等腰三角形三线合一定理可知，再在直角三角形利用勾股定理可得，即，而，易得，那么此题得证； （2）成立．连接，作，交于，在等腰三角形中利用三线合一定理，可知，在中，利用勾股定理可得，同理有，易求的差，而，，易求，从而可证； （3）．连接，并做，交于，在中，利用等腰三角形三线合一定理可知 ，在中和中，利用勾股定理分别表示、，而，， 易求的值，从而可证． 【解答】证明：（1）如图所示，连接， ，是中点， ，， 在中，， ， 又， ， ； （2）成立． 如图所示，连接，作，交于， ，， ， 在中，， 同理，， ， 又，， ， ； （3）． 如图，是延长线任一点，连接，并做，交于， ，， ， 在中，， 在中，， ， 又，， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理．解题的关键是用、的和差来表示和． 二十六．勾股定理的逆定理（共1小题） 46．（2022春•韩城市期末）已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积． 【分析】先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：连接． ，，， ， 在中，， 是直角三角形， ， ， ． 故四边形的面积为． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 二十七．勾股定理的应用（共2小题） 47．（2023秋•仓山区校级期末）已知在中，，点在线段上，点在射线上，连接，作交射线于，． （1）如图1，当时，时，求的大小； （2）当，时， ①如图2．连接，当，求的长； ②若，求的长． 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可； ②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理，可得，与等面积法可得，可得，，证明，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得答案． 【解答】解：（1），， ， ，， ； （2）①，， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 而，， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ； 综上：或． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练的证明需要的两个三角形全等是解本题的关键． 48．（2023秋•乐平市期末）综合探究： “在△中，、、三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点△（即△三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求△面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中△的面积是 　3.5　； （2）若△的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的△，并求出△的面积． （3）拓展应用：求代数式的最小值． 【分析】（1）根据割补法求解； （2）根据勾股定理作图，根据割补法求面积； （3）因为可看作两直角边分别为和1的△的斜边长，可看作两直角边分别是和2的△的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如解答图所示，当与共线时，为最小，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：（1）△的面积为：， 故答案为：3.5； （2）如图：由勾股定理，知，，， △即为所求； △的面积为：； （3）可看作两直角边分别为和1的△的斜边长，可看作两直角边分别是和2的△的斜边长，构造图形如下： 依题意，得，，，，， 求代数式的最小值，就是求的最小值，当与共线时，为最小，最小值为的长． ，， 由勾股定理，得， 代数式的最小值是5． 【点评】本题考查作图的应用与设计，勾股定理，两点之间线段最短，掌握构图方法，勾股定理及割补法求面积是解题的关键． 二十八．平面展开-最短路径问题（共1小题） 49．（2023秋•焦作期末）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　26　的路程． 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加， 原图长度增加4米，则， 连接， 四边形是长方形，，宽， ， 蚂蚱从点爬到点，它至少要走的路程． 故答案为：． 【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 二十九．命题与定理（共2小题） 50．（2021春•裕华区校级期末）如图所示，和中，，点，，，在同一条直线上，有如下三个关系式：①；②；③； （1）请你用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题；（用序号写出命题的书写形式，如：如果，那么 （2）说明你写的一个命题的正确性． 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明，从而得到结论． （2）对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到，因为，，利用判定，得到，即得到． 【解答】解：（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①． （2）对于“如果①，③，那么②”证明如下： ， ． ，， ． ． ． 即． 对于“如果②，③，那么①”证明如下： ， ． ， ． 即． ， ． ． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有，，，、等．编题然后选择，最后进行证明是现在比较多的一种考题，要注意掌握． 51．（2022秋•黄岛区校级期末）如图，已知：点、、在一条直线上． （1）请从三个论断①；②；③中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件：　①；②；　． 结论：　　． （2）证明你所构建的是真命题． 【分析】（1）根据命题的概念，写出条件、结论； （2）根据平行线的判定的礼盒性质定理证明． 【解答】解：（1）条件：①；②； 结论：③， 故答案为：①，②；③； （2）证明：， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是命题的概念、平行线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 三十．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共2小题） 52．（2022秋•和田市校级期末）如图，已知线段轴，点在第一象限，且平分，交轴于，连、． （1）判断的形状，并予以证明； （2）若点、关于轴对称，求证：． 【分析】（1）易证和，即可判定是等腰三角形； （2）连接交轴于，过作轴于，易证，即可证明，，根据三角形内角和为性质即可解题． 【解答】解：（1）是等腰三角形； 证明：轴， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：连接交轴于，过作轴于， 轴，点、关于轴对称， ， 在和中， ， ， ， ，（1）中已证， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 53．（2022秋•威县期末）如图，在直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴对称的图形△． （2）写出点的坐标． 【分析】（1）根据轴对称的定义直接画出． （2）由点位置直接写出坐标． 【解答】解：（1）如图所示： （2）点的坐标为：． 【点评】此题主要考查平面坐标系有关知识、轴对称变换、要求会画对称图形、由点正确写出点的坐标，正确理解题意是解题的关键． 三十一．坐标与图形变化-对称（共1小题） 54．（2020秋•文山市期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，， （1）求的面积； （2）在图中作出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标． 【分析】（1）直接根据三角形的面积公式求解即可； （2）先找出各顶点关于轴对称的对应点，然后顺次连接各点即可． 【解答】解：（1）； （2）所画图形如下所示，其中即为所求， ，，的坐标分别为：，，． 【点评】本题考查三角形的面积公式及轴对称变换作图的知识，解题关键是找出各关键点关于轴的对应点，难度一般． 三十二．条形统计图（共2小题） 55．（2022春•南浔区期末）某校研究性学习小组以“学生到学校交通工具类型”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的项目有：公共汽车、小车、摩托车、自行车、其它（每位同学仅选一项）．根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 交通方式 频数（人数） 频率 公共汽车 0.25 小车 24 0.20 摩托车 36 自行车 18 0.15 其它 12 0.10 请根据图表信息解答下列问题： （1）本次共抽样调查　120　个学生； （2）填空：频数分布表中的　 　，　 　； （3）在扇形统计图中，请计算出“摩托车”所在的扇形的圆心角的度数． 【分析】（1）根据频率进行计算； （2）根据频率进行计算； （3）根据在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比计算． 【解答】解：（1）由频数分布表可知，骑摩托车的频数是24，频率是0.2， 则样本容量为， 故答案为：120； （2）， ， 故答案为：30；0.3； （3）“摩托车”所在的扇形的圆心角的度数为：， 答：“摩托车”所在的扇形的圆心角的度数为． 【点评】本题考查的是条形图、频数分布表、扇形图的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 56．（2024春•恩平市期末）为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：、绘画；、唱歌；、演讲；、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题： （1）这次抽查的学生人数是多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，求选课程的人数所对的圆心角的度数； （4）如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程的学生约有多少人？ 【分析】（1）从两个统计图可得，“组”的有12人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出“组”人数，即可补全条形统计图： （3）样本中，“组”占，因此圆心角占的，可求出度数； （4）样本估计总体，样本中“组”占，估计总体1200人的是“组”的人数． 【解答】解：（1）（人， 答：这次抽查的学生有40人； （2）（人，补全条形统计图如图所示： （3）， （4）（人， 答：该校3600名学生中报课程的学生约有1260人． 【点评】考查条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 三十三．中位数（共1小题） 57．（2022春•康县期末）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15 乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15 丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16 请回答下列问题： （1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数； （2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数； （3）如果你是顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？ 【分析】（1）平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数，众数就是一堆数中出现次数最多的数，中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数； （2）一组数据的平均数、众数、中位数从不同角度表示这种数据集中趋势． 由（1）的结果容易回答（2），甲厂、乙厂、丙厂，分别利用了平均数、众数、中位数进行广告推销，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据． （3）根据平均数大的进行选择． 【解答】解：（1）甲厂：平均数为，众数为5，中位数为6； 乙厂：平均数为，众数为8，中位数为8.5； 丙厂：平均数为，众数为4，中位数为8； （2）甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数； （3）平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品， 因此应选乙厂的产品． 【点评】本题是平均数、众数、中位数在实际生活中的应用，选取以哪个数据为主要结合它们的定义来考虑． 三十四．众数（共1小题） 58．（2024春•鼓楼区校级期末）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为、、、四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图： （1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整； （2）根据下表填空：　87.6　；　　；　　； 平均数（分 中位数（分 众数（分 一班 90 二班 87.6 80 （3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析． 【分析】（1）根据总人数为25人，求出等级的人数，补全条形统计图即可； （2）求出一班的平均分与中位数得到与的值，求出二班得众数得到的值即可； （3）选择平均数与众数比较即可． 【解答】解：（1）根据题意得：一班中等级的人数为（人， 补全条形统计图，如图所示： （2）根据题意得：一班的平均分为（分，中位数为90分， 二班的众数为100分， 则，，； 故答案为：87.6，90，100； （3）一班与二班的平均数相同，但是二班众数为100分，一班众数为90分， 则二班成绩较好． 【点评】此题考查了条形统计图，以及扇形统计图，弄清题意是解本题的关键． 三十五．方差（共2小题） 59．（2022秋•莘县校级期末）已知一组数据的方差，那么这组数据的总和为　24　． 【分析】根据方差公式中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和． 【解答】解：， 这组数据的平均数是6，数据个数是4， 这组数据的总和为； 故答案为：24． 【点评】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差． 60．（2023秋•长安区期末）要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全国比赛，在最近的5次选拔赛中、他们的成绩如下（单位：环） 甲：7、8、6、8、9 乙：9、7、5、8、6 （1）甲运动员这5次选拔赛成绩的中位数和众数分别是多少？ （2）求乙运动员这5次选拔赛成绩的平均数和方差； （3）若已知甲运动员的选拔赛成绩的方差为1.04，为了保证稳定发挥，应该选哪位运动员参加比赛？ 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可以解答本题； （2）根据平均数和方差的计算方法可以解答本题； （3）根据方差越小越稳定可以解答本题． 【解答】解：（1）甲运动员的成绩按照从小到大排列是：6、7、8、8、9， 甲运动员这5次选拔赛成绩的中位数和众数分别是8，8； （2）由题意可得， ， ； （3）甲的方差是1.04，乙的方差是2，， 应该选择甲运动员参加比赛． 【点评】本题考查平均数、方差、中位数、众数，解答本题的关键是明确平均数和方差的计算方法、知道什么是中位数和众数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$