精品解析：湖南省湘潭县第一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

湘潭县一中2024年下期高一期中测试 数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ） A. B. C. D. 2. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（ ） A. 甲方案更优惠 B. 乙方案更优惠 C. 甲乙一样优惠 D. 无法确定 8. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 任意非零实数，都有 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 11. 定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A. B. C. 2为的一个周期 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知奇函数f（x），当，，那么___________. 13. 已知，，则的取值范围是__________. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的解集为． （1）求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费. （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求m，n的值； （2）求使成立的实数a的取值范围． 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘潭县一中2024年下期高一期中测试 数学试卷 时量：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 图中的U是全集，A，B是U的两个子集，则表示）的阴影部分是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合运算的定义，结合韦恩图分析即可得解. 【详解】对于A，图中阴影部分表示，故A错误； 对于B，图中阴影部分表示，故B错误； 对于C，图中阴影部分表示，故C正确； 对于D，图中阴影部分表示，故D错误. 故选：C. 2. 若命题，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得到结论． 【详解】命题，为存在量词命题， 则该命题的否定为，， 故选：D． 3. 下面四个条件中，使成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照充分条件、必要条件的概念结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，故满足题意； 对于B，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意； 对于C，“”不能推出“”，故选项B不是“”的必要条件，不满足题意； 对于D，“”不能推出“”，故选项C不是“”的必要条件，不满足题意. 故选：A. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 5. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数定义及其单调性可得答案. 【详解】由幂函数定义可得， 解得或， 当时，此时，满足题意， 当时，此时，不满足题意， 综上，. 故选：A 6. 若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性和值域，比较算式的大小. 【详解】幂函数在上单调递增，值域为， 由，则，又， 所以. 故选：D 7. 两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（ ） A. 甲方案更优惠 B. 乙方案更优惠 C. 甲乙一样优惠 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案. 【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中. 则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：. 注意到，则乙方案更优惠. 故选：B 8. 已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由， 得，构造函数，则是上的减函数，对实数分类讨论即可. 【详解】因为对任意，，所以，即， 构造函数，则， 所以函数是上的减函数. 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，函数是上的减函数，符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需，解得. 综上所述，实数的取值范围足， 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由两函数定义域，解析式是否相同可判断两函数是否相同. 【详解】对于A，定义域为R，定义域为，则两函数不同，故A错误； 对于B，两函数定义域相同，都为R，又，则两函数相同，故B正确； 对于C，定义域为R，定义域为，则两函数不同，故C错误； 对于D，两函数定义域相同，都为R，又，则两函数相同，故D正确； 故选：BD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 任意非零实数，都有 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举特例可判断选项正误； 对于BCD，由基本不等式及推论可判断选项正误. 【详解】对于A，取，而，A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，正数满足，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 11. 定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A. B. C. 2为的一个周期 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又为奇函数， 所以， 即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以， ， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数 的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称， 则， 故D正确， 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知奇函数f（x），当，，那么___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值. 【详解】由f（x）为奇函数，可知，则 又当，，则 故 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由，可得，， 由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为恒成立，所以. 因，则， 则， 当且仅当时等号成立，由，解得. 故的最小值为4，则， 解得，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的解集为． （1）求实数的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知：，且，1是方程的两根，利用韦达定理得出a的值； （2）不等式恒成立，即恒成立，则，解不等式即可． 【小问1详解】 因为的解集为， 所以而且的两根为和1， 所以，所以． 【小问2详解】 因为恒成立，即恒成立， 所以，解得， 所以实数b的取值范围为．即. 16. 已知集合； （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集运算即可得解； （2）先由条件得到，再对与分两种情况讨论得解. 【小问1详解】 当时，，， 所以. 【小问2详解】 因为, 所以， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 17. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费. （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元； 【解析】 【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解. 【小问1详解】 当时，年利润； 当时，； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而， 所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且 （1）求m，n的值； （2）求使成立的实数a的取值范围． 【答案】（1）， （2）实数a的取值范围是 【解析】 【分析】（1）解法一：由和列式求出m，n，再检验奇偶性即可得解；解法二：根据在上恒成立，求出，再根据求出m； （2）先证明的单调性，再由奇偶性和单调性将原不等式化简，求解关于a的不等式组即可． 【小问1详解】 （1）解法一：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 经检验，时，是定义在上的奇函数． 法二：是定义在上的奇函数，则在上恒成立， 即在上恒成立，则， 所以，又因为，得，所以，． 【小问2详解】 （2）由（1）知，． 因为是定义在上的奇函数， 所以由，得， 设，且， 则， ∵，∴，，， ∴，∴，∴在上是增函数． 所以，即，解得． 故实数a的取值范围是． 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $