专题06一元一次方程的应用11大压轴题型-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（浙教版2024）

专题06 一元一次方程的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、数字问题 2 类型二、工程问题 3 类型三、和差倍分问题 4 类型四、方案设计问题 4 类型五、配套问题 5 类型六、销售问题 6 类型七、分段收费问题 7 类型八、一般行程问题 8 类型九、过桥过隧道类行程问题 9 类型十、水流航行类行程问题 9 类型十一、数轴上动点问题 10 压轴能力测评(11题） 12 1.列方程解应用题的步骤: ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 2.一元一次方程应用问题常见题型数量关系 （1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； （2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； （3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； （4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； （7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； （8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变； （9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （10）销售问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； （12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； （13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。 类型一、数字问题 例1．定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：27就是一个“3喜数”，因为；25就不是一个“喜数”，因为．小江发现个位数字是十位数字2倍的两位数都是“喜数”，则的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．8 变式1-1．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 变式1-2．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是，求原来的两位数． 变式1-3．【理解概念】 若将一个自然数各位上的数字按照从高位数字到低位数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差是一个常数，则这个数叫作“幸福数”．如：四位数2468排成一列后为：2，4，6，8．因为，且差为2是常数，故2468是一个差为2的四位“幸福数”．又如，9876，6666等也是“幸福数”． 若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个数为“三生三世数”．例如：3579与9753，8765与5678，…，都是“三生三世数”． 规定：把高位数字为x，差为2的三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和与222的商记为． 【运用概念】 例如：当时，三位“幸福数”为135，它的“三生三世数”为531，三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和为，，所以． （1）计算：，； 【拓展创新】（2）已知，求x的值． 类型二、工程问题 例2．李师傅三天完成一批零件的加工任务，第一天加工的零件数与总零件数的比是，第二天加工了180个零件，前二天加工的零件数正好占总零件数的．李师傅第一天加工了多少个零件？ 变2-1．一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 变式2-2．某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元． (1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天； (2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数； (3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 变式2-3．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 类型三、和差倍分问题 例3．王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 变式3-1．甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多做了22道，则他们一共做了 道数学题． 变式3-2．袋子里装有若干个红黑白三种颜色的彩球，已知红球的数量是总数的，增加了6个同样的红球后，红球的数量占总数的，原来黑球数量为8个，则原来白球的数量为多少个？ 类型四、方案设计问题 例4．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（）时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 变式4-1．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 变式4-2．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 变式4-3．某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 类型五、配套问题 例5．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 变式5-1．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为 ． 变式5-2．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 变式5-3．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 类型六、销售问题 例6．淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 变式6-1．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 变式6-2．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 变式6-3．某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 类型七、分段收费问题 例7．为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 变式7-1．我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 变式7-2．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元／） 第一档气量 不超出的部分 第二档气量 超出不超出的部分 a 第三档气量 超出的部分 (1)若甲用户今年已使用天然气，共缴费用1632元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某用户年用气量为，请用含x的式子表示每年支出的燃气费． 变式7-3．为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 类型八、一般行程问题 例8．在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是 米． 变式8-1．小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 变式8-2．（列方程解应用题）两地相距64千米，甲从地出发，每小时行14千米，乙从地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追甲？ (3)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距16千米？ 变式8-3．甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 类型九、过桥过隧道类行程问题 例9．某公路隧道长1500米．一辆大巴车匀速从隧道通过，测得大巴车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151秒，整辆大巴车完全在隧道里的时间为149秒，大巴车的车身长度和行驶速度分别是（    ） A．8米、5米/秒 B．10米、10米/秒 C．10米、15米/秒 D．12米、20米/秒 变式9-1．若轮船在顺水中的速度为30千米/时，在逆水中的速度为24千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米/时． 变式9-2．一列匀速行驶的高铁列车在行进途中经过一个长1200米的隧道，已知列车从进入隧道到离开隧道共需8秒时间．出隧道后与另一列长度和速度都相同的列车相遇，从相遇到离开仅用了2秒，则该列车的长度为 米． 变式9-3．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 类型十、水流航行类行程问题 例10．一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少．已知船在静水中的速度为，水流速度为，则甲、乙两地之间的距离为 ． 变式10-1．一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了小时；从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 变式10-2．一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 变式10-3．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 类型十一、数轴上动点问题 例11．在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 变式11-1．综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 变式11-2．已知点A、点B在数轴上分别对应有理数a、b，其中a、b满足． (1)____________，____________； (2)如图，点C在点A、点B之间（点C不与A、B重合），现有一个小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点，又经过四秒之后到达的中点，试求点C所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，动点P从B点出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，当点P运动到点A之后立即以原速沿数轴向左运动．动点P从B点出发的同时，动点Q从C点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，动点M也从A点出发沿数轴以每秒3个单位的速度向左运动．设运动的时间为t秒，是否存在正数k使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的正数k，并把其中一个正数k的求解过程写出来． 变式11-3．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为2，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离______，A、B两点的中点表示的数为_____． （2）若A、P两点间的距离，则点表示的数为_____． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为秒． （3）用含的式子填空：点运动秒后所在位置的点表示的数为_____； 点运动秒后所在位置的点表示的数为_____； 此时A、B两点的中点表示的数为_____． （4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度． 1．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 2．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 3．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 4．某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ (2)若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ (3)在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 6．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 7．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 8．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 9．我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 10．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 11．我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为MN的中点； (3)如图3，三个定点P、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次方程的应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、数字问题 2 类型二、工程问题 4 类型三、和差倍分问题 7 类型四、方案设计问题 8 类型五、配套问题 12 类型六、销售问题 14 类型七、分段收费问题 16 类型八、一般行程问题 21 类型九、过桥过隧道类行程问题 23 类型十、水流航行类行程问题 25 类型十一、数轴上动点问题 27 压轴能力测评(11题） 33 1.列方程解应用题的步骤: ①审:审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设:设未知数(一般求什么，就设什么为x ③找:找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列:根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解:解所列出的方程，求出未知数的值固答:检验所求解是否符合题意，写出答案(包括单位名称) 2.一元一次方程应用问题常见题型数量关系 （1）和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； （2）增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； （3）等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； （4）行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 （5）航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； （7）比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； （8）年龄问题：大小两个年龄的差不会变； （9）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. （10）销售问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； （11）数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； （12）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； （13）浓度问题：溶液质量=溶质质量+溶剂质量；百分比浓度=；溶质质量=溶液质量×百分比浓度。 类型一、数字问题 例1．定义：对于一个两位自然数，如果它的个位数字不为零，且它正好等于其个位和十位上数字和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”．例如：27就是一个“3喜数”，因为；25就不是一个“喜数”，因为．小江发现个位数字是十位数字2倍的两位数都是“喜数”，则的值为（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查了新定义“喜数”和解一元一次方程，设十位数字为，则个位数字为，根据题意列出方程即可求解，理解和应用新定义是解题的关键． 【详解】解：设十位数字为，则个位数字为 那么 那么有 故选：B． 变式1-1．有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 变式1-2．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，如果将这两个数字的位置互换，那么所得的新的两位数与原来的两位数的和是，求原来的两位数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用．正确的表示两位数是解题的关键． 设原来的两位数中的个位上的数字是x，则十位上的数字是，由题意得：，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设原来的两位数中的个位上的数字是x，则十位上的数字是， 由题意得：． 解得， ∴十位上的数字为． ∴原来的两位数为． 变式1-3．【理解概念】 若将一个自然数各位上的数字按照从高位数字到低位数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差是一个常数，则这个数叫作“幸福数”．如：四位数2468排成一列后为：2，4，6，8．因为，且差为2是常数，故2468是一个差为2的四位“幸福数”．又如，9876，6666等也是“幸福数”． 若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个数为“三生三世数”．例如：3579与9753，8765与5678，…，都是“三生三世数”． 规定：把高位数字为x，差为2的三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和与222的商记为． 【运用概念】 例如：当时，三位“幸福数”为135，它的“三生三世数”为531，三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和为，，所以． （1）计算：，； 【拓展创新】（2）已知，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意可得“幸福数”与“三生三世数”，然后按所规定的运算顺序进行计算即可得； （2）设三位数的最高位为，根据定义表示出“幸福数”与“三生三世数”，然后按规定的运算顺序列出方程，解方程即可得． 本题主要考查阅读类题型的理解能力和数据的整理能力，用含的式子正确表示是解此题的关键． 【详解】解：（1）由题可知， 当时，“幸福数”：246；“三生三世数”：642， ； 同理可得，当时，“幸福数”：579；“三生三世数”：975， ； （2）设三位数的最高位为x，则“幸福数”：；“三生三世数”： 又∵， ∴， 解得，． 类型二、工程问题 例2．李师傅三天完成一批零件的加工任务，第一天加工的零件数与总零件数的比是，第二天加工了180个零件，前二天加工的零件数正好占总零件数的．李师傅第一天加工了多少个零件？ 【答案】90个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量的关系是解题关键．设总零件数为个，则第一天加工的零件数为个，前二天加工的零件数为个，据此列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设总零件数为个，则前二天加工的零件数为个， 根据题意，第一天加工的零件数与总零件数的比是 即第一天加工的零件数为个， 则有，解得（个）， 所以，（个）． 答：李师傅第一天加工了90个零件． 变2-1．一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 变式2-2．某开发公司生产若干件某种新产品，需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天，且若由甲单独做，公司需付甲每天的加工费用80元；若由乙单独做，公司需付乙每天的加工费用120元． (1)设甲单独加工这批新产品要用x天，则乙单独加工这批新产品要用_______天； (2)在（1）的条件下，求这批新产品的件数； (3)若公司董事会制定了如下方案：可以由每个工厂单独完成，也可以由两个工厂同时合作完成，但在加工过程中，公司需派一名工程师到工厂进行技术指导（若两个工厂同时合作，只需派一名工程师到工厂指导），并由公司为其提供每天10元的午餐补助．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)这批新产品的件数为960 (3)两个工厂同时合作完成时，既省时又省钱，见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程．对于要求最符合要求类型的题目，应将所有方案，列出来求出符合题意的那一个即可． （1）根据“甲单独加工这批产品比乙单独加工这批产品要多用20天”列式 ； （2）根据题意找出等量关系：总产品数相等，列出方程求解即可． （3）应分为三种情况讨论：①由甲厂单独加工；②由乙厂单独加工；③由两场厂共同加工，分别比较三种情况下，所耗时间和花费金额，求出即省钱，又省时间的加工方案． 【详解】（1）解：根据题意，得乙单独加工这批新产品要用天， 故答案为：； （2）解：设甲单独加工这批产品用x天， 由题意得，， 解得：， （件）， 答：这个公司要加工960件新产品； （3）解： ①由甲厂单独加工：需要耗时为（天），需要费用为：（元）； ②由乙厂单独加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）； ③由两家工厂共同加工：需要耗时为 （天），需要费用为：（元）． 因为，， 所以，甲、乙合作同时完成时，既省钱又省时间． 变式2-3．年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 类型三、和差倍分问题 例3．王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，列一元一次方程即可求解． 【详解】解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，由题意得： ， 解得，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 变式3-1．甲、乙、丙三个同学做数学题．已知甲比乙多做了6道，丙做的是甲的2倍，比乙多做了22道，则他们一共做了 道数学题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设乙做了道数学题，则甲做了道数学题，丙做了道数学题，根据“丙比乙多做了22道”列方程求解即可． 【详解】解：设乙做了道数学题，则甲做了道数学题，丙做了道数学题， 由题意得：， 解得：，即乙做了道数学题， 则甲做了道数学题，丙做了道数学题， 所以他们一共做了道数学题， 故答案为： 变式3-2．袋子里装有若干个红黑白三种颜色的彩球，已知红球的数量是总数的，增加了6个同样的红球后，红球的数量占总数的，原来黑球数量为8个，则原来白球的数量为多少个？ 【答案】4个 【分析】本题考查一元一次方程，红球的数量及球的总数都发生了变化，但是黑、白两种球的数量没有变，所以关键是抓住不变量解决问题． 【详解】解：设原来共有x个彩球， 白球：（个） 答：原来白球的数量为4个． 类型四、方案设计问题 例4．暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（）时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)采用方案一更省钱，理由见解析 (3)当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）求出当时，方案一和方案二的费用，通过比较确定哪种方案更省钱； （3）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）采用方案一更省钱， 理由：当参加研学的总人数是90时，即， 方案一共收费：； 方案二共收费：， ，采用方案一更省钱； （3）当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 变式4-1．某停车场为24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 白天 8元/小时 夜间 4元1小时 备注 1．收费计时单位时段为1小时，不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费； 2．白天时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 3．夜间时段连续停放超过6小时，不超过12小时（含12小时）的，一律按6小时停车时间收费； 4．停车时间横跨多个时段，按照每个时段的收费标准累计收费． (1)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (2)若某日刘老师进场停车，离场，则需付停车费_______元； (3)若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他此次停车的费用为多少元？ (4)若某次刘老师在该停车场停车费用为60元，其中白天时段停车a小时，夜间时段停车b小时（均为非负整数），请你写出三种符合条件的的值． 【答案】(1)24 (2)56 (3)元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，列代数式，一元一次方程的应用．理解题意，正确列出算式或代数式是解题关键． （1）按白天停车未超过3小时计算即可； （2）按白天停车6小时，夜间停车2小时计算即可； （3）按白天停车6小时，夜间停车小时计算即可； （4）分类讨论：①当，时，②当，时，③当，时和④当，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：刘老师进场停车，离场，则他停车2小时36分， 因为不足一个收费计时单位的按一个收费计时单位收费，且为白天停车，未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （2）解：刘老师进场停车，离场，则他白天停车8小时，夜间停车1小时41分， 所以刘老师白天停车按6小时计费，夜间停车按2小时计费， 所以刘老师需付停车费元； （3）解：若某日刘老师进场停车，停了x小时后离场，x为整数，且离场时间介于当日的间，则他白天停车10小时，夜间停车小时， 因为离场时间介于当日的间， 所以夜间停车未超过6小时， 所以刘老师需付停车费元； （4）解：分类讨论：①当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即． 因为均为非负整数， 所以只能取，； ②当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即， 因为均为非负整数， 所以此时a取大于等于6小于等于12的任意整数都可以，； ③当，时， 因为在该停车场停车费用为60元， 所以，即，不符合题意； ④当，时， 刘老师应付停车费元，不符合题意． 综上可知，或，或，． 变式4-2．已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 变式4-3．某商场销售一款风衣和丝巾，风衣每件定价300元，丝巾每件定价50元，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案1：买一件风衣送一条丝巾； 方案2：风衣和丝巾都按定价的付款． 某客户要到该商场购买风衣20件，丝巾x（）条． (1)若该客户按方案1购买，需付款 元；若该客户按方案2购买，需要付款 元．（分别用含x的式子表示） (2)若，通过计算说明此时该客户按哪种方案购买较合算． (3)当购买多少条丝巾时，该客户按两种方案付款相同？ 【答案】(1) (2)按方案1购买较为合算 (3)当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）根据题意确定出两种方案需付款的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式，求出结果后比较即可； （3）由客户按两种方案付款相同，列出方程，可求解． 【详解】（1）解：方案1需付款：元； 方案2需付款：元； 故答案为：； （2）解：当时， 方案1需付款：（元）； 方案2需付款：（元）； ， ∴按方案1购买较为合算； （3）解：由题意可得：， 解得：， 答：当购买80条丝巾时，该客户按两种方案付款相同． 类型五、配套问题 例5．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母．1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排 名工人生产螺钉，其余的工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握列一元一次方程的方法； 设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设安排x人生产螺母，则人生产螺钉，由题意得： ， 解得：， ， 则应安排10人生产螺钉， 故答案为：10． 变式5-1．某车间每天需生产50个零件，才能在规定时间内完成一批任务，实际上该车间每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件．若设该车间要完成的零件任务为x个，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，能够用含有未知数的代数式表示相关的量，再根据题中的等量关系列方程，根据“实际生产所用时间比规定的时间提前3天完成且超额生产了120个零件”列方程即可． 【详解】解：利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前3天完成任务， 依题意，得． 变式5-2．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． (1)为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ (2)若车间现有24名工人，每人每天工作8个小时，工人根据需要可以转换生产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多的配套，最多能生产多少套？ 【答案】(1)应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母 (2)安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母，1名工人用小时生产1090个螺柱，用小时生产183个螺母，最多生产螺柱和螺母13090套 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母．然后根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设安排y小时生产螺柱，根据每人每时生产的螺柱和螺母列出关于y的一元一次方程，并求得生产螺柱所用的时间和产量，结合实际可知最多可生产13090个螺柱，则10名工人生产螺柱，13名工人生产螺母，另外一名工人按1090个螺柱生产，剩余时间生产螺母即可． 【详解】（1）解：设应安排x名工人生产螺柱，名工人生产螺母． 解得 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． （2）设安排y小时生产螺柱． 解得． ． 根据实际意义取13090． 根据实际意义螺柱取， 则首先安排10名工人生产12000个螺柱，13名工人生产26000个螺母， 另外1名工人用个小时生产1090个螺柱，剩余个小时生产个螺母．但最多生产螺柱和螺母13090套． 变式5-3．某工厂一车间有名工人，其中男生人数比女生人数的倍少人，某月接到加工甲、乙两种零件的工作任务，每个工人每天能加工个甲种零件或个乙种零件.已知，个甲种零件和个乙种零件可以组装成一个丙种零件． (1)该车间男、女生各有多少人？ (2)该车间分别安排多少工人加工甲种零件和乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件？ 【答案】(1)男生有，女生有人 (2)安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程； （1）根据题意设该车间有女生人，则男生有人，列方程求解即可； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件，根据等量关系建立方程即可求解； 【详解】（1）解：设该车间有女生人，则男生有人， 根据题意得：， 解得：， 则人， 答：该车间男生有，女生有人； （2）设该车间安排名工人加工甲种零件，则安排名工人加工乙种零件， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：该车间安排名工人加工甲种零件，安排名工人加工乙种零件，能使得每天加工的甲、乙两种零件恰好能全部组装成丙种零件； 类型六、销售问题 例6．淘宝“618年中大促”活动，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是（　　） A．264 B．240 C．260 D．269 【答案】B 【分析】设这件冲锋衣的原价是x元，根据明明的妈妈在淘宝“618年中大促”活动中购买一件冲锋衣加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设这件冲锋衣的原价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴这件冲锋衣的原价是240元． 故选：B． 变式6-1．某商人一次卖出两件商品，一件赚了，一件赔了，卖价都是480元，在这次买卖过程中，商人（   ） A．赚了40元 B．赔了40元 C．赔了60元 D．不赚不赔 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设赚了的商品进价为元，赔了的商品进价为元，根据卖价都是480元分别列方程求出进价，即可得到答案． 【详解】解：设赚了的商品进价为元， 则，解得（元）； 设赔了的商品进价为元， 则，解得， ∴（元）， 即这次买卖过程中，商人赔了40元． 故选：B． 变式6-2．2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)的值为200 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个． 则， 解得：， ， 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得：， 答：的值为200． 变式6-3．某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【答案】(1) (2)店长说法正确 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据销售额等于卖出个摆件的销售额加上卖出个毛线玩具的销售额，即可代数式； （2）设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据利润为1400元，列出方程求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， （不符合实际）， 店长说法正确． 类型七、分段收费问题 例7．为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 【答案】(1)的值是； (2)8月份小明家的用水量是21吨． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）用水8吨，根据“用水不超过10吨”收费标准解答； （2）要求8月份用水量多少，就要先设出未知数，先把未知数定出区间，再通过理解题意可知本题的等量关系． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 则的值是； （2）解：因为每月用水不超过10吨时，水费是每吨元， 又因为8月份共缴纳水费37元， 所以8月份小明家的用水量一定超过10吨． 设8月份小明家的用水量是吨，根据题意，得 ， 解得． 答：8月份小明家的用水量是21吨． 变式7-1．我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】(1) 根据费用=，列式计算即可． (2)根据题意，得，费用=，得出的结论． (3) 分和，两种情况计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元， 故本月总费用为：（元）． 故该用户4月份应缴纳的水费为元． （2）解：根据题意，得，， 故不超过12的部分费用为：（元）； 超过12但不超过20的部分费用为：（元）； 超过20的部分费用为：（元）， 故该户应缴纳的水费为： (元)． 答：应交电费元． （3）解：根据题意，得，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x， 故； 当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： （元）． 当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元． 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 变式7-2．为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用天然气用气量及价格分为三档，其中： 档次 年用气量 单价（元／） 第一档气量 不超出的部分 第二档气量 超出不超出的部分 a 第三档气量 超出的部分 (1)若甲用户今年已使用天然气，共缴费用1632元，求a的值； (2)在（1）的条件下，若某用户年用气量为，请用含x的式子表示每年支出的燃气费． 【答案】(1) (2)当时，每年支出的燃气费为元；当时， 每年支出的燃气费为元，当时，每年支出的燃气费为元． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）由分段计费可得：，再解方程即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，再列代数式并化简即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为3． （2）解：当时，每年支出的燃气费为元； 当时， 每年支出的燃气费为元， 当时， 每年支出的燃气费为： 元． 变式7-3．为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 【答案】(1)小明家这两个月应缴电费280.35元 (2)；；； (3)用电640度 【分析】（1）利用小明家这两个月应缴电费用电单价用电数量，结合分段计费的电费单价及用电量范围，即可求出结论； （2）利用应缴电费用电单价用电数量，结合分段计费的电费单价及用电量范围，即可用含的代数式表示出应缴电费； （3）设小丽家这两个月共用电度，由（2）的结论结合小丽家1和2月份应缴电费元，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论． 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出应缴电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：小明家这两个月应缴电费280.35元； （2）解：根据题意得：当两个月用电量不超过340度时，应收电费元； 当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费元； 当两个月用电量超过520度时，应缴电费元． 故答案为：；；； （3）解：设小丽家这两个月共用电度， ， ． 根据题意得：， 解得：． 答：小丽家这两个月共用电640度． 类型八、一般行程问题 例8．在一个圆形跑道上，小华与小明分别从一条直径的两端同时出发，相向而行．第一次相遇时，小华走了80米．相遇后，两人继续向前行走，在小明还差55米就走完一圈时，与小华再次相遇，这个圆形跑道的周长是 米． 【答案】370 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据两次相遇两人的路程之和间的关系，可得出第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍，设这个圆形跑道的周长是x米，利用第二次相遇两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵第一次相遇，两人的路程之和为半个圆形跑道的周长，第二次相遇，两人的路程之和为一个半圆形跑道的周长， ∴第二次相遇的时间是第一次相遇的时间的3倍． 设这个圆形跑道的周长是x米， 根据题意得：， 解得：， ∴这个圆形跑道的周长是370米． 故答案为：370． 变式8-1．小刚和小强从环形公路的A地出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线反向匀速而行．出发后两人相遇．相遇时小刚比小强多行进，相遇后小刚回到A地． (1)两人的行进速度分别是多少？ (2)相遇后经过多少时间小强到达A地？ 【答案】(1)两人的行进速度分别是， (2)相遇后经过小强到达A地 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系列出方程； （1）可根据相遇时两人所用时间相等，且两人所行路程之和为环形公路的距离，从而列出方程求出解； （2）利用路程÷速度=时间即可解答； 【详解】（1）解：设小刚的速度为，则相遇时小刚走了，小强走了， 由题意得，， 解得：， 则小强的速度为：， 答：两人的行进速度分别是，； （2）． 答：相遇后经过小强到达A地． 变式8-2．（列方程解应用题）两地相距64千米，甲从地出发，每小时行14千米，乙从地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追甲？ (3)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距16千米？ 【答案】(1)2小时 (2)16小时 (3)小时或小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设经过小时两人相遇，根据“甲乙两人速度和时间两地距离”列出方程并求解即可； （2）设经过小时后乙追上甲，根据“甲乙两人速度差时间两地距离”列出方程并求解即可； （3）设经过小时两人相距16千米，分两人相遇前相距16千米和两人相遇后相距16千米两种情况，根据“甲乙两人速度和时间两地距离16千米”列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设经过小时两人相遇， 根据题意可得 ， 解得（小时）， 答：若两人同时出发相向而行，则经过2小时两人相遇； （2）设经过小时后乙追上甲， 根据题意可得 ， 解得（小时）， 答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则16小时后乙追甲； （3）设经过小时两人相距16千米， 当两人相遇前相距16千米时，可有 ，解得（小时）， 当两人相遇后相距16千米时，可有 ，解得（小时）， 综上所述，若两人同时出发相向而行，则经过小时或小时两人相距16千米． 变式8-3．甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 类型九、过桥过隧道类行程问题 例9．某公路隧道长1500米．一辆大巴车匀速从隧道通过，测得大巴车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151秒，整辆大巴车完全在隧道里的时间为149秒，大巴车的车身长度和行驶速度分别是（    ） A．8米、5米/秒 B．10米、10米/秒 C．10米、15米/秒 D．12米、20米/秒 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键设出大巴车的车身长度，以速度作为等量关系列方程求解．设大巴车的车身长度为米，根据速度相等可列方程求解． 【详解】解：设大巴车的车身长度为米，根据题意得： ． 解得：， 所以大巴车的车身长度为10米，行驶速度是10米/秒． 故选：B 变式9-1．若轮船在顺水中的速度为30千米/时，在逆水中的速度为24千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米/时． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设轮船在静水中的速度为千米/时，根据水流的速度相同，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意，得：， 解得． 所以轮船在静水中的速度为27千米/时． 故答案为：27． 变式9-2．一列匀速行驶的高铁列车在行进途中经过一个长1200米的隧道，已知列车从进入隧道到离开隧道共需8秒时间．出隧道后与另一列长度和速度都相同的列车相遇，从相遇到离开仅用了2秒，则该列车的长度为 米． 【答案】400 【分析】设该列车的长度为x米，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】设该列车的长度为x米， 根据题意得：=， 解得：x=400， 则该列车的长度为400米． 故答案为400 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 变式9-3．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 【答案】(1)这列火车的长度为200米 (2)这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握火车过桥问题中的等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设火车的长度为米，根据火车的速度不变，列出方程进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：设这列火车的长度是米，由题意，得： ， 解得：； 答：这列火车的长度为200米； （2）（米/秒）； 答：这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒． 类型十、水流航行类行程问题 例10．一轮船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少．已知船在静水中的速度为，水流速度为，则甲、乙两地之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据题意正确列式．设甲、乙两地之间的距离为，根据题意列式，即可求解， 【详解】解：设甲、乙两地之间的距离为，根据题意，得， 解得， 故答案为：． 变式10-1．一架飞机从A城市飞B城市顺风行驶，用了小时；从B城市返回A城市逆风飞行，用了3小时．已知风的速度是24千米/时，求飞机在无风航行时的平均速度． 【答案】飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，分别表示出顺风和逆风航行的平均速度，根据A，B两个城市之间的航行长度不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出飞机在无风航行时的平均速度． 【详解】解：设飞机在无风航行时的平均速度为x千米/时，则顺风航行时的平均速度为千米/时，逆风航行时的平均速度为千米/时， 依题意得：， 解得：． 答：飞机在无风航行时的平均速度为696千米/时． 变式10-2．一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？ 【答案】乙在静水中的划船速度为每小时10千米 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关． 设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，根据相向时，两船路程和等于A、B两地距离， 同向时，两船路程差等于A、B两地距离，列出方程即可解答． 【详解】解：设乙在静水中的划船速度为每小时x千米， ， 解得：， 答：乙在静水中的划船速度为每小时10千米． 变式10-3．一艘快艇从A码头到B码头顺流行驶，同时一艘游船从B码头出发顺流而下．已知，A、B两码头相距140千米，快艇在静水中的平均速度为67千米/小时，游船在静水中的平均速度为27千米/小时，水流速度为3千米/小时． (1)请计算两船出发航行30分钟时相距多少千米？ (2)如果快艇到达B码头后立即返回，试求两船在航行过程中需航行多少时间恰好相距100千米？ 【答案】(1)120千米 (2)1小时和小时 【分析】（1）利用游船在顺水中的速度为静水速+水速，直接表示出两船的实际水速，即可求出； （2）分两种情况讨论①两船都在顺流而下时②快艇到B码头返回后两船相背而行时；得出两个方程，解出即可． 本题考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：千米． 即在航行30分钟时两船相距120千米； （2）解：设在出发x小时后两船相距100千米． 第一种情况：两船都在顺流而下时，则 ， 理整得， 解得， 即两船都在顺流而下时，在航行1小时时两船相距100千米． 第二种情况：快艇到B码头返回后两船相背而行时． ∵快艇从A码头到B码头需回时小时． 于是由题意有， 整理得， 解得． 即两船都在相背而行时，在航行小时时两船相距100千米． 综上所述，两船从出发在航行1个小时和小时都恰好相距100千米． 类型十一、数轴上动点问题 例11．在一条光滑的轨道上，滑块，可在轨道上进行无摩擦的滑动，，分别从点，同时出发，以相同的速度相向运动．沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，，两点表示的数分别为，，且，b满足． (1)则______，______； (2)若，的速度均为个单位/秒，运动时间为（秒）．，滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来速度的和原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距个单位长度？（不考虑滑块的尺寸大小） (3)拓展应用： 已知数轴上两点，对应的数分别是，，，，为数轴上三个动点，点从点出发速度为每秒个单位，点从点出发速度为点的倍，点从原点出发速度为每秒个单位．若点，，同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ 【答案】(1)； (2)经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度 (3)或秒时，点到点，的距离相等 【分析】本题考查了数轴、绝对值、解一元一次方程，关键是注意分类讨论． （1）根据，，可得、； （2）分类讨论：当未碰撞时，两滑块在轨道上相距个单位长度，可得，解得，当碰撞时，，可得相撞时，，在数轴上，当碰撞后，可得，综合以上即可解得； （3）分类讨论：当点还未追上点时，可得，当点追上点时，可得，即可解得． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：还未碰撞时，， 解得：， ， 解得：， 相撞时，，在数轴上处； 碰撞后，的速度为个单位秒，的速度为个单位秒， ， 解得：， ， 经过或秒，两滑块在轨道上相距个单位长度； （3）解：当点还未追上点时， ， 解得：， 当点追上点时， ， 解得：， 或秒时，点到点，的距离相等． 变式11-1．综合与实践 【项目背景】 华罗庚说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．“数形结合”一词，指的是通过代数与图形相互结合、相互转化、相辅相成来解决数学问题，它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学探索研究常用的好方法．数轴是我们学习数学的一个重要工具，利用数轴可以很好地将数与形结合起来． 【问题分析】 如图，若数轴上，两点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，例如，，，则． 【综合运用】 如图，，两点在数轴上对应数分别为，12，甲、乙分别从，处同时出发，甲的速度为1个单位长度/秒，乙的速度为3个单位长度/秒，设运动的时间为秒． (1)_____． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为，求点表示的数及此时的值． (3)如果甲、乙都向左运动，当为何值时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度？ 【答案】(1)20 (2)，5 (3)或， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了20个单位的路程列方程求解即可； （3）先表示出t秒时，甲、乙在数轴上表示的数，然后根据两点间的距离公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应数分别为，12， ∴， 故答案为：20； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴点P表示的数为； （3）解：t秒时，甲在数轴上表示的数为，乙在数轴上表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 即当或时，甲、乙之间恰好相距5个单位长度． 变式11-2．已知点A、点B在数轴上分别对应有理数a、b，其中a、b满足． (1)____________，____________； (2)如图，点C在点A、点B之间（点C不与A、B重合），现有一个小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点，又经过四秒之后到达的中点，试求点C所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，动点P从B点出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，当点P运动到点A之后立即以原速沿数轴向左运动．动点P从B点出发的同时，动点Q从C点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，动点M也从A点出发沿数轴以每秒3个单位的速度向左运动．设运动的时间为t秒，是否存在正数k使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的正数k，并把其中一个正数k的求解过程写出来． 【答案】(1)16； (2)10 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质得到，则； （2）由（1）得点A表示的数为16，点B表示的数为，则；设的中点分别为E、D，可证明，则小球的运动速度为个单位长度/秒，进而可求出，则点C表示的数为； （3）先求出点P运动4秒后到达点B，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，两种情况可求出，再根据t的范围去绝对值，结合是定值，即的值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：16；； （2）解：由（1）得点A表示的数为16，点B表示的数为， ∴； 如图所示，设的中点分别为E、D， ∴， ∴， ∵经过四秒小球从点E运动到点D， ∴小球的运动速度为个单位长度/秒， ∵小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点E， ∴， ∴， ∴点C表示的数为； （3）解：秒， ∴点P运动4秒后到达点B， 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，， 当时， ，， ∴ ， ∵k为正数， ∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意； 当时， ，， ∴ ， ∴当时，的值是定值， ∴； 当时， ，， ∴ ， ∵k为正数， ∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， ∴，， 当时， ∴， ， ∴当时，的值是定值， ∴； 当时， ∴， ， ∵k为正数， ∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，非负数的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 变式11-3．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点表示的数为，点表示的数为，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点表示的数减去左边点表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点表示的数为． 【简单应用】如图1，点在数轴上所对应的数为，点表示的数为2，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离______，A、B两点的中点表示的数为_____． （2）若A、P两点间的距离，则点表示的数为_____． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为秒． （3）用含的式子填空：点运动秒后所在位置的点表示的数为_____； 点运动秒后所在位置的点表示的数为_____； 此时A、B两点的中点表示的数为_____． （4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距4个单位长度． 【答案】（1）5，；（2）或0；（3），，；（4）秒或秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为2， ∴， 点M在数轴上所对应的数为． 故答案为：5，； （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：， ∴P点表示的数为或0， 故答案为：或0； （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，，； （4）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距4个单位长度， 当点A在点B左侧时： 解得； 当点A在点B右侧时： 解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距4个单位长度． 1．如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（   ） A．或 B．或1 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图． 因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8， 又因为， 所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为， 所以，，， 所以，，． 所以当时，，此时； 当时，，此时． 综上可知的值为或． 故选A． 2．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（    ）次 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： 当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有： 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有： 解得． 综上所述，两车恰好相距的次数为5次． 故选：A． 3．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为，运动过程如下：第次从起点出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点；第次从出发以的速度运动到记录点，到达后停止．若机器人的运动速度不超过，记录点恰好为终点，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由机器人的运动速度不超过，可得，再分别以点为终点，分别列出方程求出的值进行判断即可求解，运用分类讨论思想并正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：因为机器人的运动速度不超过， 所以，即， 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得，舍去； 若恰好为终点，则， 解得， 或， 解得， 或， 解得，舍去； 综上所述，记录点恰好为终点时，的值为或或． 4．某家具厂有名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工个桌面或个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 【答案】应分配人生产桌面，人生产桌腿． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配人生产桌面，则人生产桌腿， 由题意得，， 解得， ， 答：应分配人生产桌面，人生产桌腿． 5．甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ (2)若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ (3)在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 【答案】(1)甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； (2)90秒； (3)400秒 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设甲车的速度为x米/秒，乙车的速度为y米/秒，由题意得等量关系：①甲车速度乙车速度米；②甲车9秒行驶的路程乙车9秒行驶的路程，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设需要a秒，由题意得：甲车a秒的路程乙车a秒的路程，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得等量关系：甲车与乙车速度差乘以b秒的路程乙车100秒的路程乙车车身长，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为米/秒，乙车的速度为米/秒， 由题意得： 解得：2， ∴乙车的速度为：（米/秒） 答：甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； （2）解：设需要a秒， 由题意得：， 解得：， 答：需要90秒； （3）解：设经过b秒甲车车头追上乙车车尾， 由题意得：， 解得：， 答：经过400秒甲车车头追上乙车车尾． 6．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价40元，售价60元；乙种商品每件进价50元，利润率为． 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 (1)若该商场同时购进甲、乙两种商品共60件，恰好总进价为2600元，求购进甲乙两种商品各多少件？ (2)在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如表的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款320元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)购进甲商品40件，乙商品20件 (2)小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，然后根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据利润率等于利润除以进价，直接算出乙的售价；设第一天购买乙种商品件，设第二天购买甲种商品件，然后分别列方程求得、，最后求和即可． 【详解】（1）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 由题意得，， 解得：， 则． 答：购进甲商品40件，乙商品20件． （2）解：设第一天购买乙种商品件， 依题意得，或， 解得或（舍去）， 所以第一天购买乙种商品4件． 元， 每件乙种商品售价为80元． 设第二天购买甲种商品件， 依题意得，或， 解得或9， 所以第二天购买甲种商品8或9件， 件或件． 答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共12或13件． 7．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式： 方式一：购买服装不超过45套时，每套60元； 方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元； 方式三：购买服装超过90套时，每套40元． 若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元． (1)A，B两团队各有多少人准备参加比赛？ (2)若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案． 【答案】(1)A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛， (2)两个团队一起买91套时最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛，先计算出，，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A团队由x人参加比赛，则B团队由人参加比赛， ∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人， ∴， 解得，，即甲队的人数范围是， ∴乙队人数范围是：， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛； （2）解：由题意得，A团队参加比赛的人数为人， 当两个团队单独买时的费用为元， 当两个团队一起买82套时的费用为元， 当两个团队一起买91套时的费用为元， ∵， ∴两个团队一起买91套时最省钱． 8．《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 9．我市居民生活用水实行阶梯式计量水价，实施细则如下表所示： 分档水量 年用水量 水价（元/吨） 第1级 180吨以下（含180吨） 5 第2级 吨（含260吨） 7 第3级 260吨以上 9 例：若某用户2020年的用水量为270吨，按三级计算则应交水费为：（元）． (1)如果小丽家2020年的用水量为200吨，求小丽家全年需缴水费多少元？ (2)如果小明家2020年的用水量为a吨，求小明家全年应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化简） (3)如果全年缴水费2000元，则该年的用水量为多少吨？ 【答案】(1)小丽家全年需缴水费1040元 (2)小明家全年应缴水费元 (3)该年的用水量为320吨 【分析】（1）根据水价要按两级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加； （2）根据水价要按三级计算，用每一级的价格乘以每一级的用水量，再把所得的结果相加，最后进行化简即可． （3）先得出全年缴水费2000元，用水量大于260吨，由题意列出方程，进行求解． 此题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， ∴小丽家全年需缴水费1040元； （2）根据题意得：（元）， 答：小明家全年应缴水费元； （3）解：∵用水量为260吨，需缴水费：（元）， ∴全年缴水费2000元，用水量大于260吨， 设该年的用水量为x吨， 根据题意可得：， 解得：， ∴该年的用水量为320吨． 10．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 11．我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为MN的中点； (3)如图3，三个定点P、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程） 【答案】(1)2 (2)6 (3)或或10 【分析】对于（1），先分别表示两个点的运动路程为，再根据两点之间的距离列出方程，求出解即可； 对于（2），先分别表示出两个点的运动路程，即可表示对应的点，再根据中点定义列出方程，求出解； 对于（3），第一种情况：当点K与点H重合之前，分别表示表示出三个点在数轴上的数，分点M是中点和点K是中点两种情况列出方程，求解；第二种情况：当点M与点P重合之后，表示两个点对应的数，再根据点N是中点列出方程，求出解． 【详解】（1）点M，N对应的数是，，根据题意，得 ， 解得； （2）点M，N对应的数是，，根据题意，得 ， 解得． 所以，点N出发6秒后“”为的中点； （3）点M，N在返回之前，即，点M，N，K对应的数是， 当点M是中点时，， 解得； 当点K时中点时，， 解得． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动， 当点M与点P重合时，点N返回并于点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是， 当点N为中点时，， 解得， ∴． 所以或或10． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，中点的定义，一元一次方程的应用，根据中点的定义列出方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$