精品解析： 山西省晋中市寿阳县2024-2025学年九年级10月检测数学试题

2024年11月九年级数学检测试题（卷） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 2. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个平行四边形 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　） A 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 10. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数的图象经过点（），则的值为_______________． 12. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 13. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 15. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； （2）的坐标为 ； （3）四边形的面积为 ． 18. 如图，中，点D、E分别在边、上，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 20. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强 200 400 500 800 1000 受力面积 （1）根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值； （2）将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 21 综合与实践 神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为． （1）如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度； （2）若小亮从点开始以每秒速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，代数式否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 23. 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年11月九年级数学检测试题（卷） （时间120分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确答案的标号用2B铅笔填（涂）在答题卡内相应的位置上） 1. 反比例函数的图象位于（　　） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限即可． 【详解】解：由题意可得：反比例函数的系数， ∴反比例函数位于二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟知比例系数的符号与函数图象的关系，当，位于一、三象限；当，位于二、四象限． 2. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个正方形 D. 两个平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 5. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加后，能确定； B、添加后，仍不能确定； C、添加后，能确定； D、添加后，能确定． 故选：B． 6. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴+|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 根据反比例函数图象的特点得出点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为2， 点的横坐标为． 由函数图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方， 当时，的取值范围是或． 故选：A． 8. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，再由相似三角形的性质求得，进而求得． 【详解】解：如图， 、，且为边的中线， ，， 将沿边上的中线平移得到， ， ， ∴，即， 解得或（舍去）， ． 故选：B． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 9. 一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 10. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若反比例函数的图象经过点（），则的值为_______________． 【答案】2 【解析】 【详解】把点（-1，-2）的坐标代入得，，解得=2. 12. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 13. 如图，一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据三视图确定该几何体是圆柱体，再根据圆柱体的体积公式即可求解，理解简单几何体的三视图是解题的关键． 【详解】解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故答案为：． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案：． 15. 如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）无实数根 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）整理成一般式后，先提取公因式去因式分解，再解方程即可； （2）配方得到，即可得到此方程无实数根； （3）利用平方差公式因式分解，再解方程即可； （4）配方得到，再开平方求解即可． 小问1详解】 解： 整理得： ， 解得：，； 【小问2详解】 解： 配方得：， 故此方程无实数根； 【小问3详解】 解： ， 整理得： 解得：，； 【小问4详解】 解：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 17. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； （2）的坐标为 ； （3）四边形的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3）20 【解析】 【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键． （1）在网格中作出，连接即可得到； （2）根据点的位置写出的坐标即可． （3）根据网格的特点由四边形的面积为即可计算． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 点的坐标为， 故答案为：． 小问3详解】 四边形的面积为． 故答案为：20 18. 如图，在中，点D、E分别在边、上，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合得到； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴，即 ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若是轴上一点，且满足的面积是6，请求出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是； （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法． （1）将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式；将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作轴于，根据即可求出的长，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式是， 点在反比例函数的图象上， ， ， 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，则， ∵， ∴ 解得：， 点的坐标为或． 20. 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 桌面所受压强 200 400 500 800 1000 受力面积 （1）根据表中数据，求出桌画所受压强关于受力面积的函数表达式及的值； （2）将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最大压强为，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由． 【答案】（1）； （2）这种摆放方式不安全，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，由待定系数法可求得函数关系式，令，求出a的值即可； （2）算出S的值，即可求出P的值，比较就可得出答案． 【小问1详解】 解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设，将代入得： ， ， 将代入得：， ； 【小问2详解】 这种摆放方式不安全，理由如下： 由图可知， 将长方体放置于该水平玻璃桌面上， ． ， 这种摆放方式不安全． 21. 综合与实践 神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为． （1）如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度； （2）若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】（1）条幅的长度为； （2）经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键． （1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度； （2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， ， ， ，即， 解得， 条幅的长度为； 【小问2详解】 解：设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，， 当时，，即， 解得； 当时，，即， 解得， ∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似． 22. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②是定值 【解析】 【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可． （2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可； ②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可． （3）①根据定义，得，整理表示y即可． ②根据，变形得即，变形解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得， ∴矩形的周长为，面积为，不相等， ∴点不是“美好点”； ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得． 故答案为：不是；4． （2）①解：∵点是“美好点”（）， ∴， 解得， ∴点， 把代入解析式中，得， 解得； ②解：∵， ∴双曲线的解析式为， ∵点在上， 解得， 故点， 过点F作轴于点H，交的延长线于点G， 设，直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）①解：∵点是第一象限内的“美好点”． ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． ②解：是定值，且为．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 故是定值，且为． 【点睛】本题考查了矩形的周长和面积，点与象限，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键． 23. 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】（1）或（写出一个即可） （2）阴影部分的面积是 （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． （1）由，，可得，故，从而； （2）点H是中点，，，，再证，求出，根据三角形面积公式得阴影部分的面积即可； （3）分两种情况：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，求出，设，则， 再证明，即可求解；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，求得，得，，，故，根据，即可解答． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）； 【小问2详解】 ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； 【小问3详解】 ①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $