精品解析：四川省眉山市仁寿第二中学2024-2025学年高二上学期11月期中校际联考数学试题

仁寿县23级高二上学期期中校际联考 数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B对立 C 事件A与事件B相互独立 D. 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 6. 在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（ ） ①若，则； ②若三个向量两两共面，则向量共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A B. C. D. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 二、多选题（每小题6分，少选得3分，错选或不选得0分，共18分） 9. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率取值范围为 D. 斜率的取值范围为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4 B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D. 若事件A、B相互独立，，，则 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线互相垂直，则实数的值为________． 13. 如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN=______. 14. 已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______. 四、解答题（共77分） 15. 已知直线l经过点，且斜率为． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为，求直线m的方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点． （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面等腰梯形，其中，． （1）证明：平面平面． （2）若，求二面角的余弦值． 18. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常总结整理 不经常总结整理 合计 （1）根据图1、图2中的数据，补全表格； （2）求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数； （3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 19. 已知动直线过定点. （1）求的坐标： （2）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿县23级高二上学期期中校际联考 数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线斜率即可得解. 【详解】直线即，则直线的斜率，故其倾斜角为. 故选：C 2. 设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意中坐标的定义可得，由此可构造方程组求得，进而可得所求坐标. 【详解】由题意知：； 设向量在基底下的坐标为， 则， 即，，解得：， 向量在基底下的坐标为. 故选：C. 3. 设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可得倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解． 【详解】当时，方程为，直线的倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， ，且， ，即， 又，， 综上，倾斜角的范围是 故选：D． 4. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 事件A与事件B对立 C. 事件A与事件B相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断A，B；根据独立事件的概率公式可判断C；求出事件的概率可判断D. 【详解】对于A，B，事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”， 这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，A，B错误； 对于C，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个， 事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为, B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为, 事件包含的基本事件个数有1个，其概率为, 由于,故事件A与事件B相互独立，C正确； 对于D，事件包含的基本事件个数有朝上的点数为共4个， 故，D错误， 故选：C 5. 如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用点面距的向量公式，可得答案. 【详解】由题意建立空间直角坐标系，如下图： 则，，，， 取，，， 设平面法向量为，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：C. 6. 在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（ ） ①若，则； ②若三个向量两两共面，则向量共面； ③若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底； ④. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积、向量共面与向量基底的定义和性质，结合特殊向量法，逐一判断各命题即可得解. 【详解】对于①，设，与可以为任意向量，因为，， 此时，但不一定等于，所以①不正确， 对于②，例如在墙角处的三条交线对应的向量，，， 它们两两共面（两两垂直），但是向量，，不共面，所以②不正确， 对于③，假设，，共面， 则存在实数，使得， 即， 由为基底，所以，，不共面，则， 所以，，共面，不能构成空间的另一基底，③不正确， 对于④，， 而（为与的夹角）， 所以，④不正确， 故不正确的有：①②④，共4个. 故选：D. 7. 如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件，根据相互独立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根据对立事件及独立事件的概率公式计算可得. 【详解】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件， 该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求出. 8. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解. 【详解】解：由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 二、多选题（每小题6分，少选得3分，错选或不选得0分，共18分） 9. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 现有一组数据4，7，9，3，3，5，7，9，9，6，则这组数据的第30百分位数为4 B. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件 C. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为18 D. 若事件A、B相互独立，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据百分位数、对立事件、方差计算、相互独立事件的概率公式逐项判断. 【详解】对于A，将数据从小到大排列为3,3,4,5,6,7,7,9,9,9,因为 ，所以这组数据的第30百分位数为故A错误； 对于B，事件"至少两次中靶"与事件"至多一次中靶"不能同时发生且必有一个发生，是对立事件，故B正确； 对于C，若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故C正确； 对于D，因为事件A，B相互独立，所以 B相互独立， ，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知直线与直线互相垂直，则实数的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数. 【详解】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线垂直，满足题意； 当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当且时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为或， 故答案为: 或. 13. 如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是6，且二面角为，M为对角线AC靠近点A的三等分点，N为对角线DF的中点，则线段MN=______. 【答案】 【解析】 【分析】用表示,平方求模即可. 【详解】根据题意， 所以即为二面角的平面角，即， 因为为为对角线DF的中点， 所以, 又M为对角线AC靠近点A的三等分点， 则 所以, 所以 , 所以 . 所以所以线段 故答案为： 14. 已知甲、乙、丙三人投篮的命中率分别为0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响），则至多有一人命中的概率为______. 【答案】0.45## 【解析】 【分析】利用独立事件的乘法公式、对立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】甲、乙、丙各投篮一次（三人投篮互不影响）， 则没有人命中的概率为， 恰有一人命中的概率为， 所以至多有一人命中的概率为. 故答案为：0.45 四、解答题（共77分） 15. 已知直线l经过点，且斜率为． （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为，求直线m的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用点斜式，求直线l的方程； （2）设直线m的方程，利用点P到直线m的距离，求出未知系数. 【小问1详解】 直线l经过点，且斜率为， 则直线l的方程为，即. 【小问2详解】 直线m与l平行，设直线m的方程为， 由点P到直线m的距离为，，解得或， 所以直线m的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是中点． （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设为中点，连接，证明即可； （2）利用向量法求出两个平面的法向量，再利用平面与平面的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 设为中点，连接， 又分别是中点， 所以，， 又底面是正方形， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面平面，则平面. 小问2详解】 由题意知，以为原点，构建空间直角坐标系， 令，则， 所以， 所以， 令为平面的一个法向量，则， 令，即， 令为平面的一个法向量，则， 令，即， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，其中，． （1）证明：平面平面． （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，建系标点，利用空间向量可得，根据线面垂直的性质可得，即可证线面垂直； （2）根据题意分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】 过作，垂足为，则， 因为，则，且平面， 如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 若，由（1）可知：， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 18. 为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常总结整理 不经常总结整理 合计 （1）根据图1、图2中的数据，补全表格； （2）求图1中m的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数； （3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率. 【答案】（1）表格见详解 （2）；120 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中数据补全表格； （2）根据频率和为1求得，再结合百分位数的定义列式求解； （3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解. 【小问1详解】 数学成绩优秀的有人，不优秀的人人， 经常整理错题的有人， 不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人， 所以表格为 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 【小问2详解】 由题意可知每组频率依次为， 则，解得； 因，， 设第65百分位数为，可知， 则，解得， 所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120. 【小问3详解】 由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为，设为， “不经常总结整理错题” 的人数为，设为， 从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间，可知， 设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M，则，即， 所以. 19. 已知动直线过定点. （1）求的坐标： （2）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，当取得最小值时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）存在，且直线的方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程可化为，解方程组，可得出点的坐标； （2）设直线的截距式方程，代入定点，再分别表示的周长和面积，求解参数、即可； （3）由（1）直线的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可 【小问1详解】 解：直线的方程可化为， 由，解得，故直线过定点． 【小问2详解】 解：设直线l的方程为， 将代入得．① 由、，的周长为，面积为，得， 令，则， 所以，即，化简得，解得， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线的方程为，即满足条件． 【小问3详解】 解：由（1）可知直线l过定点，直线与轴、轴的正半轴分别交于、两点， 所以直线的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即． 【点睛】关键点点睛：解本题第（3）问的关键在于引入角，利用几何关系将、用含的三角函数式表示，再结合三角恒等变换结合三角函数的有界性来求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $