河北省唐县第一中学2024-2025学年高三上学期12月期末数学试题

高三数学考试 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在正四棱锥中，，二面角大小为，则该四棱锥的体积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ） A. 31 B. 30 C. 29 D. 28 5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（ ） A. 30 B. 36 C. 60 D. 72 6. 函数（，，）的部分图象如图，图象上的所有点向左平移个单位得到函数图象.若对任意的 都有，则图中的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.） 9.下列说法正确的是（    ） A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 10. 直线与圆相交M，N两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 最小值为3 C. 最小值为 D. 圆上到直线的距离为的点恰有三个，则 11.已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于点对称 C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是__________. 13.在△中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则__________；若，△的面积为，则当__________时，取最小值． 14.已知函数，，若关于的不等式有解， 则的最小值是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或步骤） 15.某社区对安全卫生进行问卷调查，请居民对社区安全卫生服务给出评价（问卷中设置仅有满意、不满意）.现随机抽取了90名居民，调查情况如下表： (1)利用分层抽样的方法从对安全卫生服务评价为不满意的居民中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中男、女居民各有1人的概率； (2)试通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异? 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 男居民 女居民 合计 满意 25 60 不满意 a 2a 合计 90 16.如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17.△的内角的对边分别为，，，已知． (1)若，，求△的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 18. 已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补. (1)求抛物线在点处的切线方程； (2)求的值； (3)若，求面积的最大值. 19.已知正项数列的前项和为，首项. (1)若，求数列的通项公式； (2)若函数，.正项数列满足：. （i）讨论单调性; （ii）证明：； （iii）证明：. 数学答案 1. B 2. C 3. C 4. C 5. C 6. A 7. B 8. B 9．AD 10. AC 11．AC 三填空 12． 13. 2 14. 15【详解】（1）由已知，解得， 所以列联表如下： 男 女 合计 满意 35 25 60 不满意 10 20 30 合计 45 45 90 用分层抽样抽取6人，则男居民应抽取2人，女居民应抽取4人， 所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率为； （2）由， 所以在犯错的概率不超过0.05的前提下， 可以认为男居民与女居民对社区安全卫生服务的评价有差异. 16.证明：因为为的中点，且， 所以在中，有，且， 又平面平面，且平面平面， 所以平面， 又平面，则， 由，得， 因为， 所以由勾股定理，得， 又平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 可得， 所以， 设平面的法向量为， 由，令，得，所以. 由（1）知，平面， 所以平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为 则，平面与平面夹角的余弦值为. 17.【详解】（1）因为，由余弦定理可得， 由正弦定理得， 又因为， 则有， 因，，则， 且，故． 由余弦定理，，代入得，， 因，则有，即得， 故的面积． （2）由正弦定理，可得，且， 代入化简得：． 因为钝角，故由，可得， 则，，即， 故的取值范围是 18【详解】（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为， 即，则， 则抛物线在P点的切线斜率为， 则切线方程为， 故切线方程为. （2）如图所示： 设，，将直线的方程代入， 得，所以，， 因为直线与倾斜角互补， 所以， 即， 所以， 即，所以. （3）由（1）（2）可知，，所以，， 则， 因为，所以，即， 又点到直线的距离为， 所以， 因为 ， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积最大值为. .19.（1）正项数列中，，，，当时，， 两式相减得，即， 而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）（i）令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增。 （ii）因为，即， 于是， 即，即， 当时，， 当时，因此， 所以 （iii）由已知，所以，得， 当时，，于是， 当时，， 又，所以，恒有，当时，， 由，得当时，， 则当时，， 从而 ， 于是， 所以. 第4页/共11页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$