第二章 函数及其性质综合测试卷-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

第二章 函数及其性质综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（2024·福建宁德·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 5．（5分）（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 6．（5分）（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）（2024·四川成都·二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 10．（6分）（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．函数有两个零点 11．（6分）（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·上海·三模）已知，，则 （用、表示）. 13．（5分）（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ． 14．（5分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2024·山东济南·三模）已知函数，且. (1)求的值; (2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明. 16．（15分）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 17．（15分）（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 18．（17分）（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围． 19．（17分）（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数及其性质综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得，解不等式得解. 【解答过程】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 2．（5分）（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【解答过程】对于A，为偶函数，故A错误； 对于B，设，所以 故在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，，故函数的单调增区间为和， 所以在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D. 3．（5分）（2024·安徽合肥·三模）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数奇偶性、在上的单调性、函数值的正负情况依次判断和排除ABC，即可得解. 【解答过程】由题定义域为关于原点对称，且， 故是奇函数，故A错； 当时，， 又是增函数，在上是增函数， 故在上是增函数，故BC错； 故选：D. 4．（5分）（2024·福建宁德·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数以及对数的单调性即可求解. 【解答过程】因为，所以，因为，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 5．（5分）（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件得到，，两式相比得到，又由和，得到，从而得到，即可求解. 【解答过程】由题知①，②， ①②两式相比得到， 所以③， 当时，由④，②④得到， 所以⑤， 由⑤④，得到， 解得. 故选：C. 6．（5分）（2024·四川资阳·二模）若定义在R上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据偶函数的性质，结合不等式特征构造新函数，利用新函数的单调性和奇偶性进行求解即可. 【解答过程】由，可得. 令，因为是偶函数，且在上单调递增，所以也是偶函数，且在上单调递增，从而，解得或. 故选：A. 7．（5分）（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题意可知函数是以4为周期的周期函数，且在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，逐一判断选项即可. 【解答过程】由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，即函数是奇函数， 由，得的图象关于直线对称， ，因此是以4为周期的周期函数，①正确； 对任意的，均有， 不妨设，则，即，因此在上单调递增， ，，②正确； 由函数是上的奇函数，在上单调递增，得函数在上单调递增， 在上单调递减，上单调递增，③错误； 由，在上单调递增，在上单调递减，得当时，，则有， 又函数是以4为周期的周期函数，因此不等式的解集为，④正确. 故选：C. 8．（5分）（2024·四川成都·二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令，方程可化为或有四个不同实数根，借助导数研究的单调性与最值，数形结合即可判断的取值范围． 【解答过程】设，则， 又， 所以，则或． ①当时，，求导得． 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减． 因为，所以． 又，当且时，； 当时，． ②当时，，， 根据以上信息，作出函数的大致图象如图所示．    观察图像可得：函数的图象与函数的图象仅有1个交点， 所以函数的图象与函数的图象有3个交点， 则，所以实数的取值范围为． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数，则正确的是（    ） A．的定义域为R B．是非奇非偶函数 C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为 【解题思路】利用函数的性质研究，可以判断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即可． 【解答过程】由可得：函数的定义域为R，故A正确； 由，结合定义域为R，可知是奇函数，故B错误； 由解得，，所以零点为，故C错误； 当时， ，取等号条件为，故D正确； 故选：AD. 10．（6分）（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．函数有两个零点 【解题思路】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【解答过程】函数定义域为，又， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故选项A正确； 因为函数的对称轴为，则函数关于直线对称，故选项B错误，选项C正确； 因为，所以函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 11．（6分）（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ） A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 【解题思路】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D. 【解答过程】对于A，因为， 所以，， 所以，故的最小正周期为4，A正确； 对于B，因为， 令，则， 所以， 由A可知，，故B正确； 对于C， 因为，① 令，则， 所以， 所以，② 由①②，所以，即，故为奇函数， 若函数是奇函数，则， 所以，即， 所以， 所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误； 对于D，因为为奇函数，且，所以， 又因为的最小正周期为4，所以， 因为 所以，， 所以 ， ， 以此类推， 所以，故D错误. 故选：AB. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2024·上海·三模）已知，，则 （用、表示）. 【解题思路】根据指对互化可得，再结合对数运算即可. 【解答过程】由，得， 又. 故答案为：. 13．（5分）（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 2499 ． 【解题思路】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解. 【解答过程】因为的图象关于点对称，所以， 则即， 又的图象关于直线对称，则， 所以，即， 可得，则是以4为周期的函数. 因为， 由，令，得， 所以，，， 所以 . 故答案为：2499. 14．（5分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【解答过程】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2024·山东济南·三模）已知函数，且. (1)求的值; (2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明. 【解题思路】（1）将代入函数求值即可； （2）利用单调性的定义判断即可. 【解答过程】（1）， （2）函数为增函数，证明如下： 设是上的任意两个实数，且， 则 当时，，， 从而，即， ∴函数在上为增函数. 16．（15分）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【解题思路】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【解答过程】（1）根据题意得， 当时，， 当时，， 故 （2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，，当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片． 17．（15分）（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【解题思路】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【解答过程】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 18．（17分）（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知是定义在[－2，2]上的函数，若满足且． (1)求的解析式； (2)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围． 【解题思路】（1）根据函数的奇偶性即可得，进而结合即可求解， （2）将问题转化为，进而根据函数的单调性的定义即可求解最值，或者利用对勾函数的单调性求解. 【解答过程】（1），且，所以为奇函数， 将代入可得，即，所以， 即，因为，所以，代入可得， 解得，故； ，函数为奇函数，满足，故． （2）只要，设，则， ∵，∴，∴，即， 故函数在[1，2]上单调递增，最小值为． 法一：在[1，2]上恒成立，只要， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故当时，，所以． 法二：，， 当时，，，解得，舍去； 当时，，，解得，因此， 综上所述：． 19．（17分）（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 【解题思路】（1）根据题意，令，即可求得； （2）令，得到，所以为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）化简不等式为，结合函数的单调性，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为函数对任意实数恒有成立， 令，则，所以. （2） 解：函数为上的减函数. 证明:令，则，所以，故为奇函数. 任取，且，则， 因为当时，，所以， 所以 ，即，所以是上的减函数. （3） 解：根据题意，可得， 由（2）知在上单调递减，所以， 即，可得， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$