精品解析： 安徽省蚌埠市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年第一学期九年级期中调研 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数（）的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点（ ） A. B. C. D. 3. 下列抛物线中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 下列两个三角形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个面积相等的三角形 6. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11. 如果6是x和4的比例中项，那么_____． 12. 如图所示，反比例函数图象上有一点，过点作轴垂线交轴于点，连，若，则______． 13. 若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为_________________． 14. 如图，矩形中，，．P为的中点，点Q在边上，过点Q作于点E，连接，若，则________． 15. 已知关于x的方程的根为，，关于x的方程的根为，，其中．则将，，，从小到大排列应为________． 16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图是是网格图形中的格点三角形． （1）图中的面积为________； （2）在所给格点图中，与相似且面积最大的格点三角形的斜边长是________． 三、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 17. 已知，求： （1）代数式的值； （2）若，求a的值． 18. 如图，在中，，是的平分线．在边上取一点E，连接，使得． （1）求证：； （2）作，交于点F，连接．求证：． 四、（本大题共3小题，每小题12分，满分36分） 19. 已知关于x的二次函数． （1）当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象写出x取何值时，； （3）求的面积． 21. 如图，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且，E，G分别是与，的交点，F，H分别是与，的交点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为菱形，且，，求的值． 五、（本题满分14分） 22. 如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． （1）求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； （2）设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期九年级期中调研 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 2. 若反比例函数（）的图象经过点，则这个函数的图象一定还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．也考查了利用待定系数法求出反比例函数的解析式．先利用待定系数法求出反比例函数比例系数k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． A、∵， ∴这个函数的图象一点经过； B、∵， ∴这个函数的图象一点不经过； C、∵， ∴这个函数的图象一点不经过； D、∵， ∴这个函数的图象一点不经过； 故选A． 3. 下列抛物线中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数的对称轴，开口方向，此题难度不大． 根据二次函数的二次项系数以及对称轴即可判断出函数的增减性． 【详解】解：A．∵二次函数开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小，故不符合题意； B．∵二次函数开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小，故不符合题意； C．∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故不符合题意； D．∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 4. 若点，，都在反比例函数的图像上，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，时，位于二四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大．理解图象增减性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴图象在二四象限， ∵， ∴； 故选：D 5. 下列两个三角形一定相似的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个面积相等的三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定即可得到答案． 【详解】解：两个直角三角形只可以确定一组角相等，无法判定相似，故选项A错误； 两个等腰三角形确定两边对应成比例，无法判定相似，故选项B错误； 两个等边三角形三个角对应相等，可以判定相似，故选项C正确； 两个面积相等的三角形，只能得到底和高积相等，无法判定相似，故选项D错误． 故选：C． 6. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 7. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 8. 已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 9. 如图，直线，直线分别交，，于点，，，直线分别交，，于点，，，直线与相交于点，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应线段列出比例式是解题的关键．由，，不妨设，，，再根据平行线分线段成比例定理可得，即可得解． 【详解】解：由，，不妨设，，， 故选：C． 10. 如图，直线与双曲线交于点，作轴于点．平移直线使其经过点，得到直线，与双曲线交于点，作轴于点．作轴，交直线于点，反比例函数的图象是一条经过点的双曲线．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，得，，确定直线的解析式为，联立，得，，设，得，继而得到，，可判断A；根据，，点、在双曲线上，推出，，可判断B；根据两点间距离求出，，可判断C；求出，，可判断D． 【详解】解：设， ∵直线与双曲线交于点， ∴， ∵轴， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， ∴，即， 解得：或（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵轴，交直线于点，设， ∴， ∵点在直线：和反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， A．∵，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； B．∵，， 又∵，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∴， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意； C．∵，，， ∴， ， ∴，该选项结论错误，故此选项符合题意； D．∵，，， ∴，， ∴，该选项结论正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，平移的性质，函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，两点间距离，等积变换等知识点．利用联立方程组求函数图象的交点坐标是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 11. 如果6是x和4的比例中项，那么_____． 【答案】9 【解析】 【分析】根据比例的基本性质知道，在比例里两个外项的积等于两个内项的积． 【详解】解：因为，在比例里两个外项的积等于两个内项的积， 所以，4x=6×6，       x=36÷4，       x=9， 故答案为：9． 【点睛】此题主要考查了比例的基本性质的应用． 12. 如图所示，反比例函数图象上有一点，过点作轴垂线交轴于点，连，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义及反比例函数的性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据反比例函数系数的几何意义得出，结合反比例函数图象在第二象限即可得答案． 【详解】解：∵，过点作轴垂线交轴于点，连， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为： 13. 若一条抛物线与图象的形状相同且开口向下，顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，根据抛物线与图象的形状相同且开口向下得到这条抛物线的二次项系数为，再根据顶点坐标即可得到对应的解析式． 【详解】解：∵一条抛物线与图象的形状相同且开口向下， ∴这条抛物线的二次项系数为， 又∵这条抛物线的顶点坐标为， ∴这条抛物线的解析式为， 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，．P为的中点，点Q在边上，过点Q作于点E，连接，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质及等腰三角形的性质，利用结合，证得，结合等腰三角形的三线合一得到是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故答案为：5 15. 已知关于x的方程的根为，，关于x的方程的根为，，其中．则将，，，从小到大排列应为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看作是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是、、、的横坐标， ∴， 故答案为：． 16. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图是是网格图形中的格点三角形． （1）图中的面积为________； （2）在所给格点图中，与相似且面积最大的格点三角形的斜边长是________． 【答案】 ①. 4 ②. 10 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的面积及相似三角形的判定，明确相似三角形的判定定理并运用数形结合思想是解题． （1）根据直角三角形面积计算方法求解即可； （2）根据的各边长得出与其相似的三角形的两直角边之比为，在的网格图形中可得出与相似的三角形的短直角边长为，在图中画出符合题意的最大三角形，从而其斜边长可得． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴； （2）∵在中，， ∴与相似的格点三角形的两直角边的比值为， 如图， ，， ∴ 又， ∴ 又 ∴，此时面积最大， 此时是所有与相似的格点三角形中．面积最大的三角形，． 故答案为：4；10． 三、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 17. 已知，求： （1）代数式的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）1 （2）18 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质、分式的求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，，，代入原式化简即可； （2）同（1）中设法，代入求出k的值，即可得出a的值． 【小问1详解】 解：设，则，，， ． 代数式的值为1． 【小问2详解】 同（1）中设法，则：， 解得：， 则， 的值为18． 18. 如图，在中，，是的平分线．在边上取一点E，连接，使得． （1）求证：； （2）作，交于点F，连接．求证：． 【答案】（1） 证明：（1）∵是的平分线， ∴， ∵，∴， ∴ ∴. （2） 证明：∵，是的平分线， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 同理，，， ∴，，为的中位线， 故， ∴. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义，等腰三角形性质得，即得； （2）根据三线合一性质可得，根据平行线的分线段性质得，，根据三角形中位线性质得，，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线分线段性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定，是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题12分，满分36分） 19. 已知关于x的二次函数． （1）当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点为 （2） 证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 对称轴为直线，顶点为， 【小问2详解】 略 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数的表达式； （2）根据图象写出x取何值时，； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式，求出A、B、C三点的坐标是解此题的关键． （1）先根据点A的横坐标是2，点B的纵坐标是，求出，，再利用待定系数法进行计算即可得出反比例函数的表达式； （2）由，，结合函数图象即可得出答案； （3）先求出点C的坐标，从而得出，再根据进行计算即可． 【小问1详解】 解：在中令，则；令，则， ∴， 将代入，得， 即反比例函数的表达式为. 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，， ∴由图象可得：当或时，； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且，E，G分别是与，的交点，F，H分别是与，的交点． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1） 证明：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∵，，． ∴． ∴． ∵， ∴． 又，， ∴． 又， ∴． ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，平行线分线段成比例，得到，进而推出，证明，得到，即可得证； （2）证明，推出，证明，推出，根据进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴，，即，． ∵， ∴． ∴， ∴， ，解得． 同理，． ∴， 同理解得． 故，即的值是． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，形式三角形的判定和性质，解题的关键是从复杂图形中找到特殊图形，证明三角形全等和相似． 五、（本题满分14分） 22. 如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． （1）求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； （2）设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）先求出抛物线①的顶点D坐标，设出顶点式，再将点A坐标代入，即可求出抛物线①的解析式；将抛物线②的解析式转化为顶点式，根据平移方式确定抛物线③的解析式； （2）结合（1）中结论，用含t的式子表示出和，即可求解． 【小问1详解】 解：长方形中，，为单位长度，点D，E分别是，的中点， ，，， 设抛物线①的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线①的解析式为， 抛物线②的解析式为，抛物线②向右平移得抛物线③， 抛物线③的解析式为； 【小问2详解】 解：设灯条移动了秒，则点M，N的横坐标为，点P，Q的横坐标为， ， 当时，， 当时，， ， 当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小， 当，即灯条运动了时，取最大值，最大值为； 当时，，， ， 当时，，， 当时，， 解得， 即运动时间时，， 的时长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $