周测19简单几何体的再认识- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

三，璃空题（春题共1个小题，每题石分，共10分？ 周测19简单几何体的再认识 7.如周所示，在上，下底面时皮边的比为1t2的三棱台中.过A,作AFC,C,过B作B,E C,C,连接EF,记平罪A,B,EF分三棱台两部分的体积为V,《三棱住AB,CFEC),V两深 (时间，40分钟分值，0分) 分耶么V,V, 一、单项选择整《本慧共4个小题，每题5分，共分，在每小酸给出的四个选项中，只有一随是箱 合题目要求的) 照1.已知△51B是国能50的个箱找面，C,D分别为母线5A:SB的中点，50=2，了，CD=2,则 期锥)的州崔积为 A.4r 且，42元 C.8a ,8,2a ,?,已知圆能的表雍积为2了年且它的侧雀花并摆是一个半偶，塘这个腾维的底面率拉为 衣三控PAC中，PA⊥平面A,PA=:AC=2AB=2写，AC⊥AB,附三棱维PAC外 接球的表面积为 A.3 43② C,35 .3,6 3,当Ch凳mn9)是中国古代算数中的一种儿何体，其结传特任是：产面 四，解答■（本赠共1个小题，共分，解答应写出文字说明，任明过程和高算步囊） 为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于在由平行的棱长的五面体，是一 身，（本小题满分8分） 在直三使桂ABCA,B:C中，ACm3.拟C■4.AA,=AH@:D是AB的中点， 个对称的，思体，心知→个当是底边长为后，感边宽为4，上棱长为2，高为 1)末三棱郁D-CB,的体积： 2,期它的表面积是 (2)求证：A平南(D站， A.21@ 且.21+24E 依长 C.24+24. D24+16,2+8 长 4.在三校前P-ABC中，AC⊥平面PAB,AB=AC一6，BP=2,区，∠ABP一'，别三校续 PAC外接球的表面积为 A.76x 且.128a C.144a D.I(Na 区 二，多项达择题《本墨其2个小题，每题分，具10分.在每小是给出的四个透项中，有多项是林合 题日要求的.全部这对得5分，部分慧对得2分，晴爆或多选得0分) .陀螺是中国见间量早的娱乐工具之一，也作龙罗，同南请称作一干乐”，主方叫售 “冰米《9”重“打老牛”传统古陀螺大我是木制或快创的侧调催形.观有一圆 锥形陀螺《如图所示，其面半径为8，将其散倒在一平面上，使则锥在民平直 内绕调锥属点S滚动，当圆组在平面内转同原位置时，属里本身价好流动了3 周，期 A测银的母线长为9 我周懂的表而积为36需 C朋带的侧角展开图扇感)的侧心角为和 .属维的体积为]名n 标在棱长为2的正方体A以D4,B(CD,中AC与BD交于O. A.AD1半雀C 品三旋级CC的体积为号 C,△C是角三角稻 D.三棱带C:-AC的四个所那是直角三角形 法择蓝答覆栏 量号 答案 同测1身膏单几何体的再认司 10,木小墨满分10分1 11.〔本小题满分12分) 《九章算术)中尼录的“美原“是效学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几村体，如用， 已知正三棱推S-ABC的高为4，底面边长为4，万. 在美降ABCDEF中，接面ABCD是边长为2的正方形，EFAB,EF-,EA-ED-FB= (1)求该正三棱锥的表而积： FC=1. (2)用平行下：面ABC的平面去靓该三传维，所得质南△A,B,C,的边长为35，已如点A, 1)E明，平而ADE⊥平面FC: 出，C,4,,C都在同一球面上，求该保的体积 《2)求四棱律C-ABFE的体积！. 国调测数学必修第二看好R△PoD中，PD-.0-×x- 11,解：(1)当a=2时，四边形ABCD为正方形， 则BD⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD, OD⊥PO,则PO= √- =22,则 所以BD⊥PA, 又AC∩PA=A,ACC平面PAC,PAC平 PO sin∠PAO= 2v PA ,则直线PA和平面ABC 面PAC 3 所以BD⊥平面PAC 2v② 所成的角的正孩植为 故当a=2时，BD⊥平面PAC 8.4 (2)设M是符合条件的BC边上的，点. 解析：由题意，在四梭锥P 因为PA⊥平面ABCD,DMC平面ABCD, ABCD中，侧枚PA⊥平面 所以DM⊥PA, ABCD. 又PM⊥DM,PA∩PM=P,PAC平面PAM. 可得PA⊥AD,PA⊥AB, PMC平面PAM. 所以△PAD,△PAB为直角三 所以DM⊥平面PAM, 角形： 因为AMC平面PAM, 文由四边形ABCD是矩形，所 所以DM⊥AM. 以AB⊥BC, 因此，M点应是以AD为克径的圆和BC边的一 结合PA⊥BC,PA∩AB=A,可得BC⊥平 个公共点. 面PAB, 文因为PBC平面PAB, 则半径r=AD ≥AB,即a≥4. 所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形， 所以a∈[4，十oo). 同理，△PCD也为直角三角形， 该四校锥的4个侧面中直角三角形的个数是4. 周测19简单几何体的再认识 9.证明：(1)D、E分别为PC、AC的中点， 1.D解析：如图： .DE∥PA, 因为CD=2,所以AB=4,则国锥 :DEC平面BDE,PA丈平面BDE, 底面半径r=2, PA∥平面BDE. (2)·'在三棱维P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB SA=√S0+0A7=√28+4=4 BC,D、E分别为PC,AC的中点， √2，即母线1=42， ∴PA⊥BE,AC⊥BE, 所以圆锥SO的侧面积S=rl= PA∩AC=A,∴BE⊥平面PAC 2×4v2π=8√2π.故选D. BEC平面ABC, 2.A解析：设国锥的底面半径为，母线长为，则展 ,,平而BDE平面PAC 10,解：(1)证明：在三棱柱ABC-A,B,C,中， 开所得半圃的半径为1，则2×2l=2πr,解得 ,CC1⊥平面ABC, 1=2r, .四边形A,ACC,为矩形， 所以r2十rl=3r2=27π，解得r=3.故选A. 又E,F分别为AC,A,C的中点， 3.B解析：设几何体为EF-ABCD,如图所示： .ACIEF. ,AB=BC,E为AC的中点， ∴.AC⊥BE,而BE∩EF=E,BEC平面BEF, EFC平而BEF, .AC⊥平面BEF (2)设EF为CD变于点H,,BG∥FH,BG≠ FH,则直线FG与平面BCD相交， 矩形ABCD的面积为6X4=24, 侧面为两个全等的等腰三角形△ABE、△CDF,两 个全等的等腰梯形ADFE、BCFE, 设点E,F在底面ABCD内的射影点分别为G,H, 过点G在平面ABCD内作GM⊥BC,连接EM,过 点H在平面ABCD内作HN⊥CD,连接FN, :FH⊥平面ABCD,HN,CDC平面ABCD, ,FHCD,FH⊥HN, :HN⊥CD,FH∩HN=H, ∴CD⊥平而FHN, ,FNC平面FHN, 周周测数学必修第二册BS ·68· ∴FN⊥CD,易知FH=2,HN=2, 因为BD⊥CO,又CC1⊥平面ABCD,BDC平面 梯形BCFE的高为EM=√EG+GM= ABCD. √2+2=2v2, 所以BD⊥CC1,CO∩CC1=C,CO,CC1C平面 1 COC1,所以BD⊥平面COC1, 所以S#ADE=S#考Fx=2(EF+BC)·EM= 因为C,OC平面COC1,所以BD⊥C,O,所以 82, △C,OB是直角三商形，故C错误： 在△CDF中，斜高为FN=√FH十HN= 因为C,C⊥平面ABCD,所以C,C⊥AB,C,C⊥ √2+2=2√2， AC,C,C⊥BC, 1 又AB⊥平面BC,C, 所以SAAE=Saw=2CD·FN=4v2, 且BC,C平面BC,C,所以AB⊥BC1,所以三棱锥 因此，该几何体的表而积为24+2X(4√2+8√2)= CABC的四个面都是直角三角形，故D正确：故 24+24√2.故选B. 选ABD 4.A解析：在△PAB中，：∠ABP=45,AB=6, 7.3：4 BP=2√2，由余弦定理可得PA=AB2十PB- 解析：设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下 2AB·PBcos.∠PBA=6+(2V2)-2X6X 底面的面积是4S,V。= 3h(S+45+25)= 22×号=20. 3 2 V 3sh.V,=sh心 Sh ∴PA=2√5，设E为△ABP外接国的圆心，剩 3 Sh-Sh 4 ,AP=x25-, PE2"ZABP方大 8.31x 解析：：PA⊥平面ABC,AC,ABC平面ABC, 2 .PA⊥AB,PA⊥AC,又AC⊥AB. 设O为外接球的球心，，AC⊥平面PAB,AC=6, ∴PA,AB,AC两两垂直， ∴*径R=0P-√PE+(合x0)-V丽， 可将三棱锥P-ABC补全为长 方体， ∴，三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR=76π ·三棱锥P-ABC的外接球，即为 故选A. 5.AB解析：对于A,设圆锥的母线长为1，以S为圆 长方体的外接球。 心，SA为半径的圆的面积为π， 令三棱锥P-ABC外接球半径 圆维的侧面积为πrl=3πl, 为R, 因为当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好 则满足(2R)2=PA+AB2+AC=31, 滚动了3周， .外接球表面积为4πR2=31π. 则πl=9πl,所以国雏的母线长为1=9，故A: 9.解：(1)图为AC=3,BC=4,AA,=AB=5, 正确： 所以AC+BC=AB,即AC⊥BC,又D是AB 对于B,圆雏的表面积3x×9十π×3=36x,故B 的中点， 正确： 对于C,圈锥的底面国周长为2πX3=6π，设國锥侧 面展开图（扇形）的间心角为arad, 期6m=9如，解得。=行即。=120，故C错误： x号x5=或 (2)证明：设B,C与BC,相交于点E,连接ED, 对于D,圈锥的高h=-r=√⑨-3=6√2， 所以国维的体积为V-了h一 3xX3X62= 18V2π，故D错误.故选AB. 6.ABD解析：图为AD,∥BC1, D AD丈平面BOC,BC,C平面 C BOC·所以AD∥平面BOC,, D 故A正确： 在△C1AB中，D为AB的中点，E为C,B的中点， 因为Vce,=VG,x= 3 所以AC1∥DE, 司×2X1X2-号B正痛 因为AC,正平面CDB,DEC平面CDB,, 所以AC1∥平面CDB: ·69· 答案全解全析 10.解：(1)证明：在美除ABCDEF中，分别取AD和 OS=4,.0)=1,0'B,=3, BC的中点O,M,连接EO,OM,MF, 则x+4=y2+3,且x一y=1或x十y=1,解 如图所示： 得x=3,y=4.即M0=3,MO'=4,∴.外接球的 半径R=5, 球的体积V=4πR_500r 3 3 模块综合检测 2 2(1-i) 则EO⊥AD,OM∥EF. 1.B解析：复数x千a+=1-i,则 在梯形EOMF中，EO)=FM=2√2，OM=2. x-i计=|1-2i川=√1+(-2)严=5，故选B. EF=6, 2.A解析：因为向量a,b不共线，且向量Aa十b与a 分别作OG,HM垂直于EF,垂足分别为G,H, 十2λb同方向，所以1·2入一1×1=0，且1>0，解得 易知∠GE0=∠HFM=T,故EB01FM. 2 ·所以实数入的值为之.故速八. 又EOLAD,所以EO⊥BC. 因为BC∩FM=M, 3.D解析：y=sin女-)+cos(2x-x)= 由线面垂直的判定定理可知，EO⊥平面FBC. 图为EOC平面EAD,所以平面ADE⊥平 3 1 面FBC, sinx-2cosx十cosx=sine+）通载的 (2)连接AF, 最大位为1，故A,C错误：又当工=云时，y 因为AB=2,EF=6,所以SAFE=4S△Aw, 所以VeAF=4VcA=4VFAm. 图为EO⊥AD,OM⊥AD,EO∩OM=O. sin(行+）-1心函数困象关于r=哥对称，故B 所以AD⊥平面EOMF,则GO⊥AD. 错误，D正确.故选D 因为GO I OM,AD∩OM=O. 4.C解析：由SA⊥SC,SA=SC=2v2,得AC=4, 所以GO⊥平面ABCD,且GO=2. .OA=OC=2,又S0⊥AC.可得S0=2 因为E距∥AB,所以V-吉G0·SA度 对于选项A,圈锥SO的侧面积为r1=π×2X 2√区=4√2π，故A正确： 吉×2x号×2x2- 对于选项B,当OB LAC时，△ABC的面积最大， 故四棱锥C-ABFE的体积为？. 此时S4Am=2X4X2=, 11.解：(1)记高为SO,垂足为O,则O为△ABC的中 则三技维SABC体叔的最大值为V-吉X4X2 心且∠SOB=90°， 故B正确： AB=AC=BC=43.BO= 43 sm60×2=4, 对于选项C,圜锥SO内切球的半径，就是△SAC ∴.SB=√SO+BO=4v2, 内切圆的率径：设为r,则号×4×2=司 (4+22+ ∴正三棱维侧面的斜高h=√(4V2)-(2√3)产 2W2)r,可得r=2(2-1),故C错误： 25, 对于选项D,AB=BC,∠ABC=90°，AC=4, 1 六S△an=Sae=S么m=2X1V3X2V5= .AB=BC=2V2. 415, 又SA=SB=2√瓦，∴.△SAB为等边三角形，则 ∴.正三棱锥S-ABC的表面积S=3XS△sm十 ∠SBA=60°. 将△SAB以AB为轴旋转到与△ABC共面，得 5m=3X4V厉+号×4，g×45sin60 到△S1AB, 12wW15+12w5. 则△S1AB为等边三角形，∠S1AB=60°， 如图，(SE+CE)n=S:C. (2),A,B CABC为正三棱 台，球心在直线SO上，设球 心为M,设MO=x,MO'=y, 记OS与△A,B,C,的交点为 O',则O'为△AB1C1的中心， A,B1=35,AB=43,月 周周测数学必修第二册BS ·70·