周测2正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动- 【蓝海启航·启航金卷周周测】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

6,已知△4BC内角A,君，C的对边分别为a.b,若mA=a!产mC,角下列说法正魂的是 周测2正弦定理与余弦定理的应用数学探究活动 〔时间0分中分值，70分) LA+B-号 B2A+C- C.a之b D.c>6 一、单项法择整《本题共‘个小题，每题5分，共0分，在每小整给出的西个法项中，只有一项是村 透择题酱题栏 合延日要求的 图号 2 4 1.设△AC的内角A,B,C的对边分划为g,b,若6=c+3一，止inA=2inC,则△A以 答案 的形状为 A悦角三角形 弘直角三角彩 C,纯角三角形 D,等银三角彩 三，填空题（本题共？个小题，每题5分，共10分】 柔知在△A度中，D在边AB上，CD平分∠AC,且∠ACB=三若=4，C=,a=1, 在△MBC中，内期A:B,C丙对的边分州是ab:已如-4一，2nB-3nC,刷之 61=2,则CD1= :A的值为 8.在△AC巾，内角A,B,C的对边分联为a,,r,若(a-&)si的A+csiA+B)=bmB,b=4, 华 e9 附边AC上的中线BD长度的量大值为 3.明末邓玉函以华的斯克斯1612华饭《三角法子为餐本，并采用厮善文若作《数学记录中军分内 四，解箐鼎（本是找3个小题，共即分，解答应写出文学说明，证明过程和演夏步骤） 客，缩译出中钱第一部三角学著作《大测.将欧训当时量额、最重数的三角学成彩分绍到中国， 9。(本小题黄分8分》 时中国三角学影响假大.在《大测》中规及料图人线，明对一个角而言的人个三角两数，因其可用 已知a,0,为△AC的内角A,B,C所制的边，向量丽=(nC十nB,sinB一nA》是 第一象限单拉圆中人条线长(n国中NP,NOH,BR,OS,R,NA,PQ)表示，面得名，若图中 (c-.g),且mn, OR-石，m∠Ra0-吾，周NA- 1)求C: sin a 2)若4-2，△AC的莲积为2百，且A心-2D店，求线段(CD的长 拟 A.-1 孔5-1 C.1+s D.1+5 都 1在△A离中，内角A.B,C的对边外别为8，b,且武一2花.店.期的取值范偶为【) A(2-5.+) B(2+5.+∞) C.0,2+) D.2-厚，2+原) 额板二，多项选择藏本腊共2个小题：每题5分：共0分，在每小盛给出的网个选项中，有多项是特合 题日要求的，全郎这对得5分，郎分这对得2分，情透或多进得0分〉 5,在△AC中，内角A,B:C所对的边分黑为w6(:则下列说弦正毫的是 A.a=beos C+ceos 我u+6十r6w十b一r小=3ub,且2AnB=对mC,期△ABC为等边三角形 C若n2A-m2B,属△AC是等限三角形 D.在△ABC中w-1,b■r,A=30.则使△4BC有内解的x的取值值围是(1,2) 翼南2：正就定理与余数见用的应用数学挥现仍动 10,(本小题满分10分) 1L,「本小题横分12分》 在△ABC中，内角A,B,C的对边分薄是a衣，且清足·从下列条件中任这一个补 重庆是我国著名的“火炉城市之一，如图，重庆某冠塘山庄()为吸引游客-滑备在门前两条小 充列题中并解决间题： 蓝01和B之闻修建一处号形花阅，使之有着类红~冰棋麻”悬的凉爽感，已用∠A0B一 条f,①1+m2A=2im2:82k-r=2*C:如+标=+ 号形花网的蓝长AB=2反，记写彩花圆的顶点为M,∠MB=∠MB1=,授∠0服M= (1D求nA的算 =1-把兰接心猫微围 0e(受). (1)将1.B用含有的关系式表示出来： (2)该山任准备在M点处修建嘴泉，为获取更好的观景钱野，如何设计0从，OB的长度，才使 得喷泉M与山庄？的距离最大？ (马第顶点) 这翼律漫计国 州风测数学必蜂第冈看B限(2)由sinC一3sinB及正弦定理,得c一3,又A 周测2 正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动 由余弦定理可得a{}一b}+c-bc-12,解得b= 1.B 解析: 2v2 6/2T 因为sinA-2sinC,由正弦定理得a=2c, 一_ 则6?-c*+a-ca-c+4c-2c{-3c, 7 7 则6十c-a”: 1 所以S△Aanc-be sinA- 9③ 所以△ABC为直角三角形.故选B. 7 2.C 解析:由CB-a.CA-b.|a|-1:4 10.解:(1)因为B=C,则cos(B一C)-1. 因为cos(B-C)cos A+cos2A-1+cos(B+ C).cosA 得/AB- 所以cosA+cos2A-1+cos(g-A)cosA. cosA+2cosA-1-1-cosAcosA. AC*+BC-2ACXBCXc08 ACB 整理得3cosA+cosA-2=0,又AE(0,x). -3. 解得cosA=-1(舍)或cosA= .BC (2)因为cos(B-C)cos A+cos2A=1+cos(B+ ③ C).cosA. 所以[cos(B-C)-cos(B+C)]cosA=1- 即C-123 cos2A. 一3故选C. 整理得2sinBsinCcosA-2sinA. 由正弦定理得2bccosA-2a. 3.C 解析:由题意得RO-5,OQ=1,所以QR= 由余弦定理得6*+c-a-2bccosA-2a, 6叶。: 5-I-2,所以cosa=sin QOR= 所以= --3. sin RAo 在△RAO中,由正弦定理及 11.解:(1)因为2acosB+/3b-2c. sina 2,得 所以由正弦定理可得2sinAcosB+3sinB= OR5 2sinC. #,所以RA一2. 又 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos AsinB. OR*+OA*-RA 由余弦定理知cos。= 所以3sinB-2cos AsinB. 2OR·OA $+OA-4.解得OA-2+3或OA-2-3(舍 又因为B为三角形内角,所以sinB-0, 2/5OA #2 sin A-v1-cosA-- 2 去), 因为a-2,c-23,由余弦定理可得2-b^{}+ 所以NA-OA-ON-1+3,故选C 4.D 解析:不妨设BC-2,BC的中 (2\3)-26×2v3 #,整可得6-6+8= 点为D,因为BC{-2AC·AB,即 0.解得b-4或b-2, 4-2(AD+DC).(AD+DB).故 AD+AD.(DC+DB)+DC. 所以△ABC的面积S--besinA-2v3或3. DB-2,即AD-1-2,所以AD-3. ③ 故AD+DB-2AD·DBCoS ADB (2)由(1)可得,cosA- 6* AD+DC-2AD·DCcos ADC 2. 由余弦定理得a^{}-b{+c-2bccosA,又a-2, 2-3cosADC 即4=b+c-3bc=(b+c):-(2+3)bc -一1,因为 2+3cosADC 2+3cosADC ADCE(0.),故2+3cosADCE(2-3. 2+3),则- 4 解得+c<42+③-2(+②),当且仅当 -(8-43,8+43) 2+3cos/ADC b一c时取等号, 所以周长a+b+c<2+2(+②). 所以△ABC周长的最大值为2+2(+2). ③.2+③). .23. 答案全解全析 5.ABD 解析:对于A,.sinA=sin(B+C)= sinBcosC+cosBsinC,..由正弦定理得,a= bcosC十ccosB,故A正确; 对于B,'(a+b+c)(a+b-c)-3ab,a+b- 解析:在△ABC中,.'b一c= c-ab. 又2sinB-3sinC,由正弦定理得,2b-3c②. +6b-ab1 由余弦定理得,cosC一 '由①②可得a-2c,b- 3c 2ab 2a62 2 b+c-a& 由余弦定理可得,cosA= 2bc _二 又'.'2cos Asin B=sin C-sin(A+B)=sin Acos B c} c-4c{ 十cos Asin B,.'. sin Acos B-cos Asin B-0 4 '.sin(A-B)=0..A,BE(0.).'A-B=0,即 3c.C 8.2/3 解析;.'(a-c)sinA+csin(A+B)-bsinB. 对于C,由sin2A=sin2B及A,B(0,π)得 2A-2B或2A+2B-π. ..asinA-csinA+csinC-bsinB. 由正弦定理得,a”十c-b一ac, '.A-B或A+B- 十-b 由余弦定理得,cosB一 1 2ac 直角三角形,故C错误; 2ac2 对于D.要使△ABC有两解,则需a<b<-a sin/A '.1<b2,即1<x 2,故D正确.故选ABD. .b-4,.'a+c-16+ac2ac..'ac 16(当且 6. BCD 解析:在△ABC 中,sinA=cos B= 仅当a一c时取等号). ·.BD为边AC上的中线, .BD-(BA+B). 错误; 1 2ac+4<寸×16+ 1 4-12. .BD-23. 9.解:(1)因为mIn. 所以(sinC+sinB)(c-b)十(sinB-sinA)a=0. 由正弦定理,得(c十b)(c一b)十(一a)a-0. ab,C正确; 即+b-c②-ab, 2ab 2B)-0 因为0C. 一sin 2B' 即 2sin Bcos B-cos 2B→2sin*B-2sinB- 2sinB+1-0. (2)由sac= 1 令1=sinBE(0.1).则f(t)=2t-2t-2t+1 -2/3. . 2 16(0.1). 则/'(t)-6 -4-2-2(3t+1)(t-1) 0,所以 解得一4. /(t)单调递减. 因为AD-2DB,刻C-1+2C. ##/()--# 1-1+1<0./(sinB)-0.所以 42 4 83 4X 148 ① 选BCD. 所以CD4v3 3 B版 周周测 数学 必修第四册 ·2. #ABsin(_e) 10.解:(1)选条件①:因为1+cos2A-2sin 2vV2sin(π+o) 则 OB= n} 所以2cos{}A+cosA-1-0.即(2cos A-1)(cos /A+ 1-0. 1 解得cosA=-1或cosA= 4sin(+9). 2. 因为A(0,). (2)在△ABM中, 所以cosA-,可得A-一 1 π .AM-BM-2. 在△OMB中,由余弦定理可知 选条件②:因为2-c-2acosC及正弦定理 OM=OB+BM-2OB·BMcos(6+) 所以2sin B-sinC-2sin AcosC. 又 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos AsinC. -16sin(5+9)+4-16sin(-+θ)cos(e+) 代入整理可得sinC(2cosA-1)-0. 又在△ABC中,sinC0. 1-co({+2) 所以cosA-- -16X_- 2+4-8sin(+20) 又因为A(0,). -8+8sin 20+4-8cos 26 所以A-:in- -12-+8、z:in(20). 2. 选条件③:因为a{+bc-b{}十c, #ee()A.20-(3) 所以cosA- #in( 0一)6#. 2hc 因为A(0,n). 3 2 2cos 2.rcos r (2)由题意可得f(x)一1- 12+82-2+22. sinr+cosz 2(cosx-sinx)cost 此时 OA=4sin 8-4sin -1- sinx十cosx -1-2cos{x+2sinxcosx -sin 2x-cos 2.r -2V2+2 -v2sin(2x-) oB-4sin(+6)-4sin(+3)-4:n5- 二 所以f(C)-、2sin(2c-). 4sin(4+)4#22. 即当OA-OB-22+2时,OM取得最大值 周测3 复数 # in(一)n(一#、# 1.A 解析:在复平面内,复数 (1十i)(1-ì) 2i 2i(1-) 一1 所以f(C)-2sin(2c-”)(-1v2]. 十i,复数所对应的点(1,1)位于第一象限,故 选A. 11.解:(1)在△OAB中, 由正弦定理可知n OA AB 2.D 解析:因为(1+i)·。-v2-2il-2. 1,则OA-4sin0. 22(1-) 则一- -1-i.故选D. 1i 2 由正弦定理可得OAB (2+i)(1-1 OB AB -2(2+i)i-2(2-1) 3.A 解析:- 1-2i 1-2i 1-2i 2.故选A. · 25. 答案全解全析