1.4 不等关系与不等式- 2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

1.4 不等关系与不等式 【题型1】 不等式性质的运用 【基础知识】 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则： ① （不等式两边同加同一数，不等号不改变方向） ②； （两个大数之和肯定大于两个小数之和，但不一定成立） (3) 乘法法则： ① （不等式两边同乘同一正数，不等号不改变方向） ② ；（不等式两边同乘同一正数，不等号不改变方向） (4) 倒数法则：； （注意，即是同号的） (5) 乘方法则：. （不要忽略了“大于”这一点） 【经典例题】 【例1】（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D 【例2】（2024·陕西商洛·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合不等式的性质分充分性、必要性两方面进行说明即可求解. 【详解】若  ，则，所以，充分性成立； 若，则，但不一定成立，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 【巩固练习】 1（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C. 【详解】对于ABD，取，满足， 显然，，，ABD错误； 对于C，，则，C正确. 故选：C 2（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【详解】 ，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 3（2025·全国·专练）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据不等式的性质求解 【详解】对于A. ，，则，成立 对于B.  ，，； 对于C. ，； 对于D. 若，则不成立 故选A. 4（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【详解】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 5（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合充分必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，取，则，即充分性不成立； 当时，有，则，故， 所以，即，即必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6（多选）（2024·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，当，，，时，，故C不正确； 对于D，因为，所以，又，所以.故D正确. 故选：ABD. 7（多选）（2024·湖北黄冈·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】选项ABD，利用不等式的性质计算即可，选项C，因为可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，不妨令，得，此时，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：ABD 【题型2】 比较大小 【基础知识】 比较大小 1 作差法(与的比较) 2 作商法(与比较) 【例】比较与的大小. 解析 ， . 【经典例题】 【例1】已知，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，不等式两边同时乘以，则，故B正确； 对于C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于D，因为 ， 因为，所以，，，故D正确. 故选：C. 【例2】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【巩固练习】 1（2025·全国·模拟预测）已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特值或不等式的性质可得答案. 【详解】对于A， ，而，A不成立； 对于B，，而，B不成立； 对于C，，因为，所以，，即，C不成立； 对于D，，因为，所以，即，D成立. 故选：D 2（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【详解】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 3（2025·全国·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【详解】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 4（2025·全国·模拟预测）已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作差可得A错误，D正确；，举反例可得B错误，由不等式的性质可得C错误； 【详解】对于A，， 因为，所以，所以，故A错误； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C错误； 对于D，， 因为，所以， 所以，故D正确； 故选：D. 5（多选）（2024·河南·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如：，满足， 但，所以A不正确； 对于B中，由， 因为，可得， 所以，所以，所以B正确； 对于C中，由，根据不等式的性质，可得， 所以，所以C正确； 对于D中，因为，可得， 则，所以，所以D正确. 故选：BCD. 6（多选）（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 7（多选）（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案. 【详解】且，则，， 则，A正确； 因为，，所以，B错误； 因为，，， 当时，，则；当时，，则，当时，，则，故C错误； 因为， 当且仅当时，等号成立，此时由可得，不符合， 所以不成立，故，即，D正确. 故选：AD 8（多选）（21-22高三·海南·阶段练习）若、、，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】BD 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若且，取，，则，A错； 对于B选项，若，则，B对； 对于C选项，若且，则， 则，故，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故，D对. 故选：BD. 9（多选）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B． C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断 ；举反例可判断；根据不等式性质可判断. 【详解】， ， ，故正确； ， ， ， 即，故正确； 取，则，故错误； 若，根据不等式性质，则，可得，故正确. 故选：. 【A组---基础题】 1（2025·全国·模拟预测）如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果． 【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误； 对于选项B，当时，a2＞b2＞c2错误； 对于选项C，当a=1，b=0，时，a+c＞2b错误； 对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 2（2025·全国·模拟预测）如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论． 【详解】解：由于，不妨令，，可得， ，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确． 故选：D． 3（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A，可以取，，，此时，所以A错误. 对于B：∵，∴，因为，所以，故B正确； 对于C：取，时，则，，，则，故C错误； 对于D：当，时，，，则，故D错误； 故选：B. 4（2025·全国·专练）“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足； 若时，取，此时且不成立，即充分性不成立； 则“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 5（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立； 当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立. 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳. 【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得， 则，故A正确； 对B，当时，，故B错误； 对C，因为，则，又因为，所以，故C正确； 对D，举例，则，而， 此时两者相等，故D错误. 故选：AC. 7（多选）（2025·全国·模拟预测）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】作差比较大小可以判断AD；作商比较大小可以判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 8（多选）（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用举反例和不等式得性质进行判断. 【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的. 因为根据不等式性质可得正确. 因为，所以所以即所以故C错误. 因为，所以， 所以正确. 故选：BD 9（多选）（2025·全国·模拟预测）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，，故C错误； 对选项D，因为，， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【B组---提高题】 1（2025·全国·模拟预测）已知、、是正数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】由， 因为、、是正数，则， 可得等价于，等价于， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 2（2025·全国·专练）是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得. 【详解】当时，可取、符合题意，但此时不能得到； 当时，有，，即成立； 故是的必要非充分条件. 故选：B. 3（2025·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可. 【详解】解：选项A中，由于，所以成立；故A正确； 选项B中，，，与大小不能确定，故B错误； 选项C中，由于，故C错误； 选项D中，令，则，故D错误. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题. 4（2025·全国·模拟预测）记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则 . 【答案】9 【分析】设，可得，计算可得，可得结论. 【详解】设，因为，，均为正数，所以， 依题意，整理得， 所以，得 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到与的不等关系，将多变量问题转化为单变量问题. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 不等关系与不等式 【题型1】 不等式性质的运用 【基础知识】 不等式的性质 (1) 传递性：； (2) 加法法则： ① （不等式两边同加同一数，不等号不改变方向） ②； （两个大数之和肯定大于两个小数之和，但不一定成立） (3) 乘法法则： ① （不等式两边同乘同一正数，不等号不改变方向） ② ；（不等式两边同乘同一正数，不等号不改变方向） (4) 倒数法则：； （注意，即是同号的） (5) 乘方法则：. （不要忽略了“大于”这一点） 【经典例题】 【例1】（2024·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·陕西商洛·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习】 1（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3（2025·全国·专练）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 5（2023·山西临汾·模拟预测）若a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6（多选）（2024·江西·模拟预测）已知，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7（多选）（2024·湖北黄冈·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】 比较大小 【基础知识】 比较大小 1 作差法(与的比较) 2 作商法(与比较) 【例】比较与的大小. 解析 ， . 【经典例题】 【例1】已知，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【巩固练习】 1（2025·全国·模拟预测）已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3（2025·全国·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 4（2025·全国·模拟预测）已知实数，，满足，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 5（多选）（2024·河南·模拟预测）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 6（多选）（23-24高一下·浙江·期中）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 7（多选）（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8（多选）（21-22高三·海南·阶段练习）若、、，则下列命题正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若且，则 D． 9（多选）（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）下列命题中真命题的是（   ） A．若，则 B． C．若，，则 D．若，则 【A组---基础题】 1（2025·全国·模拟预测）如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·全国·模拟预测）如果，那么下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4（2025·全国·专练）“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 5（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7（多选）（2025·全国·模拟预测）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8（多选）（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9（多选）（2025·全国·模拟预测）对于实数，，，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【B组---提高题】 1（2025·全国·模拟预测）已知、、是正数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（2025·全国·专练）是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 3（2025·福建泉州·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 4（2025·全国·模拟预测）记实数中的最大数为，最小为，若，，均为正数，则 . 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$