1.3 常用逻辑用语 -2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

1.3 常用逻辑用语 【题型1】充分条件与必要条件 【基础知识】 1概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. 2 判断充分条件或必要条件的方法 是的______条件(填写是否充分、必要) (1) 定义法 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 【例1】帅哥是男人的____________条件. 解析 从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分； 从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要. (2)集合法 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 【例1】帅哥是男人的____________条件. 解析 设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件. 【经典例题】 【例1】（2022·山东烟台·一模）设，则“且”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习】 1（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2（2024·天津滨海新·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 3（2024·天津·三模）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4（2024·天津北辰·三模）对于实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7（2024·四川自贡·一模）“”是“关于的方程有两个不等实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 9（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 10“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【题型2】全称量词与存在量词 【基础知识】 1 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. 2存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. 3否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 【例】 的否定是 ，并判断他们的真假性. 解析 . 是真命题，是假命题. 【经典例题】 【例1】（2024·广东中山·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【例2】 （2025·河北·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【例3】若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【巩固练习】 1 （2024·湖北·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 2已知命题，；命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 3已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是假命题 B．和的否定都是假命题 C．的否定和都是假命题 D．的否定和的否定都是假命题 4已知命题，命题.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 5设有下面四个命题： 是质数；： ；. 其中真命题共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2024·河北·模拟预测）若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8若命题“”为真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 【题型3】 综合应用 【经典例题】 【例1】已知命题为真命题. (1)求实数的取值范围； (2)命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【巩固练习】 1已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 2（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 3已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【A组---基础题】 1（2024·吉林·模拟预测）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 2（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 4（2023·湖南岳阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 6下列四个命题中真命题是（   ） A．， B．， C．，使 D．， 7下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥.其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．④⑤ 8（多选）（2022·辽宁沈阳·二模）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 9（多选）命题，有，命题，使，则（   ） A．q是假命题 B．p是真命题 C．q是存在量词命题 D．p是全称量词命题 10（多选）下列说法正确的有（   ）． A．命题“，”是真命题 B．命题“若，则”是真命题 C．“”是“”的必要且不充分条件 D．设，则“且”的充分且不必要条件是“” 11（多选）下列说法中正确的有（    ） A．命题，则命题p的否定是 B．“”是“”的必要条件 C．若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 12已知集合，非空集合. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围. 【B组---提高题】 1（2024·四川绵阳·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2（2023·陕西商洛·模拟预测）设，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4“函数的定义域为R”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 常用逻辑用语 【题型1】充分条件与必要条件 【基础知识】 1概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. 2 判断充分条件或必要条件的方法 是的______条件(填写是否充分、必要) (1) 定义法 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. 【例1】帅哥是男人的____________条件. 解析 从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分； 从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要. (2)集合法 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 【例1】帅哥是男人的____________条件. 解析 设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件. 【经典例题】 【例1】（2022·山东烟台·一模）设，则“且”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若且，则，即充分性成立； 若，例如，满足， 但不满足且，即必要性不成立； 综上所述：“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【例2】 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，解得， 所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【巩固练习】 1（2023·上海宝山·一模）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（    ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数， 所以，“是偶数”“、都是偶数”， “是偶数”“、都是偶数”， 故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件. 故选：B. 2（2024·天津滨海新·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的概念推理即可． 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 3（2024·天津·三模）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用不等式性质，及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】取，满足，而， 反之，，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 4（2024·天津北辰·三模）对于实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分析可知，等价于且，再利用包含关系分析充分、必有条件. 【详解】因为，等价于且， 且是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 6（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以能推出，不能推出，则是的充分不必要条件. 故选：A 7（2024·四川自贡·一模）“”是“关于的方程有两个不等实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件以及判别式求得正确答案. 【详解】“关于的方程有两个不等实根”，则， 所以“”是“关于的方程有两个不等实根”的必要不充分条件. 故选：B 8（2024·天津和平·二模）若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，等价于，若所求必要条件对应的范围为，则，由此判断即可得到本题的答案． 【详解】不等式等价于， 使“”成立的一个必要不充分条件，对应的集合为，则是的真子集， 由此对照各项，可知只有A项符合题意． 故选：A． 9（2024·四川·一模）已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】当时，，此时，即可以推出， 若，所以，得到，所以推不出， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 10“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果. 【详解】当时，同号，显然有成立， 当时，两边平方得到， 即，所以，即， 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 【题型2】全称量词与存在量词 【基础知识】 1 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. 2存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. 3否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 【例】 的否定是 ，并判断他们的真假性. 解析 . 是真命题，是假命题. 【经典例题】 【例1】（2024·广东中山·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定即可得解. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：B. 【例2】 （2025·河北·模拟预测）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】分别判断两个命题的真假即可. 【详解】当时，，故命题为假命题，命题为真命题； 当时，，故命题为真命题，命题为假命题； 故和都是真命题. 故选:B 【例3】若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 【巩固练习】 1 （2024·湖北·一模）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C 2已知命题，；命题，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】A 【分析】先判断命题的真假，然后结合复合命题的真值表得出结论． 【详解】由绝对值的性质知命题是真命题，又时，，因此命题是真命题，所以只有A正确． 故选：A． 3已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是假命题 B．和的否定都是假命题 C．的否定和都是假命题 D．的否定和的否定都是假命题 【答案】B 【分析】先判断命题、的真假，可得到命题否定的真假. 【详解】当时，不成立，所以为假命题，故CD错误； 当时，成立，所以为真命题，即的否定为假命题，故A错误，B正确. 故选：B 4已知命题，命题.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】分别判断命题与命题的真假，利用命题和命题的否定真假相反即可判断、的真假，即可得结论. 【详解】对于p而言，取，则有，故p是假命题，是真命题， 对于q而言，取，则有，故q是真命题，是假命题， 所以，和q都是真命题， 故选：B 5设有下面四个命题： 是质数；： ；. 其中真命题共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据量词的意义，分别判断命题. 【详解】：当时，为质数，故是真命题； 当时，，故是假命题； 不存在，，故是假命题； 当时，，故是假命题. 故选：A 6若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即. 故选：A. 7（2024·河北·模拟预测）若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可. 【详解】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 8若命题“”为真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判别式大于等于，可求参数的取值范围. 【详解】因为命题“”为真命题， 所以即或， 故选：B. 9已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题为假命题，则在上无解，即与，函数图象没有交点，画出图象求出参数，命题为真命题，则，求出参数求交集即可. 【详解】命题为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点，      由图可知：或， 命题为真命题，则，解得， 综上所述：实数a的取值范围为. 故选：C 10已知命题p：，，q：，．若与均为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，若为假命题，则或，所以. 若为假命题，则，所以. 所以，若p与q均为假命题，则实数a的取值范围为. 故答案为： 【题型3】 综合应用 【经典例题】 【例1】已知命题为真命题. (1)求实数的取值范围； (2)命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，求解即可得出答案； （2）设，，根据已知得出，根据集合的包含关系列出不等式，即可得出答案. 【详解】（1）由命题是真命题， 可得，， 整理可得， 解得，所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 设，， 由是的必要不充分条件，可得， 所以有，解得. 【巩固练习】 1已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程解的情况、含有存在量词的命题的否定、充分条件和必要条件的定义分析运算即可得解. 【详解】解：∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， 即方程没有实数根， ∴ ∴，即命题：“，使”是假命题 等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求， ∴选项B正确. 故选：B. 2（2022·福建宁德·模拟预测）已知命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】, 【分析】将问题转化为是的充分不必要条件，即所表示的集合是命题所表示集合的真子集，即可列不等式求解. 【详解】由，可得， 由于命题是命题的充分不必要条，故命题是命题的充分不必要条件， 故 所以（等号不能同时成立），可得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 3已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 【A组---基础题】 1（2024·吉林·模拟预测）已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 2（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解. 【详解】对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误； 对C：，故该命题为真命题，故C正确； 对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误. 故选：C. 4（2023·湖南岳阳·模拟预测）“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解一元一次不等式结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 5（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】的解集为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 6下列四个命题中真命题是（   ） A．， B．， C．，使 D．， 【答案】C 【分析】利用全称命题、特称命题的概念一一判定选项真假即可. 【详解】对于A，显然，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由，故D错误. 故选：C 7下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥.其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．④⑤ 【答案】B 【分析】对于①⑥，利用分析判断，对于②③④⑤举例判断即可. 【详解】对于①，因为时，，所以，所以①正确； 对于②，当时，，所以②错误； 对于③，，所以③正确； 对于④，，所以④错误； 对于⑤，当时，，所以⑤错误； 对于⑥，，所以⑥错误. 故选：B 8（多选）（2022·辽宁沈阳·二模）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案. 【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题； B：若时，充分性不成立，假命题； C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题； D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题. 故选：ABD 9（多选）命题，有，命题，使，则（   ） A．q是假命题 B．p是真命题 C．q是存在量词命题 D．p是全称量词命题 【答案】ACD 【分析】根据存在量词命题，全称量词命题的定义判断C，D项；根据解方程及有意义的条件即可判断A，通过举反例就可判断B． 【详解】A．因为，所以是假命题，A正确． B．若，则，解得，但需要满足，所以是假命题，B错误． C．中，，是存在量词命题，是全称量词命题，C正确． D．中，含有全称量词的命题是全称量词命题，D正确． 故选：ACD． 10（多选）下列说法正确的有（   ）． A．命题“，”是真命题 B．命题“若，则”是真命题 C．“”是“”的必要且不充分条件 D．设，则“且”的充分且不必要条件是“” 【答案】BC 【分析】根据不等式判断选项A错B对，根据前后推导关系判断命题充分必要性，从而判断选项C对D错； 【详解】对于A，因为所以命题“，”是假命题，错误； 对于B，若，则，所以命题“若，则”是真命题，正确; 对于C，不能判断出，可以判断出，所以“”是“”的必要不充分条件，正确; 对于D，不能得到且，但且可以得到，则“且”的必要不充分条件是“”，错误； 故选：BC. 11（多选）下列说法中正确的有（    ） A．命题，则命题p的否定是 B．“”是“”的必要条件 C．若命题“”是真命题，则a的取值范围为 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件，函数恒成立问题等逐项判断即可. 【详解】对于A，命题，则命题p的否定是，故A正确； 对于B，不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，，即， 即，故a的取值范围为，故C正确； 对于D，关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：ACD. 12已知集合，非空集合. (1)若，求的取值范围； (2)设，，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的结果列式求解即可. （2）利用必要不充分条件的定义，借助集合的包含关系列式求解. 【详解】（1）由，解得，则， 由，得，解得， 由，得或，解得或，因此或， 所以的取值范围为. （2）由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，而， 则，解得， 检验当和时均符合题意， 所以的取值范围为. 【B组---提高题】 1（2024·四川绵阳·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义分析判断即得. 【详解】，取，此时，而， 反之，若，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2（2023·陕西商洛·模拟预测）设，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义结合题意求解即可. 【详解】若，则，所以， 所以，所以是的充分条件； 若，不妨取，不满足， 所以不是的必要条件，故是的充分不必要条件． 故选：A. 3命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 4“函数的定义域为R”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由函数的定义域为R，即对任意恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以对任意恒成立， ①当时，对任意恒成立； ②当时，只需，解得：； 所以. 记集合，. 因为A⫋B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5有限集合中元素的个数记做，设，都为有限集合，给出下列命题： ①的充要条件是 ②的必要不充分条件是 ③⫋的充分不必要条件是 ④的充要条件是 其中，真命题有 .（填序号） 【答案】①② 【分析】根据集合间关系及运算的定义分别判断即可. 【详解】①若，则集合与无重复元素，则， 即是的充分条件， 若，则集合与无重复元素，， 即是的必要条件， 综上所述的充要条件是，①正确； ②若，即集合中所有元素均属于集合，此时， 即，所以是的充分条件， 即是的必要条件， 若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是的充分条件， 综上所述，的必要不充分条件是，②正确； ③若，无法判断集合中元素与集合的关系， 即不是⫋的充分条件，③错误； ④若，无法判断集合中元素与集合的关系，不能说明，④错误； 故答案为：①②. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$