1.2 集合的基本运算- 2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

1.2 集合的基本运算 【题型1】并集运算 【基础知识】 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 【例1】设集合，，那么等于 . 解析 由并集的定义可知，. 【例2】设集合，，判断正方形与的关系. 解析 正方形 【经典例题】 【例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·陕西榆林·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·湖南·模拟预测）已知，则为（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·浙江·三模）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 4（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】交集运算 【基础知识】 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【例1】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 【例2】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 【经典例题】 【例1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川南充·三模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·甘肃庆阳·一模）若集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2 设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 3（2025·四川巴中·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5（2022·广东茂名·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 【题型3】 补集运算 【基础知识】 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【例】已知全集，，则等于(　　) 解析 全集中除去集合A中元素剩下的元素是，则. 【经典例题】 【例1】（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·天津红桥·一模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知集合，则（  ） A． B． C． D． 3若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·青海西宁·二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【题型4】 集合综合运算 【基础知识】 运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【经典例题】 【例1】（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·广东江门·二模）已知集合，，，则集合的非空子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 2（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（2024·天津·二模）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·湖北·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·陕西商洛·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 4（2024·四川·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 5（2024·青海海西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6（2024·安徽淮北·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7（2024·江西新余·模拟预测）已知数集满足：，，若，则一定有：（    ）. A． B． C． D． 8（2023·天津和平·一模）已知全集，则中元素个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9（2024·陕西榆林·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 10（2024·贵州遵义·二模）已知集合，，若，则整数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 11(多选)（2024·全国·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12（2022·陕西榆林·模拟预测）设全集，集合，，则 ． 13（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 【B组---提高题】 1（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 4（2024·贵州·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合的基本运算 【题型1】并集运算 【基础知识】 并集 概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 记号 (读作:并) 符号 图形表示 【例1】设集合，，那么等于 . 解析 由并集的定义可知，. 【例2】设集合，，判断正方形与的关系. 解析 正方形 【经典例题】 【例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 【例2】（2023·陕西榆林·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，可得， 所以，又， 所以． 故选：A． 【巩固练习】 1（2024·湖南·模拟预测）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据并集运算即可求解. 【详解】由，得， 又集合，所以. 故选：D 2（2024·湖南·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的定义可得出答案. 【详解】因为，， 所以， 故选：C. 3（2024·浙江·三模）集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解集合中的不等式，解出的范围，再求得即可. 【详解】由，解得，即， ，. 故选：C. 4（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 【题型2】交集运算 【基础知识】 交集 概念 由属于集合且属于集合所有元素所组成的集合，称为集合与的交集. 记号 (读作:交) 符号 图形表示 注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞，要求满足(其中，)，那身高的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加. (2) 当集合和集合无公共元素时，不能说集合没有交集，而是． 【例1】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 【例2】设集合，，那么等于 . 解析 由交集的定义可知，. 【经典例题】 【例1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题先计算出B集合，再利用交集、并集运算规则即可得出结果. 【详解】由题得， 所以， 又， 所以． 故选：D． 【例2】（2024·四川南充·三模）已知集合，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算即可得解. 【详解】由，，， 可得，，，， 故选：C 【巩固练习】 1（2024·甘肃庆阳·一模）若集合，，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出集合的交集即可得出元素个数. 【详解】因为集合，， 所以，即集合中有2个元素. 故选：B 2 设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得方程有一个根是1，且2一定不是它的根，从而代入，解得，再解得，满足，从而可计算出结果. 【详解】因为，， 所以方程有一个根是1，且2一定不是它的根， 则，解得， 当时，方程的根是1和， 所以，满足， 即. 故选：A. 3（2025·四川巴中·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法表示集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 4（2024·广东广州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题，得，故，进而 ， 故选：A 5（2022·广东茂名·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再由交集运算可得. 【详解】由，， 则. 故选：B. 6（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据交集的定义得到答案. 【详解】根据集合交集的定义立得. 故选：A. 7（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知集合，且，则（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合. 【详解】因为，可知， 若，则， 此时，，不合题意； 若，则， 此时，，符合题意； 综上所述：，，则. 故ABC错误，D正确. 故选：D. 【题型3】 补集运算 【基础知识】 补集 概念 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集. 记号 (读作:的补集) 符号 图形表示 注 求集合的补集的前提是是全集的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同． 【例】已知全集，，则等于(　　) 解析 全集中除去集合A中元素剩下的元素是，则. 【经典例题】 【例1】（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 【例2】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 【巩固练习】 1（2024·天津红桥·一模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 故选：B. 2（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合补集的定义求出集合A，然后根据元素与集合的关系即可得解 【详解】， 又，所以， 所以，，，， 故选：A 3若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合间的基本运算可得. 【详解】由题意可知，，， 则，故. 故选：B. 4（2024·青海西宁·二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象知阴影部分表示的集合为，再根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】由图知，阴影部分表示的集合为， 又，所以或，又， 所以， 故选：B. 【题型4】 集合综合运算 【基础知识】 运算律 ① 交换律 ，； ② 结合律 ，； ③ 分配律 ，； ④ 德摩根律 ，. 【经典例题】 【例1】（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到，，，根据交集，并集和补集得到ABC错误，D正确. 【详解】，，故， 又，故，， A选项，由题意得交集，并集和，故A错误； B选项，由于，故，B错误； C选项，由于，故，C错误； D选项，由于，故，且， 又，故. 故选：D 【例2】（2023·江苏无锡·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 可得， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 【巩固练习】 1（2024·广东江门·二模）已知集合，，，则集合的非空子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】B 【分析】先化简集合，根据交集的概念确定集合中元素的个数，进而即可求得集合的非空子集个数. 【详解】因为，又， 所以，所以， 则集合的子集共有个，非空子集个， 故选：B 2（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以 ，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 3（2024·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集、并集和补集的定义求解即可. 【详解】对于A，由题意得，所以．故A正确； 对于B， ，，所以 ，故B错误； 对于C，， 或，故C错误； 对于D， 或， 或，故D错误. 故选：A. 4（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集运算求出，然后利用数轴分析可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以. 故选：A 【A组---基础题】 1（2024·天津·二模）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再求出即可. 【详解】因为，所以， 所以 ， 故选：A. 2（2024·湖北·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由并集交集的概念即可得解. 【详解】 由题意，对比选项可知只有C选项符合题意. 故选：C. 3（2024·陕西商洛·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由并集的概念即可求解. 【详解】由，得. 故选：A. 4（2024·四川·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集和并集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】由知， ，不同时在集合中，必在集合之一中， 集合中都不含0. 故选：D． 5（2024·青海海西·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得，将中的元素代入中，可求结. 【详解】由，将集合中的元素代入中， 可得. 故选：D 6（2024·安徽淮北·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】由集合， 可得，所以. 故选：B. 7（2024·江西新余·模拟预测）已知数集满足：，，若，则一定有：（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助交集与并集的性质推导即可得. 【详解】由，， 故、或、， 由，故，故C正确，D错误； 同理，、或，，故A、B错误. 故选：C. 8（2023·天津和平·一模）已知全集，则中元素个数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】利用列举法表示全集，可得到，从而得到集合，即可得解； 【详解】因为，， ∴，， ∴，中元素个数为4个， 故选：B． 9（2024·陕西榆林·二模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合知识逐项求解，从而可判断求解. 【详解】对A：依题意可得，故A错误； 对B：即为与的交点，即，解得或，即，故B错误； 对C：，故C正确. 对D：，故D错误； 故选：C. 10（2024·贵州遵义·二模）已知集合，，若，则整数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求出集合,再根据即可求解. 【详解】因为不等式或，解得或， 所以或， 因为，所以，解得，则整数的值为， 故选：A 11(多选)（2024·全国·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据根式的性质化简，即可根据集合的交并补定义，结合选项逐一求解. 【详解】，，选项错误； ，选项B错误； ，选项正确； ，选项D正确. 故选：CD 12（2022·陕西榆林·模拟预测）设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】由集合的交、补运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 故答案为： 13（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 【答案】2 【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明，再验证满足条件即可. 【详解】由于，而，故. 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，. 从而是整数，且，，，得. 当时，，，故，满足条件. 故答案为：. 【B组---提高题】 1（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析集合A可知或，结合并集和补集的定义与运算即可求解. 【详解】对于集合中的元素， 当，时，；当，时，， 所以或或， 故. 故选：B． 2（2024·江西·一模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，将集合用整倍数形式表示，分别求出和，利用集合的元素特征即可判断A正确；C错误；D错误；对于B，只需要举反例排除即可. 【详解】依题意，，，， 则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误； 因，即，故D错误； 对于B项，任取，因，则，故B错误． 故选：A． 3（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 4（2024·贵州·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先由得出；再求出集合A，结合集合的包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为， 所以. 又因为，， 所以，解得：， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$