1.1 集合的含义与表示、集合间的基本关系- 2025年高考数学艺考生总复习（新教材新高考）

1.1 集合的含义与表示 【题型1】集合的概念与常见数集 【基础知识】 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 3元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 4常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【经典例题】 【例1】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【巩固练习】 1已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 3若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 4（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 5（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【题型2】集合的表示方法 【基础知识】 1列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. Eg ：11之内的偶数：. 2 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【经典例题】 【例1】将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1 集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 5（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【题型3】集合间的基本关系 【基础知识】 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【经典例题】 【例1】（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【巩固练习】 1（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 3（2024·黑龙江·三模）已知集合 ，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 6（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【A组---基础题】 1下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2集合,等于（    ） A． B． C． D． 3（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 4（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 5已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 6（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 7（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 8（多选）下列说法错误的是（   ） A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B．方程的解集为 C．，且中的元素个数为0 D．若，则 9（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 10（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【B组---提高题】 1已知集合，，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 2已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 3集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 5设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的含义与表示、集合间的基本关系 【题型1】集合的概念与常见数集 【基础知识】 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 3元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 4常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【经典例题】 【例1】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 【巩固练习】 1已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合的表示方法，结合选项，列出方程，即可求解. 【详解】对于A中，令，解得，所以A错误； 对于B中，令，解得，所以B错误； 对于C中，令，解得，所以C错误， 对于D中，令，解得，所以D正确． 故选：D. 2已知集合，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据条件得到或或，再利用集合的互异性即可求出结果. 【详解】因为，所以或或， 当时，，不满足集合元素的互异性， 当时，得到或（舍），又时，，满足题意， 当，得到，此时，不满足集合元素的互异性， 故选：A. 3若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【答案】A 【分析】根据，分，，讨论求解. 【详解】因为， 当时，集合为，不成立； 当时，集合为，成立； 当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立； ∴或. 故选：A 4（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得. 【详解】由，得，则， 由，得，此时，符合题意； 或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意， 所以m可能取值的集合为. 故选：B 5（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 6（2024·上海宝山·二模）已知集合，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由集合，且，得或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，且，与集合元素的互异性矛盾， 所以实数的值为0. 故答案为： 【题型2】集合的表示方法 【基础知识】 1列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. Eg ：11之内的偶数：. 2 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【经典例题】 【例1】将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 【例2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据集合的定义与运算法则，进行计算即可. 【详解】由题意知，，， 当，时，， 当，时，， 所以， 所以集合中的元素个数为4. 故选：C. 【巩固练习】 1 集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 2集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可. 【详解】因为所以 又因为， 所以 故选：C. 3已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以． 故选：B． 4已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【详解】根据题意 ， 所以集合B中共有6个元素， 故选：C. 5（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用列举法表示集合A即可得出元素个数. 【详解】，共6个元素. 故选：C. 【题型3】集合间的基本关系 【基础知识】 子集 ① 概念 对于两个集合，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合是集合的子集().  记作：(或)，读作：包含于，或包含.  当集合不包含于集合时，记作(或). ② 图  真子集 概念：若集合，但存在元素且，则称集合是集合的真子集. 记作：(或)  (有些地方用或表示) 读作：真包含于(或真包含)  类比 与的关系就好比与小于的关系，是小于或等于，是真包含或相等； Eg：是对的，而是错的，若，则也成立； 对比下，是对的，但是错的，若，则也成立. 集合相等 如果是集合的子集，且集合是集合的子集，则集合与集合相等． 即 且. 几个结论 ① 空集是任何集合的子集：；  ② 空集是任何非空集合的真子集；  ③ 任何一个集合是它本身的子集；  ④ 对于集合，如果且，那么； ⑤ 集合中有个元素，则子集的个数为，真子集的个数为. 【经典例题】 【例1】（2024·陕西铜川·三模）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，结合图象列不等式即可求解. 【详解】因为， 所以, 所以由数轴得. 即的取值范围为. 故选：D.    【例2】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，若集合且，则的子集的个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】首先求集合中的元素，再根据集合的元素个数，代入公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，，，，， 所以集合，集合的子集的个数为个. 故选：C 【巩固练习】 1（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解. 【详解】集合，若， 则若，则满足题意； 若，且，则， 综上所述，实数的取值范围是. 故选： 2（2024·广东佛山·模拟预测）已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得. 【详解】由可得，由可得， 依题意，，故得. 故选：D. 3（2024·黑龙江·三模）已知集合 ，则满足的集合C的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用子集求解即可. 【详解】由题知 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素2，3，且可能含有元素1，4， 即集合的子集个数为个. 故选：C. 4（2024·重庆·三模）已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用子集的概念求解. 【详解】集合，集合， 若，又，所以，解得 故选：B 5（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 6（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【详解】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 【A组---基础题】 1下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各个符号表示的含义及元素与集合的关系逐个分析判断即可. 【详解】A.因为为有理数，所以，选项A正确， B.因为为无理数，所以是实数，所以，选项B错误， C.因为0不是正整数，所以，选项C错误， D.因为为无理数，所以，选项D错误. 故选：A 2集合,等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式即可求得集合中的元素． 【详解】由，可得，又， 所以集合, ． 故选：C． 3（2023·江西·模拟预测）已知实数集合，若， 则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可. 【详解】当，时，，或任意，（舍去）； 当，时，，，不成立， 所以，，. 故选：A. 4（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 5已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 6（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数. 【详解】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 7（2024·山西·三模）设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 8（多选）下列说法错误的是（   ） A．在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B．方程的解集为 C．，且中的元素个数为0 D．若，则 【答案】BD 【分析】由一三象限点的特征可得A正确；由方程的解可得B错误；由集合中的范围可得C正确；由集合的表述可得D错误； 【详解】对于A，第一象限内的点满足，，第三象限内的点满足，，故A正确； 对于B，方程的解为故解集为，故B错误； 对于C，由的范围可得，且中的元素个数为0，故C正确； 对于D项，，，故D错误； 故选：BD. 9（多选）（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，集合满足，则（    ） A．， B．集合可以为 C．集合的个数为7 D．集合的个数为8 【答案】AC 【分析】根据题意可确定C的元素情况，由此一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意得，，又. 所以，，故A正确； 当时，不满足，B错误， 集合的个数等价于集合的非空子集的个数， 所以集合的个数为，故C正确，D错误， 故选：AC. 10（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 【B组---提高题】 1已知集合，，则（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】由描述法表示的集合意义，利用因式分解可知既是27的倍数，又是111的倍数，可得结论. 【详解】根据题意可得集合表示的是27的倍数的集合，集合表示的是111的倍数的集合； 易知，可得既是27的倍数，又是111的倍数； 因此可得且. 故选：C 2已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合化简变形成统一形式，然后分析判断即可. 【详解】因为 ， 所以． 故选：B． 3集合或，，若，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 4（多选）（2024·河南·模拟预测）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．64 C．256 D．1024 【答案】AC 【分析】分别计算出、、时的的值，判断此时是否满足，再计算即可得解. 【详解】当时，由得，满足，所以； 当时，由得，满足，所以； 当时，由得，不满足； 综上，则或256. 故选：AC. 5设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 【答案】 【分析】利用非空集合子集的个数计算公式可求满足条件的的个数. 【详解】由题设可得， 这5组中的每一组中的元素必定同时出现在集合中， 故这样的非空集合的个数为， 故答案为： 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$