精品解析：重庆市南川区三校联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（B卷）

南川区“三校联盟”2024年秋期半期考试 九年级数学试题（B卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是， 故选：B． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】因为图A不是中心对称图形，所以A不符合题意； 因为图B是中心对称图形，所以B符合题意； 因为图C不是中心对称图形，所以C不符合题意； 因为图D不是中心对称图形，所以D不符合题意． 故选：B． 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不是整式方程，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； B、，含有两个未知数，并且未知数的最高次数不是二次，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，还是整式方程，故此方程是一元二次方程，符合题意； D、，未知数的最高次数不是2次，故此方程不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握此定义是解此题的关键． 4. 抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（ ） A. （3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的特点即可求解． 【详解】抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（-3，﹣1） 故选D． 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数y＝（x-h）2+k的顶点为（h，k）． 5. 已知关于x的一元二次方程mx2＋4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＞﹣4且m≠0 B. m＜4且m≠0 C. m＜﹣4 D. m＞4 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：mx2＋4x﹣1＝0， ∵a＝m，b＝4，c＝−1，方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2−4ac＝16＋4m＞0，且m≠0 ∴m＞﹣4且m≠0． 故选：A． 【点睛】考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 6. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口方向向上； B. 抛物线的对称轴是直线； C. 当时，y随x的增大而减小； D. 抛物线与y轴的交点坐标为． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是将二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的图像和性质． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的开口向下，抛物线的对称轴是直线，当时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C不符合题意； ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选项D符合题意． 故选：D． 7. 的整数部分为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先确定，进而得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5． 故选：C． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数图象综合判断，由选项中图象可判断a，b符号不同，分类讨论求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 当抛物线对称轴在y轴右侧时，， ，符号不同， 当，时，抛物线开口向上，直线上升，直线与轴交点在轴下方， 当，时，抛物线开口向下，直线下降，直线与轴交点在轴上方， 故选：B． 9. 有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，每次均旋转，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2024次旋转后得到的图形与图①-④中相同的是（ ） A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，图形的变化类，由于每经过4次旋转后两矩形重合，而，所以第2024次旋转后得到的图形与图④相同． 【详解】解：∵， ∴第2024次旋转后得到的图形与图④相同． 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴为直线，从而得出，，，即可判断①；根据二次函数与轴只有一个交点即可判断②；由即可判断③；由图象可得，当时，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象可得，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，首先根据任意不为的有理数的次幂为，可得：，根据绝对值的定义可知，再根据有理数的减法法则进行运算即可． 【详解】解： 故答案为： ． 12. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 13. 如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为____． 【答案】-2 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义进而分析得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴=2，m-2≠0， 解得：m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 14. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的倡导，某市年投入经费万元用于环境治理，年投入经费万元．设经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是用含的代数式把年投入的经费表示出来为，已知年投入经费万元，根据相等关系可列关于的方程． 【详解】解：设经费投入的年平均增长率为， 则年投入经费为万元， 年投入经费为万元， 已知年投入经费万元， 可列方程为． 故答案为： ． 15. 已知是抛物线上的两点，则的大小关系是____．（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为，判定在对称轴的右侧，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上与点关于对称的点的坐标为， ∴当时，随的增大而增大， ∵ ， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的位置关系是解题的关键． 16. 若直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，求三角形的面积， 先求出一元二次方程的两个根，再根据三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：， 解得， ∴这个直角三角形的两条直角边为3，4， ∴这个直角三角形的面积是． 故答案为：6． 17. 使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的方程有实数根的所有整数a的值之和为_____________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式组只有4个整数解得到a的取值范围，结合一元二次方程有实数根判别式大于或等于0求出取值范围求解即可得到答案； 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组只有4个整数解， ∴整数解为：3，2，1，0， ∴， 解得：， ∵于x的方程有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∵a是整数， ∴a的取值是：5，6，7，8，9， ∴，故答案为：； 【点睛】本题考查不等式组整数解问题及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有实数解判别式大于或等于0． 18. 一个四位数字，其中，若将A的个位数字放到千位数字之前，将得到一个新四位数．规定：，则_______；若为7的倍数，则满足条件的A的最小值为_______． 【答案】 ①. 776 ②. 1617 【解析】 【分析】根据即可求出；当千位数字a为1时，A才能最小，再根据是7的倍数求解即可；从题目中获取信息列出正确的代数式并化简是解题的关键． 【详解】解：由题意可得； ∵是7的倍数， ∴为7的倍数， 若A最小，a需要尽量小， 当a=1时，,此时b最小取6， ∵， ∴ ∴． 故答案为：776；1617； 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】（1）移项，直接开平方即可得到答案； （2）移项，系数化为1，配方，再直接开平方即可得到答案； 【小问1详解】 解：移项得， ， 即：， 两边开平方得， ， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得， ， 系数化为1得， ， 配方得， ， 两边开方得， ， ∴，； 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法并选择适当的解法求解． 20. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点和的坐标； （2）以为旋转中心，将旋转得，画出旋转后的图形并写出点和的坐标． 【答案】（1） 解：如图1，即为所求； ． （2） 解：如图2，即为所求； ． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，作中心对称图形，点的坐标．熟练掌握轴对称，中心对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，然后写坐标即可； （2）根据中心对称的性质作图，然后写坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，南川区某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用表示，共分成四组：组，组，组，组，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94，根据信息，解答下列问题： 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 100 方差 52 50.4 （1）上述图表中， ， ， ． （2）根据以上数据，你认为七、八年级哪个年级掌握的相关知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600人，八年级有1000人参与此次竞赛，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 【答案】（1）90,94,40 （2）八年级掌握的相关知识较好，理由见解析 （3）该校七八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有1660人 【解析】 【分析】（1）根据众数的概念求出答案，再结合八年级C组的人数求出所占百分比，进而求出m的值，然后根据中位数的定义得出答案； （2）根据平均数相同，再结合中位数解答； （3）先确定两个年级所占的百分比，再分别乘以总人数，并求和即可． 【小问1详解】 将七年级10名学生的竞赛成绩重新排列为：81,84,86,89，90,90,95,96,99,100， 90出现次数最多，所以众数为； 八年级学生的竞赛成绩C组有3人，所以C组占总数抽取人数的， 可知， 所以； 八年级学生竞赛成绩的中位数是第5个，第6个数的平均数，即为94，94的平均数， 所以中位数. 故答案为：90，94，40； 【小问2详解】 八年级掌握的相关知识较好，理由如下： 因为两个年级的平均数均为91，但八年级的中位数94大于七年级的中位数90，所以八年级掌握的相关知识较好； 【小问3详解】 . 答：该校七八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有1660人． 【点睛】本题主要考查了中位数，众数，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体的思想，求中位数时要将数据重新排列，按照从小到大或从大到小的顺序． 22. 如图，为矩形的对角线，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；保留作图痕迹，不写作法 （2）在(1)所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程 证明：∵四边形是矩形， ∴　 ① 　， ∴，． ∵平分， ∴　 ② 　， ∴　 ③ 　， ∴ 　④ 　， 又∵， ∴四边形是 　⑤ 　， 又∵， ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，直线即为所求；   （2）；；；；平行四边形 【解析】 【分析】（1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 某服装商场购进一批恤，每件进价40元，当销售单价为44元时，每天的销量是72件．在销售中发现该恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件．出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元且不得高于60元． （1）当商场每天销售这种恤获得350元的利润时，每件的销售单价是多少元？ （2）设该商场每天销售这种恤所获得的利润为元，将该恤销售单价定为多少元时，才能使商场销售该恤获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件产品的售价为45元时，每日销售利润为350元 （2）每件产品的售价为60元时，获利最大，最大为800元 【解析】 【分析】（1）设商场每件恤的销售单价是元，根据“商场每天销售这种恤获得350元的利润”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）根据题意求出关于的解析式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设商场每件恤的销售单价是元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ， ， 每件产品的销售价为45时该产品每日销售利润为350元； 【小问2详解】 解：由题意得：， ，， 当时，最大，此时， 每件产品的销售价为60元时，商场销售该恤获得最大，最大利润为800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程及求出二次函数解析式是解此题的关键． 24. 如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，延折线B－C－D运动，到达点D时停止运动，设点P的运动路程为x，由点A、B、P、D围成的图形的面积为y．请解答下列问题： （1）请直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象； （2）根据函数图象，写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】（1），图见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当点P在上，即，当点P在上，即，求出函数解析式画出函数图象即可； （2）根据函数的增减性和最值，得出答案即可； （3）根据函数图象，写出结果即可． 【小问1详解】 解：当点P在上，即时，； 当点P在上，即时，； 综上分析可知，， 函数图象，如图所示： 【小问2详解】 解：增减性：当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； 最值：该函数在自变量取值范围内有最大值和最小值． 当时，函数有最大值为12， 当和时函数有最小值为6； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当时，或． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，求函数解析式，解题的关键是理解题意，求出函数解析式． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，求时点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线的解析式，进行计算求出、的值，即可得到答案； （2）先计算出，，再利用待定系数法求出直线的解析式，令直线与抛物线的对称轴交于点，则，计算出，从而得到，求出，最后分情况代入的值，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图，设直线与抛物线的对称轴交于点， ， 当时，， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∵点是抛物线上一点， ∴当时，则， 解得：， ∴、， ∴时，则， 解得：， ∴、， 综上所述，符合题意的点有四个，其坐标分别为： 、、、． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 26. 在等边中，点为线段上一动点，连接，为直线上一动点． （1）如图1，当点为中点时，于点，点在线段上，连接．若，，，求的长； （2）如图2，若点为延长线上一点，且，点为延长线上一点，且．求证：； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识点，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由等边三角形的性质以及勾股定理先求解，再利用勾股定理可得答案； （2）在上截取，连接，证明，可得，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案； 【小问1详解】 解：如图所示，∵， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， 在中，， ∴． 【小问2详解】 证明：在上截取，连接，如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在利中 ， ∴， ∴，，， ∴． ∵， ∴， 在利中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南川区“三校联盟”2024年秋期半期考试 九年级数学试题（B卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（ ） A. （3，﹣1） B. （3，1） C. （﹣3，1） D. （﹣3，﹣1） 5. 已知关于x的一元二次方程mx2＋4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m＞﹣4且m≠0 B. m＜4且m≠0 C. m＜﹣4 D. m＞4 6. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是（　　） A. 抛物线的开口方向向上； B. 抛物线的对称轴是直线； C. 当时，y随x的增大而减小； D. 抛物线与y轴的交点坐标为． 7. 的整数部分为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) A. B. C. D. 9. 有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，每次均旋转，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第2024次旋转后得到的图形与图①-④中相同的是（ ） A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上．） 11. 计算：______． 12. 点关于原点的对称点的坐标为______． 13. 如果是关于x的一元二次方程，那么m的值为____． 14. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的倡导，某市年投入经费万元用于环境治理，年投入经费万元．设经费投入的年平均增长率为，根据题意可列方程为______． 15. 已知是抛物线上的两点，则的大小关系是____．（用“”、“”或“”填空） 16. 若直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的面积是______． 17. 使得关于x的不等式组有且只有4个整数解，且关于x的方程有实数根的所有整数a的值之和为_____________ . 18. 一个四位数字，其中，若将A的个位数字放到千位数字之前，将得到一个新四位数．规定：，则_______；若为7的倍数，则满足条件的A的最小值为_______． 三、解答题：（本大题共8小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点和的坐标； （2）以为旋转中心，将旋转得，画出旋转后的图形并写出点和的坐标． 21. 电信诈骗，严重危害着人民群众的财产安全，为提高大家的防范意识，南川区某校举行了主题为“防电信诈骗，保财产安全”的知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理描述和分析，成绩得分用表示，共分成四组：组，组，组，组，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，90，86，99，95，100，89，90，81，96，八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：90，94，94，根据信息，解答下列问题： 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 91 91 中位数 90 众数 100 方差 52 50.4 （1）上述图表中， ， ， ． （2）根据以上数据，你认为七、八年级哪个年级掌握的相关知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1600人，八年级有1000人参与此次竞赛，请估计该校七、八两个年级对防电信诈骗意识较强的学生一共有多少人？ 22. 如图，为矩形的对角线，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；保留作图痕迹，不写作法 （2）在(1)所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程 证明：∵四边形是矩形， ∴　 ① 　， ∴，． ∵平分， ∴　 ② 　， ∴　 ③ 　， ∴ 　④ 　， 又∵， ∴四边形是 　⑤ 　， 又∵， ∴四边形是菱形． 23. 某服装商场购进一批恤，每件进价40元，当销售单价为44元时，每天的销量是72件．在销售中发现该恤销售单价每上涨1元时，销售量将减少2件．出于营销考虑，要求每件售价不得低于40元且不得高于60元． （1）当商场每天销售这种恤获得350元的利润时，每件的销售单价是多少元？ （2）设该商场每天销售这种恤所获得的利润为元，将该恤销售单价定为多少元时，才能使商场销售该恤获利最大？最大利润是多少？ 24. 如图1，在矩形中，，，动点P从点B出发，延折线B－C－D运动，到达点D时停止运动，设点P的运动路程为x，由点A、B、P、D围成的图形的面积为y．请解答下列问题： （1）请直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围，并在图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象； （2）根据函数图象，写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，求时点的坐标． 26. 在等边中，点为线段上一动点，连接，为直线上一动点． （1）如图1，当点为中点时，于点，点在线段上，连接．若，，，求的长； （2）如图2，若点为延长线上一点，且，点为延长线上一点，且．求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $