专题04 二次根式【九大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题04 二次根式 1 二次根式的定义 我们把形如的式子叫做根式；叫做被开方数；叫做二次根式. 2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于， 即要使得有意义，则。 3 二次根式的性质 （1）双重非负性：中，； （2）； （3）. 4 二次根式的乘除 4.1 二次根式的乘法 。 4.2 二次根式的除法 。 4.3 二次根式的乘方法则 。 5 最简二次根式 ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式. 【例】、是最简二次根式，、是最简二次根式. 6 分母有理化 若分数的分母是无理数，把其化为有理数的过程叫做分母有理化. 【例】，. 7 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方后乘除再加减，同级运算从左到右. 【题型1】 二次根式有意义的条件 【典题1】 （2024·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【巩固练习】 1.（2020·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2.（2023·海南海口·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2】二次根式的非负性 【典题1】 （2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 【巩固练习】 1.（2024·云南昭通·一模）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 2.（2024·重庆·一模）已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为 ． 【题型3】二次根式性质的应用 【典题1】 （2023·湖南娄底·模拟预测）2，3，是某三角形三边的长，则 等于（   ） A． B． C．6 D．4 【巩固练习】 1.（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 2.（2024·河北秦皇岛·一模）若，，则关于P与Q的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3.（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 4.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【题型4】二次根式的估值 【典题1】估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【巩固练习】 1.（2023·重庆潼南·模拟预测）估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 2.（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 3.小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型5】 二次根式的混合运算 【典题1】 计算：． 【巩固练习】 1.计算： (1) (2)； 2.计算下列各题： (1)； (2) ． 【题型6】已知条件式，化简求值 【典题1】 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【巩固练习】 1.已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则代数式的值为 ． 3.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【题型7】二次根式的规律探究 【典题1】（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【巩固练习】 1.（2024·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的式子，，，，…，则第个式子是（    ） A． B． C． D． 2.观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 3.已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【题型8】与二次根式有关的新定义问题 【典题1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【巩固练习】 1.阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： (1)=______； (2)已知，求的值． 2.若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”． (1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号） ①1、2、3；②1、、；③、、． (2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值； (3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围． 【题型9】与二次根式有关的阅读材料开放性问题 【典题1】 （2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【巩固练习】 1.（2020·山西太原·模拟预测）阅读下列材料，完成相应任务： 卢卡斯数列法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题． “卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中． （说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．） 任务： （1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________； （2）求卢卡斯数列中的第3个数； （3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________． 2.（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 3.材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 4.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________． ​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值； （3）运用以上数形结合的方法，求的最大值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式 1 二次根式的定义 我们把形如的式子叫做根式；叫做被开方数；叫做二次根式. 2 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于， 即要使得有意义，则。 3 二次根式的性质 （1）双重非负性：中，； （2）； （3）. 4 二次根式的乘除 4.1 二次根式的乘法 。 4.2 二次根式的除法 。 4.3 二次根式的乘方法则 。 5 最简二次根式 ① 被开方数不含有分母（小数）；② 被开方数中不含有可以开方开得出的因数或因式. 【例】、是最简二次根式，、是最简二次根式. 6 分母有理化 若分数的分母是无理数，把其化为有理数的过程叫做分母有理化. 【例】，. 7 二次根式的混合运算 运算顺序：先乘方后乘除再加减，同级运算从左到右. 【题型1】 二次根式有意义的条件 【典题1】 （2024·湖南岳阳·模拟预测）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握：分式有意义，则分母不为；二次根式的被开方数是非负数．据此列式解答即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则：且， 解得：且． 故选：D． 【巩固练习】 1.（2020·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了函数自变量取值范围的问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：根据分式和二次根式有意义的条件可得， 解得：且， 故选：B． 2.（2023·海南海口·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握一些常见式子有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：根据题意：，， 解得：， 故选：A． 【题型2】二次根式的非负性 【典题1】 （2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查相反数的应用，解二元一次方程组及根式、绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0则它们分别等于0．根据互为相反两个数和为0列方程组，解方程组，即可得到答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴， 解得： ， ∴ 故答案为：6． 【巩固练习】 1.（2024·云南昭通·一模）若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2.（2024·重庆·一模）已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值非负性的应用、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握利用三角形三边关系判断能否组成三角形． 先由算术平方根和绝对值的非负性得到、，分情况讨论，利用三角形三边关系和等腰三角形定义判断出三边长度后即可求解． 【详解】解：根据算术平方根和绝对值的非负性可得，， ①腰为， ，不符合三角形任意两边之和大于第三边， 该情况舍去； ②腰为， 此时满足三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 该情况成立， 等腰三角形周长为． 故答案为：． 【题型3】二次根式性质的应用 【典题1】 （2023·湖南娄底·模拟预测）2，3，是某三角形三边的长，则 等于（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 【详解】解：∵2，3，是三角形的三边， ， 解得：， ∴， 故选：D． 【巩固练习】 1.（2024·宁夏银川·模拟预测）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴．先根据数轴分析出的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴知， ， ． 故选：A． 2.（2024·河北秦皇岛·一模）若，，则关于P与Q的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，先把P与Q用平方差公式和完全平方公式化简，再进行比较． 【详解】 ∴ 故选：A． 3.（2024·贵州毕节·模拟预测）若，则化简的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查可化解绝对值，求一个数的算术平方根， 根据化简绝对值，求出的算术平方根，然后计算求解即可． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故选：A． 4.（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【题型4】二次根式的估值 【典题1】估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的大小，再利用不等式的基本性质解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 【巩固练习】 1.（2023·重庆潼南·模拟预测）估计的运算结果应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】本题考查了实数的估算能力，关键是先计算该算式得，再进行估算． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2.（2023·重庆·中考真题）估计的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】先计算二次根式的混合运算，再估算结果的大小即可判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 3.小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断：①；②一定有3个整数的算术平方根在之间；③对于小于15的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于．所有合理推断的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或的算术平方根在， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由， ， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； 故选：D 【题型5】 二次根式的混合运算 【典题1】 计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，先算乘除，再算加减即可． 【详解】原式． 【巩固练习】 1.计算： (1) (2)； 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算括号内的加减运算，再计算除法运算； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 2.计算下列各题： (1)； (2) ． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和乘法公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用平方差公式和绝对值的意义计算，再算加减法，进而得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简，再算加减法，进而得出答案． 【详解】（1）解：原式= =； （2）解：原式= = = 【题型6】已知条件式，化简求值 【典题1】 已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． （2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． 【巩固练习】 1.已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2.已知，，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3.在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【题型7】二次根式的规律探究 【典题1】（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查规律探索，根据已知的式子总结出等式与序数的关系是解题的关键．由已知的等式，总结规律求解即可． （1）由已知的等式，即可归纳出规律； （2）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解： （2）原式 ． 【巩固练习】 1.（2024·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的式子，，，，…，则第个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用代数式表示规律，分别找出分子和分母的规律即可求解． 【详解】解：根据规律可得第个数的分子是，第个数的分母是， 故第个式子是． 故选：D． 2.观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的知识，关键是仔细观察所给的式子，根据所给的式子得出规律．仔细观察所给式子，可得出根号外面的数字等于被开方数中的分子，被开方数的分母为分子上的数的平方减去1，依据规律进行计算即可． 【详解】解：根据所给式子的规律可得：， 解得：． 故选：B． 3.已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 【题型8】与二次根式有关的新定义问题 【典题1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为． (1)无理数的“麓外区间”是 ； (2)若，求的“麓外区间”； (3)实数满足，求的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“麓外区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“麓外区间”是； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的“麓外区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：， 解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“麓外区间”为． 【巩固练习】 1.阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： (1)=______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）仿照题目给定的方法解答即可； （2）设，结合，解答即可． 本题考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得． 故． 2.若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”． (1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号） ①1、2、3；②1、、；③、、． (2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值； (3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键． （1）根据“青一三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“青一三数组”； （2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“青一三数组”，分三种情况进行讨论求解即可； （3）由，可得，再由点到原点的距离记为，可得，令，得到的最小值为，再求解即可． 【详解】（1）解：①，，， 1、2、3不能构成“青一三数组”； ②， 1、、能构成“青一三数组”； ③的倒数为，的倒数为，的倒数为， ， 、、能构成“青一三数组”； 三组数中构成“青一三数组”的有②③， 故答案为：②③； （2）解：倒数为，的倒数为，的倒数为， 、、构成“青一三数组”， ①当时，解得：； ②当时，解得：， 当时，不成立，故舍去； ③当时，解得：； 综上可知，实数的值为或； （3）解：， ， 点到原点的距离记为， ， 令，则， ， 当时，的最小值为， 恒成立， ， ． 【题型9】与二次根式有关的阅读材料开放性问题 【典题1】 （2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 【巩固练习】 1.（2020·山西太原·模拟预测）阅读下列材料，完成相应任务： 卢卡斯数列法国数学家爱德华·卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题． “卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第个数可以表示为，其中． （说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列．） 任务： （1）卢卡斯数列中的第1个数________，第2个数________； （2）求卢卡斯数列中的第3个数； （3）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律直接写出卢卡斯数列中的第5个数：________． 【答案】（1）2；1；（2）3；（3）7． 【分析】（1）分别把n=1、n=2代入式子化简求得答案即可； （2）分别把n=3代入式子化简求得答案即可； （3）根据卢卡斯数列的重要特征，分别写出、、即可． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故答案为：2；1； （2） ； （3）根据卢卡斯数列的重要特征：当时，满足， ， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 2.（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)，5 (2)①直角三角形，见解析；② 【分析】本题考查二次根式的应用，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据二次根式的混合运算法则计算判断即可； （2）①利用勾股定理的逆定理判断即可； ②利用三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解： ，， ， ． 故答案为：，5； （2）解：①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ②， ． 3.材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 4.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则的最小值等于 _________． ​（2）运用以上数形结合的方法，求的最小值； （3）运用以上数形结合的方法，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用． （1）构造边长为1的正方形，P为边上的动点，设，则，，，，延长至点，使，当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，，即可求得 的最小值； （2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，，设，则，，，点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长，过点D作交于点G，，进而求出的最小值； （3），设，点E在上，，过点D作于点F，由勾股定理可知：，，，证明四边形是矩形， ，分情况讨论，若点D不在线段上则，若点D在线段上，则，进而求得的最大值． 【详解】（1）已知图中，构造边长为1的正方形，P为边上的动点， 设，则， 在中， ， 在中， ， ∴， 延长至点，使，则垂直平分线段，上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有， 连接由“两点之间，线段最短”可知： 当点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长， 在中，， ∴ ∴的最小值等于， 故答案为：； （2）构造两个边长为3的正方形和，P为边上的动点，， 设，则， 在中， ， 在中， ， ∴， 延长至点，使，则垂直平分线段， 上任意一点到点A和点的距离都相等，即总有， 连接由“两点之间，线段最短”可知： 点P在与的交点处时，的长最短，从而的长最短，最小值为线段的长， 过点D作交于点G， 在中，， ∴， ∴的最小值等于； （3）， 设，点E在上，，过点D作于点F，如图： 则，由勾股定理可知： ， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， 若点D不在线段上， 则， ∴， 若点D在线段上，如图， 则， 即， 综上所述，， ∴的最大值为． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$