专题03 分式【十大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题03 分式 1 分式的定义 一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式. 2 与分式有关的条件 ① 分式有意义：分母不为； ② 分式无意义：分母为； ③ 分式值为：分子为且分母不为. 3 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为的整式，分式的值不变。 字母表示：，其中是整式，. 4 分式的约分 （1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； （2）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，叫做最简分式. （3）约分的步骤 ① 若分子、分母是多项式，先把分子和分母因式分解； ② 对分子与分母的系数，取其最大公约数进行约分； ③ 取分子与分母的各个公因式的最低次幂进行约分，最后确定分式是最简分式。 5 分式的通分 （1）定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分； （2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母； 通分时，最简公分母的确定 ① 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ② 取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式； ③ 如果分母是多项式，则先把各分母分解因式，然后判断最简公分母. 6 分式的乘除法运算 （1）分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 式子表示为； （2）分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘. 式子表示为. （3）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：. 7 分式的加减运算 （1）同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：； （2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，再加减. 式子表示为：。 注：整式与分式相加减，可把整式看成分母为的分式. 【题型1】 分式有、无意义的条件 【典题1】 若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 【巩固练习】 1.若分式无意义，则x的值为（　　） A．2或 B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件是分母为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故选：D． 2.若能使一个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母为0时，分式无意义，进行判断即可． 【详解】解：∵能使一个分式无意义，且， ∴当分式的分母为时，分式无意义， 故选B． 3.函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不等于0求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴． 故选C． 4.下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求自变量的取值范围、代数式是整式自变量可取任意实数、分式有意义、分母不为0，二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】A． ，可取正数，0，负数，所以取值范围是全体实数，符合题意； B． 中解得，不符合题意； C． 中分母不能为0，所以，不符合题意； D． 中分母不能为0，所以，解得：，不符合题意； 故选：A． 5.（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 【题型2】分式的值为0的条件 【典题1】 若分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零则分子为零分母不为零是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：． 故选：A． 【巩固练习】 1.（2024·贵州贵阳·一模）若分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解答得：． 故选：C． 2.（2024·贵州黔东南·一模）若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】解：由分式值为0，得 且． 解得， 故选：B． 3.已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 －4 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，以及解分式方程，理解基本定义，以及解分式方程后注意检验是解题关键． 首先根据已知条件分别确定和的值，然后确定出分式，最后根据时，原分式值为1，通过解分式方程确定，即可得出结论． 【详解】解：∵时，原分式无意义， ∴，解得：，B选项正确，不符合题意； ∴此分式为， ∵当时，原分式值为0， ∴，解得：， A选项正确，不符合题意； 由上分析，原分式为， 当时，原分式值为，D选项正确，不符合题意； 当时，解得：， 经检验，是原分式方程的解，C选项错误，符合题意； 故选：C． 【题型3】分式的基本性质 【典题1】（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质针对四个选项进行分析即可． 【详解】A、不能再化简，故本选项不符合题意； B、不能再化简，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【巩固练习】 1.（2024·山东聊城·三模）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选B． 2.把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A．4 B．7 C．21 D．28 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘上或除以相同的数 (0除外)，分式的大小不变；分式的分母乘上4，要使分式的大小不变，分子也要乘上4，然后即可算出分子应该加上几． 【详解】解：， ， 故选：C． 3.（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把子母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 将原式中的分别用代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案． 【详解】解：将分式中的的值同时扩大为原来的10倍， 则原式变为， ∴分式的值扩大1000倍， 故选：D． 【题型4】 分式的运算 【典题1】 （2023·湖北襄阳·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】先根据同分母分式相加减法则计算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法换成乘法，即可求解； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【巩固练习】 1.计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．原式利用除法法则变形，计算分式乘法，再计算加法即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 2.已知，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】先将已知条件化为，再代入中化为，即可求值．本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的变形是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：3． 3.已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的运用，分式的运算，根据已知易得：或，从而可得或，进而可得或，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 或， 或， ∴一定是腰长为的等腰三角形， 故选：C． 4.（2023·陕西·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】先算括号里的运算，把除法转为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【题型5】分式的化简求值 【典题1】 （2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： ，其中 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = = =， 当时，原式=． 【巩固练习】 1.（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 2.（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内分式，再进行乘法运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 3.（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 【题型6】求使分式值为整数时未知数的整数值 【典题1】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 【巩固练习】 1.（2023·贵州六盘水·一模）若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 2.对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由，再结合为正整数，为非负整数，进而可以得解． 【详解】解：由题意， ，且为正整数，为非负整数， 必为正整数． 为的正因数，可能为，，，， 为非负整数， 可能为，，． 又为正整数， 或或均符合题意，共种可能． 故选：A． 3.若正整数，满足，则的最大值为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的值为整数的情况，以及数的整除性问题，把用含的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，即可求出的最大值． 【详解】解：， ， ，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 故选：C． 4.（江苏南京·自主招生）求所有的正整数，使得为整数． 【答案】1或3或7 【分析】本题考查了分式的化简；把化为，则为8的正整数因数，即可求得n的值．把分式表示为整式与分式的和的形式是解题的关键． 【详解】解：因为为正整数， 则为整数， 故为正整数， 则为8的正整数因数，且， 故， 故． 【题型7】 分式中规律探究 【典题1】 观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字的变化规律，分式的化简，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据前4个等式即可得出答案； （2）根据（1）中得出规律，进行通分证明等式的左边等于右边即可． 【详解】（1）解：因为第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 所以 ， 故答案为：； （2）解：由（1）得出规律为： 第个式子为， 等式左边为， 等式右边为， 因为等式左边等式右边， 所以此等式成立． 【巩固练习】 1.按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 2. ； ； ；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据前个等式特点写出第个等式； （）根据第（）结论归纳出第个等式的规律； 此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； ； ∴第个等式； （2）解： ； ； ； ； 第个等式； 证明：左边 右边． 3.观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯⋯ 第6个等式：； 故答案为：； （2）猜想：第个等式：， 证明：∵ ， ∴成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 【题型8】分式运算的实际应用 【典题1】 （2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 【巩固练习】 1.如图，“优选1号”水稻试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田的水稻的都收了．问：哪种水稻的单位面积产量更高？ 【答案】“优选2号”水稻的单位面积产量更高．理由见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式除法的运算法则和分式比较大小的方法是解决本题的关键．分别计算出两种水稻的单位面积产量，再用作商法比较那种的水稻的产量高． 【详解】解：由题意得，“优选1号”水稻的单位面积产量为， “优选2号”水稻的单位面积产量为． ∵， ∴， ∴“优选2号”水稻的单位面积产量更高． 2.位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论： 芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满． 敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满． (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500元）加油． 若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算． 【答案】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个 (2)方式一：，方式二：；选择方式二 【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式． （1）设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可； （2）根据“加油费用加油量加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解． 【详解】（1）解：设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 则， 答：每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个； （2）解：按照方式一加油的平均单价为（元/升）， 按照方式二加油的平均单价为（元/升）， 按方式一加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得： （元/升）， ∵，，且， ∴，，即， ∴选择方式二加油更合算． 3.（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【答案】(1)甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元 (2)农场选择方案一合算，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式．熟练掌握一元一次方程的应用，列代数式是解题的关键． （1）根据题意，得，计算求解，进而可求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价； （2）由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴甲种葡萄的实际销售单价为（元）， 乙种葡萄的实际销售单价为（元）． 答：甲种葡萄的实际销售单价是8元，乙种葡萄的实际销售单价是元． （2）解：由题意知，方案一的平均单价为． 方案二的平均单价为， ∵ ． ∴农场选择方案一更合算． 【题型9】与分式运算有关的新定义问题探究 【典题1】【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①；②． 【分析】本题是创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键． （1）根据友好分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴与是“友好分式” 故答案为：是； （1）设的“友好分式”为N，则， ， ； （3）①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 故答案为：； ②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”. 据此可得， 整理得 ∴． 【巩固练习】 1.（2021·重庆沙坪坝·三模）如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，． （1）判断946是不是“尔畔数”，求出； （2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？ 【答案】（1）946不是“尔畔数”； ；（2）的最大值为． 【分析】（1）仿照样例进行计算便可； （2）设s和t的个位数分别是，且，，根据样例求出，，再根据，求得，，进而求得的最大值． 【详解】（1）∵， ∴946不是“尔畔数”； ； （2）∵s和t都是“尔畔数”， 设s和t的个位数分别是，且，， ∴， ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴越大，才越大， ∴当时，最大，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义，分式的运算，关键是根据新定义，把新知识转化为常规知识进行解答． 2.阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【答案】(1)是， (2)①－3x－6；②1 (3)6或22 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，二元方程的整数解，理解新定义，熟练掌握分式的加减运算法则是解本题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加法运算法则化简，根据化简结果判断即可； （2）把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“关联分式”，且“关联值” ，求出多项式M，最后根据为正整数，分式的值为正整数求出x值即可． （3）把E与F相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据E与F互为“关联分式”，且“关联值” ，得到，当时，，当时，则，根据a，b为整数解得，或，，即可求得． 【详解】（1）解： ，， ， 与互为“关联分式”， “关联值”； （2）解：① ，， ， 与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ②， 分式的值为正整数． 或，此时的值为1或， 为正整数， 的值为1． （3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵a，b为整数 ∴当时， 当时，则 ∵a，b为整数 ∴，或，， ∴． 综上，c的值为6或22． 【题型10】与分式运算有关的阅读材料题型 【典题1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)3，6 (2)真分式，，4 (3)当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，且为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【巩固练习】 1.阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式 1 分式的定义 一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式. 2 与分式有关的条件 ① 分式有意义：分母不为； ② 分式无意义：分母为； ③ 分式值为：分子为且分母不为. 3 分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为的整式，分式的值不变。 字母表示：，其中是整式，. 4 分式的约分 （1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分； （2）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，叫做最简分式. （3）约分的步骤 ① 若分子、分母是多项式，先把分子和分母因式分解； ② 对分子与分母的系数，取其最大公约数进行约分； ③ 取分子与分母的各个公因式的最低次幂进行约分，最后确定分式是最简分式。 5 分式的通分 （1）定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分； （2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母； 通分时，最简公分母的确定 ① 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ② 取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式； ③ 如果分母是多项式，则先把各分母分解因式，然后判断最简公分母. 6 分式的乘除法运算 （1）分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 式子表示为； （2）分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置，与被除式相乘. 式子表示为. （3）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：. 7 分式的加减运算 （1）同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：； （2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，再加减. 式子表示为：。 注：整式与分式相加减，可把整式看成分母为的分式. 【题型1】 分式有、无意义的条件 【典题1】 若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.若分式无意义，则x的值为（　　） A．2或 B．0 C．2 D． 2.若能使一个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 3.函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 5.（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【题型2】分式的值为0的条件 【典题1】 若分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．3 C． D．0 【巩固练习】 1.（2024·贵州贵阳·一模）若分式的值为0，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 2.（2024·贵州黔东南·一模）若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（    ） x的取值 －4 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A． B． C． D． 【题型3】分式的基本性质 【典题1】（2024·河北秦皇岛·一模）若，则下列各式的值与P的值一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·山东聊城·三模）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（　　） A．4 B．7 C．21 D．28 3.（2024·重庆·模拟预测）将分式中x，y同时扩大10倍，则分式的值将（    ） A．扩大10倍 B．扩大100倍 C．扩大100倍 D．扩大1000倍 【题型4】 分式的运算 【典题1】 （2023·湖北襄阳·中考真题）化简：． 【巩固练习】 1.计算：的结果为（   ） A．1 B． C． D． 2.已知，且，则的值为 ． 3.已知的三边长分别为，且，则一定是（    ） A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形 C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形 4.（2023·陕西·中考真题）化简：． 【题型5】分式的化简求值 【典题1】 （2024·广东深圳·中考真题）先化简，再求值： ，其中 【巩固练习】 1.（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2.（2023·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中 3.（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【题型6】求使分式值为整数时未知数的整数值 【典题1】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【巩固练习】 1.（2023·贵州六盘水·一模）若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 2.对于非负整数，使得是一个正整数，则可取的个数有（    ） A． B． C． D． 3.若正整数，满足，则的最大值为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 4.（江苏南京·自主招生）求所有的正整数，使得为整数． 【题型7】 分式中规律探究 【典题1】 观察下列等式的规律，并回答下列问题： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； (1)请写出第个等式：__________________； (2)请你写出第个等式，并证明． 【巩固练习】 1.按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 2. ； ； ；… (1)根据上面个等式存在的规律写出第个等式； (2)用含的代数式表示出第个等式，并证明． 3.观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；⋯⋯ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【题型8】分式运算的实际应用 【典题1】 （2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【巩固练习】 1.如图，“优选1号”水稻试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分；“优选2号”水稻试验田是边长为的正方形，两块试验田的水稻的都收了．问：哪种水稻的单位面积产量更高？ 2.位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论： 芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满． 敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满． (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500元）加油． 若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算． 3.（2024·福建宁德·一模）福安葡萄享有“北有吐鲁番，南有闽福安”的美誉，某农场分别种植甲、乙两种葡萄，去年甲种葡萄总产量3万千克，乙种葡萄总产量2万千克，原计划甲、乙两种葡萄都按元/千克出售，实际因成熟时间不同，甲种葡萄8折出售，乙种葡萄加价3元出售，实际总收入与计划总收入相同． (1)求去年甲、乙两种葡萄的实际销售单价分别是多少元？ (2)今年农场改进技术，两种葡萄品质提升、产量增加，农场准备在去年实际售价的基础上，单价都增加元（）后全部出售给某经销商，该经销商提供了以下两种收购方案： 方案一：甲、乙两种葡萄都按产量万千克收购； 方案二：甲、乙两种葡萄都按总价万元收购． 通过计算甲、乙两种葡萄的总平均单价，说明农场选用哪种方案合算． 【题型9】与分式运算有关的新定义问题探究 【典题1】【知识背景】 若分式与分式的差等于它们的积，，则称分式是分式的“友好分式”．如与，因为，，所以是的“友好分式”． 【知识应用】 （1）分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法： 设的“友好分式”为，则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”______； ②若是的“友好分式”，求的值． 【巩固练习】 1.（2021·重庆沙坪坝·三模）如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，． （1）判断946是不是“尔畔数”，求出； （2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？ 2.阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①________（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________． (3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值． 【题型10】与分式运算有关的阅读材料题型 【典题1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当__________时，式子取到最小值，最小值为__________； (2)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式__________；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有__________个； (3)用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【巩固练习】 1.阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$