专题02 整式与因式分解【十二大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题02 整式与因式分解 1 整式的相关概念 1.1 代数式 用基本运算符号把数与字母连接而成的式子叫做代数式，如，，，. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 1.2 单项式 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式. 【例】 是单项式，次数为，系数为. 1.3 多项式 几个单项式的和叫做多项式. 【例】 是多项式，有项：，项数是，次数为. 1.4 整式 单项式和单项式统称为整式. 2 整式的运算 2.1 合并同类项 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. (2)合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 2.2 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项. 去括号的法则 (1)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； (2)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. 2.3 整式的乘除 （1）幂的运算 同底数幂相乘 ； 幂的乘方 积的乘方 ； 同底数幂相除 。 （2）整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）整式的除法 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 3 乘法公式 （1）平方差公式 .两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （2） 完全平方公式 ， 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的倍. 拓展 ，. 4 因式分解 4.1 概念 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解（或分解因式）。 4.2 因式分解的方法 （1）提公因式法：多项式的各项都有的一个公共因式； （2）公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. （3）分组分解法 把多项式先分成多组，每组内部因式分解，再把多组作为一个整体进行因式分解. （4）十字相乘法 对二次三项式进行因式分解的一种方法， 【题型1】用代数式表示 【典题1】 （22-23九年级上·河北张家口·期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨元，销售利润为元，可列函数为：．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（    ） A．表示涨价后商品的单价 B．表示涨价后少售出商品的数量 C．表示涨价后商品的数量 D．表示涨价后商品的单价 【巩固练习】 1.（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（    ） A．am B．10am C．15am D．25am 2.用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 3.（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4.（2023·河北承德·一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（    ） A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折 C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折 【题型2】求代数式的值 【典题1】 （2024·重庆·模拟预测）根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为 ．    【典题2】（2024·山东临沂·模拟预测）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1.（2024·海南海口·二模）若，则的值是（　　） A．0 B．3 C． D．9 2.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 4.（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【题型3】整式的加减 【典题1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【巩固练习】 1.（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 2.（2024七年级上·江苏·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 3.（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式M； (2)若，请比较与N的大小，并说明理由． 【题型4】幂的运算 【典题1】下列运算正确的是(　　) A．(3a2)3＝9a5 B．(ab)2＝a2b2 C．a2+a2＝a4 D．a6÷a3＝a2 【典题2】（2021·广东·中考真题）已知，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 【巩固练习】 1.（2021·广东深圳·中考真题）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.若，则的值为（     ） A．8 B．12 C．24 D．48 3.若为正整数，则计算的结果是（    ） A． B． C． D．或 4.（2023·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型5】乘法公式的运算 【典题1】（2024·广东汕头·一模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典题2】（2024·广东东莞·三模）已知，，则的值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．36 【巩固练习】 1.（2024·广东肇庆·二模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2.（2024·广东深圳·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 4.（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 5.（2023·广东湛江·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【题型6】乘法公式的应用 【典题1】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【典题2】已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【巩固练习】 1.若a+b=1，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 3.（2024·广东梅州·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 4.（2024·广东深圳·二模）已知，则多项式的值为 ． 5.（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 6.（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【题型7】 整式的混合运算 【典题1】（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中． 【巩固练习】 1.（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 2.（2024·广东揭阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中x的值为一元二次方程的根． 3.（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【题型8】 提公因式法分解因式 【典题1】（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【巩固练习】 1.（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 2.（2022·福建龙岩·模拟预测）已知，，则 ． 3.（2014·青海西宁·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ． 【题型9】 公式法分解因式 【典题1】（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ． 【巩固练习】 1.（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 3.（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则的值为 ． 4.（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 5.（2024·陕西汉中·二模）已知，且．求证：． 【题型10】 因式分解的应用 【典题1】（2024·河北邢台·模拟预测）若n为任意整数，则的值总能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被4n整除 D．被2024整除 【典题2】 （2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【巩固练习】 1.（2023·河北保定·一模）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 2.（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 3.（2023·河北邯郸·三模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数． (1)验证和这两个数是否为神秘数； (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由． 4.（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【题型11】数式规律探究 【典题1】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【巩固练习】 1.（2024·湖南·模拟预测）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗． 2.（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 3.（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）    【题型12】数式中新定义问题探究 【典题1】（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 【巩固练习】 1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 2. （2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 3.（2024·湖南·模拟预测）我们约定：若函数对于其自变量取任意实数，其函数值都满足（为常数），我们称这个函数为“巅峰函数”，这个常数称为“巅峰值”． (1)请判断函数是否是“巅峰函数”，如果是，求出此时的“巅峰值”，如果不是，请说明理由； (2)已知二次函数是“巅峰函数”． ①若，，且该“巅峰函数”的对称轴在轴的右侧，当函数图像与轴的两个交点之间的距离为2时，求出此“巅峰函数”的解析式，并写出此时的“巅峰值”； ②若该“巅峰函数”满足下列条件：A、；B、“巅峰值”为0；C、，若，试确定的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式与因式分解 1 整式的相关概念 1.1 代数式 用基本运算符号把数与字母连接而成的式子叫做代数式，如，，，. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 1.2 单项式 表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式. 【例】 是单项式，次数为，系数为. 1.3 多项式 几个单项式的和叫做多项式. 【例】 是多项式，有项：，项数是，次数为. 1.4 整式 单项式和单项式统称为整式. 2 整式的运算 2.1 合并同类项 (1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. (2)合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 2.2 整式的加减 一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项. 去括号的法则 (1)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号不变； (2)括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号要改变. 2.3 整式的乘除 （1）幂的运算 同底数幂相乘 ； 幂的乘方 积的乘方 ； 同底数幂相除 。 （2）整式的乘法 （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）整式的除法 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 3 乘法公式 （1）平方差公式 .两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. （2） 完全平方公式 ， 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的倍. 拓展 ，. 4 因式分解 4.1 概念 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解（或分解因式）。 4.2 因式分解的方法 （1）提公因式法：多项式的各项都有的一个公共因式； （2）公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. （3）分组分解法 把多项式先分成多组，每组内部因式分解，再把多组作为一个整体进行因式分解. （4）十字相乘法 对二次三项式进行因式分解的一种方法， 【题型1】用代数式表示 【典题1】 （22-23九年级上·河北张家口·期末）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨元，销售利润为元，可列函数为：．对所列函数中出现的代数式，下列说法错误的是（    ） A．表示涨价后商品的单价 B．表示涨价后少售出商品的数量 C．表示涨价后商品的数量 D．表示涨价后商品的单价 【答案】A 【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为元，涨价后销量为件，再根据利润等于售价减去进价得出涨价后每件利润为元即可． 【详解】解：A、表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意； B、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨元后，表示涨价后少售出商品的数量，故本选项符合题意； C、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出件，则涨价后的商品数量为件，故本选项符合题意； D、由题可知，每件商品原价为30元，涨元后单价为元，故本选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利润的计算公式是本题的重点． 【巩固练习】 1.（2022·贵州贵阳·一模）贵阳市“一圈两场三改”落地，幸福生活近在咫尺．周末，小高同学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了25min．已知小高同学步行的速度为每分钟am，则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程是（    ） A．am B．10am C．15am D．25am 【答案】D 【分析】根据“路程=速度×时间”计算即可． 【详解】解：根据题意，小高同学步行的速度为每分钟am，较之前步行去城市运动中心少走了25min， 则少走的路程是：m． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的应用，解题关键是读懂题意，找准解题所需信息． 2.用长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为，则长方形窗框的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，要注意长方形窗框的横条有3条，观察图形求出长方形窗框的竖条长度是解答本题的关键．根据长方形窗框的横条长度求出长方形窗框的竖条长度，再根据长方形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵长方形窗框的横条长度为， ∴长方形窗框的竖条长度为， ∴长方形窗框的面积为：， 故选∶C． 3.（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，根据总价单价数量，可得答案．本题考查了列代数式，理解题意是关键． 【详解】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本本， 购买乙种读本的费用为， 故选：B． 4.（2023·河北承德·一模）某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销，下列促销方式描述正确的是（    ） A．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 B．按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折 C．按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元 D．按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折 【答案】A 【分析】根据题意，逐项分析代数式的意义，即可求解． 【详解】解：某文具用品商店将原价元的笔记本进行促销， 按的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元，故A选项正确，B选项错误 按的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折，故C选项错误 按的价格出售，促销方式是先涨6元，再打九折，故D选项错误 故选：A． 【点睛】本题考查了代数式的意义，理解题意是解题的关键． 【题型2】求代数式的值 【典题1】 （2024·重庆·模拟预测）根据如图所示的程序计算，若输入的值是1时，则输出的值是5．若输入的值是2，则输出值为 ．    【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的混合运算，理解题意掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先根据题意将，代入中求出的值，再将代入中即可求解． 【详解】解：由题意可知，将，代入中得： ， 解得：， 将，代入中得： ， 所以输入的值是2，则输出值为1， 故答案为：1． 【典题2】（2024·山东临沂·模拟预测）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握将未知数进行降幂是解题的关键．先将降次，然后代入代数式即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选D． 【巩固练习】 1.（2024·海南海口·二模）若，则的值是（　　） A．0 B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值．熟练掌握代数式变形，整体代入法，是解答此题的关键． 根据，把代入，可得结论． 【详解】∵， ∴． 故选：B． 2.（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值， 先根据可得一个关于x，y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3.（2024·广东东莞·模拟预测）直线 经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入一次函数解析式中，求出的值，即可求出结果． 【详解】解：将点代入， 得到：， 即：， 两边乘2得：， ∴． 故答案为：． 4.（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，由方程的解求出的值是解答本题的关键．把代入方程即可得到一个关于的方程，解方程求得的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得：， 把代入中， 则原式 ． 故答案为：． 【题型3】整式的加减 【典题1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式，整式． (1)化简：； (2)若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）将A、B代入，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：由题可得：， 是关于x的一个完全平方式， 则可以为， 原式 ， 整式可以是（答案不唯一）． 【巩固练习】 1.（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ） A．的最大值是0 B．的最小值是 C．当时，为正数 D．当时，为负数 【答案】B 【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可． 【分析】解：∵，， ∴ ； ∴当时，有最小值； 当时，即：， ∴， ∴， ∴，即是非正数； 故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意； 故选B． 2.（2024七年级上·江苏·专题练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键．首先通过去括号、合并同类项的步骤完成化简，然后将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 3.（2024·河北邢台·模拟预测）在计算题：“已知，□，求”时，嘉琪把“”看成“”，得到的计算结果是． (1)求整式M； (2)若，请比较与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出N． （2）写出确定的，即可得出结论． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． 【题型4】幂的运算 【典题1】下列运算正确的是(　　) A．(3a2)3＝9a5 B．(ab)2＝a2b2 C．a2+a2＝a4 D．a6÷a3＝a2 【答案】B 【详解】解：A、(3a2)3＝27a6，故不符合题意；B、(ab)2＝a2b2，故符合题意； C、a2+a2＝2a2，故不符合题意；D、a6÷a3＝a3，故不符合题意． 故选：B． 【典题2】（2021·广东·中考真题）已知，则（    ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】利用同底数幂乘法逆用转换求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则即表现形式是解题关键． 【巩固练习】 1.（2021·广东深圳·中考真题）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法依次计算即可． 【详解】A. ，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不是同类项，不能合并，不合题意； D. ，不合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，解决本题的关键是牢记公式与定义． 2.若，则的值为（     ） A．8 B．12 C．24 D．48 【答案】A 【分析】根据幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法的逆应用，解答即可，本题考查了幂的乘方的逆应用，同底数幂的除法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】， 故， 故选A． 3.若为正整数，则计算的结果是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分n为奇数和偶数两种情况，根据幂的乘方与积的乘方以及合并同类项法则计算即可． 【详解】若n为奇数，原式==0； 若n为偶数，原式==． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则和分类讨论思想的运算． 4.（2023·四川乐山·中考真题）已知，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由即可解答． 【详解】∵， 依题意得：，． ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形． 【题型5】乘法公式的运算 【典题1】（2024·广东汕头·一模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用乘法公式以及多项式乘多项式、单项式乘多项式分别化简，进而判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 【典题2】（2024·广东东莞·三模）已知，，则的值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键， 根据完全平方公式变形计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：C． 【巩固练习】 1.（2024·广东肇庆·二模）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 依据同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式和完全平方公式运算法则求解即可． 【详解】解：A．，故本选项错误，不合题意； B．，故本选项错误，不合题意； C．，故本选项正确，符合题意； D．，故本选项错误，不合题意． 故选：C． 2.（2024·广东深圳·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项法则、完全平方公式及平方差公式，熟练掌握和运用各运算法则和公式是解决本题的关键．根据合并同类项法则、完全平方公式及平方差公式进行运算，即可一一判定． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3.三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（　　） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 对等式进行整理，再根据勾股定理逆定理判断其形状． 【详解】解：化简，得，所以三角形是直角三角形， 故选：C． 4.（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：由得：， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为． 5.（2023·广东湛江·模拟预测）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，将所求式子变形．用平方差公式把所求式子变形后，将，的值代入计算即可． 【详解】解： ，， ． 故答案为：． 【题型6】乘法公式的应用 【典题1】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，平方差公式的运用，涉及新定义，根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案． 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴设“幸福数”为（n为整数）， ， ∴“幸福数”是8的倍数， 观察各选项，是8的倍数的只有512， 故选：C． 【典题2】已知实数a，b满足，，则的值为 ． 【答案】497 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形进行计算，根据题意得出，再将变形为，代入求解即可． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：497． 【巩固练习】 1.若a+b=1，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解． 【详解】解： 故选：D 【点睛】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值． 2.已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 3.（2024·广东梅州·模拟预测）已知，则代数式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式变形等．根据题意先将变形为，继而利用条件即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故答案为：15． 4.（2024·广东深圳·二模）已知，则多项式的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了代数式求值，整式的运算，利用换元法代入求值并掌握整式的运算规则是解题的关键．由可知，将其代入多项式，化简即可计算出答案． 【详解】 故答案为：2024． 5.（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 6.（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 【题型7】 整式的混合运算 【典题1】（2024·江苏扬州·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去掉中括号内的小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【巩固练习】 1.（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 2.（2024·广东揭阳·模拟预测）先化简，再求值：，其中x的值为一元二次方程的根． 【答案】，14 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，一元二次方程的解，利用整式的运算法则进行化简，根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解： 原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 3.（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【题型8】 提公因式法分解因式 【典题1】（2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】将整式变形含有公因式，提取即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解题的关键是找到公因式． 【巩固练习】 1.（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【详解】解：原式， 故答案为： ． 2.（2022·福建龙岩·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【分析】直接将原式提取公因式，再把已知代入求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题的关键． 3.（2014·青海西宁·中考真题）长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：． 【题型9】 公式法分解因式 【典题1】（2024·江苏扬州·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解． 先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解；完全平方公式：． 【详解】解：． 故答案为：． 【巩固练习】 1.（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 2.（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 3.（2023·四川绵阳·模拟预测）若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方差公式，由条件得到，将恒等变形，整体代入求值即可得到答案，熟记代数式求值的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（2024·上海嘉定·三模）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【详解】解： 故答案为： 5.（2024·陕西汉中·二模）已知，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，把两式相减得，把右式移项到左边，利用平方差公式和提公因式法对等式的左式因式分解，根据两式相乘积为，必有一个因式为即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴两式相减得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型10】 因式分解的应用 【典题1】（2024·河北邢台·模拟预测）若n为任意整数，则的值总能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被4n整除 D．被2024整除 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后，判断即可． 【详解】解：， 故的值总能被4整除； 故选B． 【典题2】 （2024·广东河源·二模）已知，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可． 【详解】证明：， 等式的两边都乘，得， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 即． 【巩固练习】 1.（2023·河北保定·一模）小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（    ） A．2023，2024，2025 B．2022，2023，2024 C．2021，2022，2023 D．2020，2021，2022 【答案】B 【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解，即可得到答案． 【详解】解： ∴能被2022，2023，2024整除， 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2.（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 3.（2023·河北邯郸·三模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如，，．因此，、、这三个数都是神秘数． (1)验证和这两个数是否为神秘数； (2)设两个连续偶数为和（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗? 请说明理由． 【答案】(1)和这两个数都是神秘数 (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据定义，利用平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴和这两个数都是神秘数； （2）解：是，理由如下 ∵这两个连续偶数构造的神秘数为 ∵取非负整数 ∴由和造的神秘数是的倍数 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 4.（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 【题型11】数式规律探究 【典题1】（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍． 【答案】12 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键． 根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，解得， 又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故答案为：12． 【巩固练习】 1.（2024·湖南·模拟预测）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据你的观察，写出第个图案中小五角星有 颗． 【答案】 【分析】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出图形规律的能力，要求学生要会分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察图案总结小五角星数与图案数间的关系，据此规律求和即可． 【详解】解：第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个， 第个图案中，小五角星有个， ， ∴第个图案中，小五角星有个， ∴第个图案中小五角星有个． 故答案为： 2.（2024·湖南·模拟预测）有一组数，按以下规律排列∶则这组数的第个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查找规律，根据所给的这列数，将他们形式化统一，从符号、分子、分母三个方面找寻规律即可得到答案，熟练掌握常见数字规律是解决问题的关键． 【详解】解：一列数 符号规律：奇数项为正、偶数项为负，故； 分子规律：从第二项开始，后一项与前一项的差是4，故； 分母规律：； 综上所述，这列数的规律是， 故答案为：． 3.（2023·黑龙江绥化·中考真题）在求的值时，发现：，，从而得到 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）    【答案】/ 【分析】根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键． 【题型12】数式中新定义问题探究 【典题1】（2022·重庆·中考真题）若一个四位数的个位数字与十位数字的平方和恰好是去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“勾股和数”． 例如：，∵，∴2543是“勾股和数”； 又如：，∵，，∴4325不是“勾股和数”． (1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由； (2)一个“勾股和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．当，均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由见解析 (2)8109或8190或4536或4563． 【分析】（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可； （2）由“勾股和数”的定义可得，根据，均是整数可得，为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M． 【详解】（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”； 理由：∵，， ∴1022不是“勾股和数”； ∵， ∴5055是“勾股和数”； （2）∵为“勾股和数”， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵为整数， ∴为3的倍数， ∴①，或，，此时或8190； ②，或，，此时或4563， 综上，M的值为8109或8190或4536或4563． 【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”． 【巩固练习】 1.（2022·浙江嘉兴·中考真题）设是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时，表示的两位数是45． (1)尝试： ①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝ ； …… (2)归纳：与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：若与100a的差为2525，求a的值． 【答案】(1)③； (2)相等，证明见解析； (3) 【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可； （2）由再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案； （3）由与100a的差为2525，列方程，整理可得再利用平方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解：①当a＝1时，152＝225＝1×2×100＋25； ②当a＝2时，252＝625＝2×3×100＋25； ③当a＝3时，352＝1225＝； （2）解：相等，理由如下： 100a(a＋1)＋25= （3） 与100a的差为2525， 整理得： 即 解得： 1≤a≤9， 【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键． 2. （2022·重庆·中考真题）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析 (2)数A可能为732或372或516或156 【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可； （2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴357不是15“和倍数”； ∵， ∴441是9的“和倍数”． （2）∵三位数A是12的“和倍数”， ∴， ∵， ∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数， ∴， ∵为整数， 设（k为整数）， 则， 整理得：， 根据得：， ∵， ∴，解得， ∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数， ∴， ∴， ∴， 把代入得： ， 整理得：， ∵，k为整数， ∴或， 当时，， ∵， ∴，， ，，，或，，， 要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数， 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴不是12的“和倍数”， ∵， ∴不是12的“和倍数”； 当时，， ∵， ∴， ，，，组成的三位数为516或156， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 综上分析可知，数A可能为732或372或516或156． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度． 3.（2024·湖南·模拟预测）我们约定：若函数对于其自变量取任意实数，其函数值都满足（为常数），我们称这个函数为“巅峰函数”，这个常数称为“巅峰值”． (1)请判断函数是否是“巅峰函数”，如果是，求出此时的“巅峰值”，如果不是，请说明理由； (2)已知二次函数是“巅峰函数”． ①若，，且该“巅峰函数”的对称轴在轴的右侧，当函数图像与轴的两个交点之间的距离为2时，求出此“巅峰函数”的解析式，并写出此时的“巅峰值”； ②若该“巅峰函数”满足下列条件：A、；B、“巅峰值”为0；C、，若，试确定的取值范围． 【答案】(1)是“巅峰函数”， “巅峰值”为2023 (2)①，“巅峰值”为1；② 【分析】（1）将函数化为顶点式，由二次函数的图像与性质，即可获得答案； （2）①当，该函数解析式为，根据该函数图像与轴有两个交点，即方程有两个实数根，可得，；根据该“巅峰函数”的对称轴在轴的右侧，易得；由函数图像与轴的两个交点之间的距离为2，可知，进而可得，利用完全平方公式可得， 结合，解得，的值，即可获得答案；②首先根据二次函数满足“巅峰值”为0，易得，且，进而可得；当当时，可得，此时不存在，不符合题意；当时，结合可得，故有，结合可得；设，则有，由二次函数的性质可得当时，取最小值，最小值为0，所以，然后根据二次函数的图像和性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵函数， 又∵， ∴该函数图像开口向下， ∴该函数有最大值，最大值为2023， ∴该函数是“巅峰函数”， “巅峰值”为2023； （2）①∵当，该函数解析式为， ∵该函数图像与轴有两个交点，即方程有两个实数根， 设该方程的两个实数根为，， 则有，， ∵该“巅峰函数”的对称轴在轴的右侧， ∴其对称轴，即， ∵函数图像与轴的两个交点之间的距离为2， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，即， 将代入，可得， 解得或（舍去）， 将代入，可得， 解得， ∴此“巅峰函数”的解析式为， ∵， ∴此时的“巅峰值”为1； ②对于函数， ∵要满足“巅峰值”为0， ∴，且对于方程，可有， ∴， 又∵， ∴， 当时，可得， 此时， ∵， ∴不存在，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则有， ∵， ∴当时，取最小值，最小值为0， ∴， ∵，其对称轴为， 且， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义“巅峰函数”以及二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$