特训09 期末解答压轴题（六大题型，上海最新期末+最新11月期中）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版2024，上海专用）

特训09 期末解答压轴题（六大题型，上海最新期末+最新11月期中） 目录： 题型1：图形的平移 题型2：图形的翻折 题型3：图形的旋转 题型4：图形的运动综合 题型5：第10-12章的几何应用 题型6：第10-12章的代数综合 题型1：图形的平移 1．（22-23七年级上·上海宝山·期末）如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的． (1)画出满足条件的； (2)连接，如果的面积为，求出的面积． 2．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和宽如图所示（其中），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子屏幕． 图1 图2 (1)将②号黑板向左水平移动到与重合，③号黑板向右水平移动到与重合，此时电子屏幕全部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示．求电子屏幕的总面积；（用含的代数式表示） (2)将②号黑板向左水平移动长度，③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子屏幕的面积为，求③号黑板向右水平移动的长度．（用含的代数式表示） 题型2：图形的翻折 3．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点． (1)连接，如果，求的度数； (2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）． 4．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． (1)画出直线和点； (2)连接、，如果，求的度数； (3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积． 题型3：图形的旋转 5．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 6．（21-22七年级上·上海普陀·期末）如图，已知长方形，，，E是的中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得． (1)画出满足条件的； (2)　　　　　　 (3)连接，求的面积 7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）长方形中，，，对角线，            (1)如图1，将长方形绕点按顺时针方向旋转到长方形的位置，画出点扫过的图形，并求线段扫过的图形面积．（结果保留） (2)在图1中，将长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形（见图2），如果交于点，交于点，四边形是正方形，分别联结、，得到六边形，求这个六边形的面积（用的代数式表示），并写出的取值范围． (3)在第（2）小题中，记，，，如果六边形的面积等于长方形面积的两倍，求、、之间存在什么数量关系？并说明理由． 8．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图1，点为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点逆时针旋转，若恰好平分(如图2)，则_______ (2)将三角板绕点在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则________ (3)将图1中的三角板和射线同时绕点，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 9．（23-24七年级上·上海崇明·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角. (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由. 10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 11．（23-24七年级上·上海·期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，， （1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角 12．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如图，点为边长为的正方形的边延长线上一点，，连接，将绕着正方形的顶点旋转得到． （1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数： （2）连接，求的面积： （3）如图中，可以看作由先绕着正方形的顶点B顺时针旋转，再沿着方向平移个单位的二次基本运动所成，那么是否还可以看作由只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由． 13．（23-24七年级上·上海·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 题型4：图形的运动综合 14．（23-24七年级上·上海·期末）如图1，小明将一张长为4、宽为3的长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用点F表示）. 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决. （1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4中的位置，其中点B与点F 重合，请你求出平移的距离 ； （2）在图5中若∠GFD＝60°，则图3中的△ABF绕点 按 方向旋转 到图5的位置； （3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，试问：△AEH和△HB1D的面积大小关系.说明理由. 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如图，将直角三角形经过平移、旋转、翻折三种运动中的一种或多于一种运动后，得到三角形，其中点点点分别是点、点、点的对应点，且三点在同一直线上．连接，得到梯形．已知，． (1)直角三角形如何经过一种或几种运动后得到三角形？请写出具体的运动过程．（可能有多种方法，只要写出一种方法即可） (2)三角形是个什么形状的三角形？请简单说明理由． (3)已知，梯形的面积为98，求的长． 16．（21-22七年级上·上海宝山·期末）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，就是由沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移） (1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的与，与…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断） (2)如图2，在长方形中，，点分别是边中点，点在边延长线上，连接，如果是经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线；连接，线段和直线交于点，若的面积为3，求此长方形的边长的长． (3)如图3，是（2）中的长方形边上一点，如果，先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再平移2个单位，得到，连接线段，分别和“翻移线”交于点和点，求四边形的面积． 题型5：第10-12章的几何应用 17．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：_______； (2)写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：_______； (3)已知实数满足，求的值． 18．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 19．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 20．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．    (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 21．（24-25七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 材料一： 如图1所示，如果，那么和的边上的两条高相等．因为俩个三角形共用一条底边，所以两个三角形面积相等． 材料二： 如图2所示，如果，那么． 根据以上材料完成下列题目： 已知正方形与正方形，，． (1)如图3，若点B与点E重合，点H在线段上，点F在线段的延长线上，连接，将阴影部分三角形的面积记作S，则 （用含有a、b的代数式表示）． (2)如图4，若将正方形沿射线方向平移，使得点E、H在线段上（点H不与点C重合、点E不与点B重合），连接，设，将阴影部分三角形的面积记作S，则S= （用含有a、b、x的代数式表示）． (3)如图5，若将正方形沿射线方向平移，使得点H、E在的延长线上，连接，设，将阴影部分三角形的面积记作S，则 （用含有a、b、x的代数式表示）． (4)观察上述3题的结论，阴影部分的面积与小正方形的边长b是否有关？请说明理由． 22．（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 23．（24-25七年级上·上海·期中）如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 题型6：第10-12章的代数综合 24．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 25．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 26．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 27．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 28．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 29．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 30．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 期末解答压轴题（六大题型，上海最新期末+最新11月期中） 目录： 题型1：图形的平移 题型2：图形的翻折 题型3：图形的旋转 题型4：图形的运动综合 题型5：第10-12章的几何应用 题型6：第10-12章的代数综合 题型1：图形的平移 1．（22-23七年级上·上海宝山·期末）如图，已知，将沿直线平移得到（其中、、分别与、、对应），平移的距离为长度的． (1)画出满足条件的； (2)连接，如果的面积为，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平移作图的方法作图即可； （2）先根据平移的性质得到，则，过点A作于D，根据三角形面积公式得到，则． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由平移的性质可知， ∴， 过点A作于D， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移作图，平移的性质，三角形面积，熟知平移的相关知识是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海奉贤·期末）图（1）是一块智慧黑板的平面示意图，由①、②、③、④四块长方形小黑板组成，四块小黑板的长和宽如图所示（其中），②和③号黑板分别可以向左、向右水平移动，移动后就可以看到黑板后的电子屏幕． 图1 图2 (1)将②号黑板向左水平移动到与重合，③号黑板向右水平移动到与重合，此时电子屏幕全部呈现，没有黑板遮挡，如图（2）所示．求电子屏幕的总面积；（用含的代数式表示） (2)将②号黑板向左水平移动长度，③号黑板水平向右水平移动一定的长度，此时被黑板遮挡住的电子屏幕的面积为，求③号黑板向右水平移动的长度．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算． （1）分别求出电子屏幕的长和宽，再根据长方形面积公式，即可解答； （2）用电子屏幕的长，减去被遮住部分的长，再减去②号黑板向左水平移动长度，即可求解． 【解析】（1）解：根据题意可得：电子屏幕的长， 电子屏幕的宽， ∴电子屏幕的总面积． （2）解： ． 答：③号黑板向右水平移动的长度为． 题型2：图形的翻折 3．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点． (1)连接，如果，求的度数； (2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． （1）根据翻折变换的性质，结合长方形的性质得到，即可解决问题； （2）根据折叠可以得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于底的比得到，进而利用可解决问题． 【解析】（1）解：由折叠可得：， 又∵， ∴， 即； （2）解：连接， 由折叠可得， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4．（22-23七年级上·上海闵行·期末）已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． (1)画出直线和点； (2)连接、，如果，求的度数； (3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)28 【分析】（1）根据折叠的性质画出图形； （2）根据折叠的性质可得，再由，可得到的度数，再由对顶角相等，即可； （3）根据折叠的性质得到，，根据等高的两个三角形的面积比等于底的比求出的面积，进而得到的面积，即可． 【解析】（1）解：如图，直线和点即为所求； （2）解：∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形的对应边、对应角相等是解题的关键． 题型3：图形的旋转 5．（23-24七年级上·上海松江·期末）如图，在长方形中，连接，已知边，（） (1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论； (2)用含a、b的代数式表示三角形的面积； (3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解； （2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解； （3）由题得从而可求，再由，即可求解． 【解析】（1）解：如图 为所求三角形； （2）解：由旋转得 ， ， ； （3）解：由题意得 ， 解得：， ， ， 由图得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键． 6．（21-22七年级上·上海普陀·期末）如图，已知长方形，，，E是的中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得． (1)画出满足条件的； (2)　　　　　　 (3)连接，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形； （2）根据（1）中的不同位置，分类求解即可； （3）根据（1）中的不同位置，分类计算的面积即可； 【解析】（1）解：将绕点顺时针或逆时针旋转即可得出满足条件的三角形；如图，即为所求； （2）解：∵E是的中点 ∴ 由旋转的性质可得：，, 由此易得：三点共线； 当为绕点顺时针旋转所得时； 当为绕点逆时针旋转所得时； 故答案为：或 （3）解：当为绕点顺时针旋转所得时； 当为绕点逆时针旋转所得时； 综上，的面积为或； 【点睛】本题考查了图形的旋转；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7．（23-24七年级上·上海宝山·期末）长方形中，，，对角线，            (1)如图1，将长方形绕点按顺时针方向旋转到长方形的位置，画出点扫过的图形，并求线段扫过的图形面积．（结果保留） (2)在图1中，将长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形（见图2），如果交于点，交于点，四边形是正方形，分别联结、，得到六边形，求这个六边形的面积（用的代数式表示），并写出的取值范围． (3)在第（2）小题中，记，，，如果六边形的面积等于长方形面积的两倍，求、、之间存在什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得到以点A为圆心，长为半径的即为点C扫过的图形，以点A为圆心，长为半径的扇形即为线段扫过的图形，根据圆面积公式即可得到线段扫过的图形面积； （2）用含x的代数式表示出相应线段，根据即可得到答案； （3）根据和六边形的面积等于长方形面积的两倍即可得到答案． 此题考查了列代数式、整式的混合运算的应用，数形结合是解题的关键． 【解析】（1）解：如图，以点A为圆心，长为半径的即为点C扫过的图形，以点A为圆心，长为半径的扇形即为线段扫过的图形， ∴线段扫过的图形面积为． （2）解：由题意可知，，， 设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴六边形的面积 ， 即，其中； （3），理由如下： ∵，，， ∴由（2）可得，， ∵六边形的面积等于长方形面积的两倍， ∴, ∴， 则． 8．（23-24七年级上·上海金山·期末）如图1，点为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点逆时针旋转，若恰好平分(如图2)，则_______ (2)将三角板绕点在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则________ (3)将图1中的三角板和射线同时绕点，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 【答案】(1) (2) (3)第或时，恰好与在同一直线上 【分析】本题考查了角平分线的相关计算，一元一次方程的应用，角度的计算，正确画出图形并分类讨论是解题的关键． （1）恰好平分，，得到，又由，即可得到的度数； （2）设，则，当在的内部时，得到，求出，即可得到的度数； （3）设第秒时，恰好与在同一条直线上，分两种情况画出图形，分别列出方程，解方程即可． 【解析】（1）解：∵恰好平分， ∴ ∵ ∴； 故答案为：； （2）解： 设， ∵ ∴ ∵, ∴ 解得 ∴； 故答案为：； （3）解：设第秒时，恰好与在同一条直线上，当恰好在射线上时，如图， ， ∴ 解得 当在的反向延长线上时，如图， 解得 ∴第10秒或46秒时，与恰好在同一条直线上． 9．（23-24七年级上·上海崇明·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角、如图①所示，若，则是的内半角. (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则______； (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成内半角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【分析】（1）根据内半角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质可得：，，再根据内半角的定义，即可求解； （3）分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【解析】（1）解：∵是的内半角，， ∴ ∵， ∴， （2）∵， ， ∴，， ∵是的内半角， ∴， ∴， ∴旋转的角度为21°时，是的内半角； （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：，∴； 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3，∵是的内半角，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图4，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成内半角. 【点睛】本题主要考查了角的和与差，图形旋转的性质，一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 10．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一把含角的直角三角尺的直角顶点放在点处，一直角边与直线重合，另一直角边、斜边都在直线的下方． (1)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转，如图所示，此时________； (2)将图中的三角尺绕点按逆时针方向旋转一个角度（）， ①当旋转的角度α为何值时，射线所在的直线是的对称轴； ②是否存在相应的旋转角度α使得与互补？若存在，请直接写出α的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为或；②为或． 【分析】本题考查了图形的旋转、平角、角的和差倍分，轴对称的性质，熟练掌握角的运算是解题关键． （1）根据旋转的性质即可得； （2）①根据角的和差及轴对称的性质分三角尺在的上方和三角尺在的下方两种情况求解即可；②分在内和在外两种情况讨论求解即可． ． 【解析】（1）解：由旋转的性质可知， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：； （2）解∶①如图，当三角尺在的上方时， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴； 如图，当三角尺在的下方时， ∵， ∴， ∵射线所在的直线是的对称轴， ∴， ∴， ∴； 综上，为或． ②如图，当在内时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得， 如图，当在外时， ∵，， ∴， ∴， ∵与互补， ∴即， 解得； 综上，为或时，与互补． 11．（23-24七年级上·上海·期末）如图，正方形，点是线段延长线一点，连结，， （1）将线段沿着射线运动，使得点与点重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （2）将三角形绕着点旋转，使得与重合，点落在点，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积. （3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角 【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据扇形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【解析】解：（1） 答：线段扫过的平面部分的面积为 （2）三角形绕着点旋转，使得与重合，则三角形旋转的角度是90°或270° ∴或 ∴或 答：扇形的面积为或 （3）如图1，旋转中心：边的中点为，顺时针 如图2，旋转中心：点，顺时针旋转 如图3，旋转中心：正方形对角线交点，顺时针旋转 【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． 12．（23-24七年级上·上海普陀·期末）如图，点为边长为的正方形的边延长线上一点，，连接，将绕着正方形的顶点旋转得到． （1）写出上述旋转的旋转方向和旋转角度数： （2）连接，求的面积： （3）如图中，可以看作由先绕着正方形的顶点B顺时针旋转，再沿着方向平移个单位的二次基本运动所成，那么是否还可以看作由只通过一次旋转运动而成呢？如果可以，请写出（同时在图中画出）旋转中心、旋转方向和旋转角度数，如果不能，则说明理由． 【答案】（1）旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°；（2）5；（3）可以，图见解析，绕点O顺时针旋转90°得到 【分析】（1）根据图形和正方形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质和旋转的性质可得AD=DC=BC=3，DF=BE=1，从而求出EC和CF，最后利用=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF即可求出结论； （3）根据旋转中心、旋转方向和旋转角的定义即可得出结论． 【解析】解：（1）由图易知：由到的旋转方向为逆时针旋转， ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠BAD=90° 即旋转角为90° 综上：旋转方向：逆时针旋转，旋转角：90°； （2）∵正方形ABCD的边长为3， ∴AD=DC=BC=3，DF=BE=1 ∴EC=BE＋BC=4，CF=DC－DF=2 ∴=S梯形AECD－S△ADF－S△ECF =DC（AD＋EC）－AD·DF－EC·CF =×3×（3＋4）－×3×1－×4×2 = =5； （3）可以， ∵在和中，点A的对应点是点D，点B的对应点是点A，点E的对称点是点G ∴作线段AD的对称轴和线段BA的对称轴交于点O，根据旋转中心的定义，由到，点O即为旋转中心，由图易知旋转方向为顺时针旋转 连接OA、OB，则∠BOA=90° 即旋转角为90° 综上：绕点O顺时针旋转90°得到． 【点睛】此题考查的是图形的旋转，掌握旋转的性质、旋转中心、旋转方向和旋转角的定义是解题关键． 13．（23-24七年级上·上海·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．    (1)按照题目要求画出图形； (2)若正方形边长为3，，求的面积； (3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形； （2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积； （3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小． 【解析】（1）解：如图所示；      （2）根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为3， ∴，， ∴； （3）； 理由：根据旋转的性质可知：， ∵正方形的边长为m， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和． 题型4：图形的运动综合 14．（23-24七年级上·上海·期末）如图1，小明将一张长为4、宽为3的长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用点F表示）. 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决. （1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4中的位置，其中点B与点F 重合，请你求出平移的距离 ； （2）在图5中若∠GFD＝60°，则图3中的△ABF绕点 按 方向旋转 到图5的位置； （3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，试问：△AEH和△HB1D的面积大小关系.说明理由. 【答案】（1）3；（2）点F、顺时针、30°(或者逆时针、330°)（3）相等，理由见解析. 【解析】（1）根据题意，分析可得：图形平移的距离就是线段BC1的长，进而在Rt△ABC中求得BC1=3cm，即图形平移的距离是3cm； （2））先根据∠GFD=60°，得出∠AFA1=30°，即可得出图3中的△ABF绕点按F顺时针方向旋转30°到图5的位置； （3）借助平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，即可证出△AHE≌△DHB1，从而得出△AEH和△HB1D的面积相等． 试题解析：（1）图形平移的距离就是线段BC1的长， 又∵在Rt△ABC中，长为4、宽为3， ∴BF=3cm， ∴平移的距离为3cm， 故答案为：3； （2）∵∠GFD=60°， ∴∠AFA1=30°， 图3中的△ABF绕点按F顺时针方向旋转30°到图5的位置， 故答案为F，顺时针，30°； （3）相等，理由如下： 在△AHE与△DHB1中， ∵∠FAB1=∠EDF=30°， ∵FD=FA，EF=FB=FB1， ∴FD-FB1=FA-FE，即AE=DB1， 又∵∠AHE=∠DHB1， ∴△AHE≌△DHB1（AAS）， ∴.（不用全等，第一次剪开两三角形面积相等；第二次翻折两三角形面积相等，减去公共部分的四边形面积可证；用数学语言描述） 【点睛】本题考查了图形剪拼，是一道全等三角形的判定、旋转的性质、平移的性质和直角三角形的性质结合求解的综合题，灵活运用相关知识是解题的关键. 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如图，将直角三角形经过平移、旋转、翻折三种运动中的一种或多于一种运动后，得到三角形，其中点点点分别是点、点、点的对应点，且三点在同一直线上．连接，得到梯形．已知，． (1)直角三角形如何经过一种或几种运动后得到三角形？请写出具体的运动过程．（可能有多种方法，只要写出一种方法即可） (2)三角形是个什么形状的三角形？请简单说明理由． (3)已知，梯形的面积为98，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论； （3）根据平移的性质和勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）直角三角形绕着点顺时针旋转，然后绕着的中点旋转得到三角形； （2）是等腰直角三角形． 理由如下：， ， 经过运动后得到， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）经过运动后得到， ，， ， 梯形的面积为98， ， ， （舍去负值）， ， ．（不用勾股定理，梯形减去两个相等面积24的三角形面积，剩下等腰直角三角形面积为50，设CE=x，，解得x=10，负值舍去；用数学语言描述） 【点睛】本题考查了几何变换的类型，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握平移、旋转、轴对称的性质是解题的关键． 16．（21-22七年级上·上海宝山·期末）数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，就是由沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移） (1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的与，与…）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断） (2)如图2，在长方形中，，点分别是边中点，点在边延长线上，连接，如果是经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线；连接，线段和直线交于点，若的面积为3，求此长方形的边长的长． (3)如图3，是（2）中的长方形边上一点，如果，先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再平移2个单位，得到，连接线段，分别和“翻移线”交于点和点，求四边形的面积． 【答案】(1)“翻移运动”对应点（指图1中的与，与连线被翻移线平分 (2)3 (3)11或10 【分析】（1）画出图形，即可得出结论； （2）作直线，即为“翻移线”直线，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可； （3）分两种情况：①先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向上平移2个单位，②先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可． 【解析】（1）解：如图1，连接，， 则“翻移运动”对应点（指图1中的与，与连线被翻移线平分； （2）解：作直线，即为“翻移线”直线，如图2所示： 四边形是长方形， ，， 由“翻移运动”的性质得：，，是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示： 设翻折后的三角形为，连接， 则， 同（2）得：，， ，， ， 四边形的面积梯形的面积的面积的面积； ②先按（2）的“翻移线”直线翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示： 设翻折后的三角形为，连接， 则， 同（2）得：，， ，， ， 四边形的面积梯形的面积的面积的面积； 综上所述，四边形的面积为11或10． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质． 题型5：第10-12章的几何应用 17．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到 (1)写出由图2所表示的数学等式：_______； (2)写出由图3所表示的数学等式（利用阴影部分）：_______； (3)已知实数满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要是在完全平方公式的几何背景图形的基础上，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）根据题意可得大正方形的边长为，还可以看成是由1个边长为a的正方形， 1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为a的长方形， 2个长为c，宽为b的长方形组成的，即可求解； （2）根据题意可得阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是边长为a的大正方形的面积减去两个长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积，即可求解； （3）利用（1）中所得的结果进行等式变换直接带入求得结果即可． 【解析】（1）解：图2中大正方形的边长为，还可以看成是由1个边长为a的正方形， 1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长为b，宽为a的长方形，2个长为c，宽为a的长方形， 2个长为c，宽为b的长方形组成的， ∴； （2）解：图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积， ∴； （3）解：当 ． 18．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1）；（2）①；②这个长方形的面积为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算． （1）由图形得出完全平方公式即可； （2）①根据完全平方公式计算出的值即可； ②令，，则，，根据完全平方公式计算即可． 【解析】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为， 因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成， 由此可得：． 故答案为：； （2）①由可得：， 将，代入 得：， 解得：； ②令，，则，， 整体代入可得： ， ∴， 故这个长方形的面积为． 19．（24-25七年级上·上海·期中）（1）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后用四个小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出之间的等量关系：_______ （2）若，则_______． （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用． （1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案； （2）将，代入（1）中公式即可； （3）由正方形的边长为x，则，得，设，得，则，代入即可． 【解析】解：（1）由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为， 大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， 将代入得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵正方形的边长为x， ∴， ∴， 设， ∴， ∴ ， ∴图中阴影部分的面积为． 20．（21-22八年级上·陕西渭南·阶段练习）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．    (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的大正方形，试用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______； (3)利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值； (4)如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若，，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)21 (4)36 【分析】（1）根据大正方形的边长为，而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案； （2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案； （3）由（2）得结论可得，然后将代入进行计算即可得出结论； （4）分别求出，，，再根据又得，然后由（1）可知：，从而得，再将进行计算即可得出答案． 【解析】（1）依题意得：； 故答案为：． （2）依题意得：； 故答案为：． （3）由（2）可知：， ∴， 即：， 又∵ ∴； （4） ． 当，时， 原式． 【点睛】此题主要考查了集合背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． 21．（24-25七年级上·上海·期中）阅读下列材料： 材料一： 如图1所示，如果，那么和的边上的两条高相等．因为俩个三角形共用一条底边，所以两个三角形面积相等． 材料二： 如图2所示，如果，那么． 根据以上材料完成下列题目： 已知正方形与正方形，，． (1)如图3，若点B与点E重合，点H在线段上，点F在线段的延长线上，连接，将阴影部分三角形的面积记作S，则 （用含有a、b的代数式表示）． (2)如图4，若将正方形沿射线方向平移，使得点E、H在线段上（点H不与点C重合、点E不与点B重合），连接，设，将阴影部分三角形的面积记作S，则S= （用含有a、b、x的代数式表示）． (3)如图5，若将正方形沿射线方向平移，使得点H、E在的延长线上，连接，设，将阴影部分三角形的面积记作S，则 （用含有a、b、x的代数式表示）． (4)观察上述3题的结论，阴影部分的面积与小正方形的边长b是否有关？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)无关，见解析 【分析】考查了正方形的性质，平行线的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等高模型解决问题． （1）证明，推出，可得结论； （2）证明，推出，可得结论； （3）证明，推出，可得结论． （4）由前面3题的结论可得出答案． 【解析】（1）解：如图3中，连接． ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：如图4中，连接． ∵四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图5中，连接． 同法可证，， ∴． 故答案为：． （4）解：由上述3题的结论可知，阴影部分的面积与小正方形的边长b无关， 理由：E在直线上，设，则， 由三角形面积可知． 即阴影部分的面积与小正方形的边长b无关． 22．（24-25七年级上·上海松江·期中）现有、、三种不同型号的卡片若干张（如图（1）），其中型卡片是边长为的正方形．型卡片是长为、宽为的长方形，型卡片是边长为的正方形，且．我们可以选取一些卡片，无重叠、无缝隙地拼成不同形状的长方形 (1)用型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张可以拼成一个正方形如图（2），该正方形的边长为______，试根据该图形写出一个表示、数量关系的等式：______． (2)现有型卡片2张，型卡片2张，型卡片2张，从这6张卡片中去掉2张．用余下的4张卡片，拼出一个长方形，请画出大致的拼图，并写出拼成的长方形的边长（请给出所有可能的方案）． (3)如果要拼一个长为、宽为的长方形，设需要型卡片张，型卡片张，型卡片张，那么______． 【答案】(1)； (2)图见解析，长方形的长和宽分别为或或或或 (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据图形之间的关系，结合图形面积之间的关系进行求解即可； （2）当2张A，2张B时，当2张B，2张C时，当1张A，2张B，1张C时，三种情况画出示意图求解即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【解析】（1）解：由题意得，该正方形的边长为，则该正方形的面积为， ∵该正方形是由型卡片1张，型卡片2张，型卡片1张拼成的， ∴该正方形的面积为， ∴， 故答案为：；； （2）解：当2张A，2张B时，此时长方形的长和宽分别为或 当2张B，2张C时，此时长方形的长和宽分别为或 当1张A    ，2张B，1张C时，此时长方形的长和宽分别为； 综上所述，长方形的长和宽分别为或或或或； （3）解：， ∴需要A卡片2张，B卡片5张，C卡片2张， ∴， ∴． 23．（24-25七年级上·上海·期中）如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2)，； (3) (4)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）由题意得大正方形的边长为，根据面积公式即可表示； （2）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （3）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （4）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【解析】（1）解：由题意得大正方形的边长为，则面积为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； （3）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （4）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以． 题型6：第10-12章的代数综合 24．（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为，图见解析 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； （2）可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，求解①②即可； （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【解析】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图： 25．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）阅读材料，完成下列问题． 材料：已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则：， 比较系数得：，解得：， ∴； 解法二：设（A为整式）； 由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故． (1)已知多项式有两个因式分别是和，求和的值； (2)已知多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握常见的几种因式分解的方法和多项式乘多项式法则． （1）先设，然后令，从而列出关于的方程，解方程即可； （2）先令，，再令，求出，再根据已知条件中的关系，列出关于的方程，解方程即可． 【解析】（1）解：设， 令，则， 令，则， 即， 解得：； （2）解：令， ， 再令，则； 令，则； ∵多项式除以所得的余数，比该多项式除以所得的余数少1， ， ， ， ， ． 26．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【解析】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 27．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）【阅读材料】两个两位数相乘，如果这两个因数的个位数字相同，十位数字的和是10，该类乘法可以利用一种特殊的速算方法： 比如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以． 又如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，所以． 该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性： 观察与归纳： (1)观察上述例子，请归纳这种速算方法，并以为例说明； 推理与解释： (2)该速算方法可以将其用字母进行表示，设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为_______________， 用速算方法得到的结果可以表示为， 请运用所学数学知识，说明满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同． 探索与推广： (3)已知某宝藏的开锁密码是一个自然数，是一个正整数的平方，是另一个正整数的平方．你能凭借自己的智慧解开密码获取宝藏吗？（请简要说明你的解密过程和理由） 【答案】(1)归纳见解析； (2)见解析；；． (3) 【分析】本题考查了整式的乘法以及因式分解的应用，解二元一次方程组； （1）根据材料写出速算方法，并用速算方法计算，即可求解； （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为， 进而按照整式的乘法进行计算，最后根据因式分解得出结论； （3）设，，得出，根据平方差公式因式分解得出，进而求得的值，即可求解． 【解析】（1）解：这种速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐） 例如： （2）设其中一个因数的十位数字为，个位数字是，（、表示的整数） 则该数可表示为，另一因数可表示为， ∴ ∴满足条件的两个因数相乘所得结果一定与速算方法所得结果相同； 故答案为：；． （3）解：设， ∴ ∴ ∴ ∵是素数， ∴， ∵是正整数， ∴ 解得： ∴ 28．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【解析】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． 29．（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【解析】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 30．（24-25七年级上·上海·期中）阅读材料： 两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），比如，它们的乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；再如，它们乘积的前两位是，它们乘积的后两位是，所以；又如，，不足两位，就将6写在百位；，不足两位，就将9写在个位，十位上写零，所以． 该速算方法可以用我们所学的整式的乘法的知识说明其合理性： 设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a，b表示1到9的整数）则该数可表示为，另一因数可表示为．两数相乘可得： ． （注：其中表示计算结果的前两位，表示计算结果的后两位） 问题：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．如、、等 (1)探索该类乘法的速算方法，请以为例写出你的计算步骤． (2)设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为________． 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为________．（a，b表示的正整数） (3)请模仿阅读材料中所用的方法说明你速算方法的合理性． 【答案】(1)两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，列代数式，有理数的乘法计算： （1）两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐），据此求解即可； （2）一个两位数的十位数字乘以10再加上这个两位数的个位数字即为该两位数表示的数，据此求解即可； （3），进一步根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此可证明结论． 【解析】（1）解：两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）， ； （2）解：设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为； 设另一因数的十位数字是b，则该数可以表示为， 故答案为：；； （3）证明： ， ∴两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10，那么将十位数字与个位数字相同的因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足的两位，用零补齐）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$