专题10 二次函数综合题存在性问题特殊四边形类分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题10 二次函数综合题存在性问题特殊四边形类分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 存在性平行四边形】 1 【题型2 存在性矩形】 31 【题型3 存在性菱形】 65 【题型4 存在性正方形】 95 【题型1 存在性平行四边形】 1．如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．点在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积； (3)当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 3．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 6．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； ②若点Q为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点Q的坐标； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 8．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 9．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，求线段的长度最大值． (3)点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，（即当线段的长度最大时），求的周长最小值． (4)在抛物线上找点P，x轴上找点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 【题型2 存在性矩形】 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 12．二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； (3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 14．如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．    15．如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点是（1）中抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，点是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方． ①试求的最大面积以及此时点的坐标； ②在①的条件下求的最小值． (3)抛物线上是否存在点，平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）求出点A的坐标和点D的横坐标； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 　 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值； （3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由． 18．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 存在性菱形】 21．【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 25．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 26．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于点，连接，为抛物线的顶点． (1)求抛物线顶点坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一动点，过作于点，过作轴于点，交直线于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点为的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．在平面直角坐标系中确定点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 28．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 29．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【题型4 存在性正方形】 31．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ； (2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式； (3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值． 32．如图①，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)如图②，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 33．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值．   34．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题． (1)求此抛物线L的解析式； (2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值； (3)矩形为正方形时，直接写出m的值． 35．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 36．如图①，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，点D是抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，过点D、E作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G、F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数解析式及对称轴； (2)用含m的代数式表示的长； (3)当，且四边形是正方形时，求m的值； (4)过点A作的平行线交y轴于点H，如图②，当四边形在直线、之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出m的值． 37． 如图，二次函数 的图象与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．点是轴左侧抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于另一点． (1)求点，的坐标．． (2)当点在第二象限时，连接，交直线于点．当是中点时，求的值． (3)点是抛物线上一点，横坐标为抛物线在、之间的图象记为（包括边界），设图象最高点与最低点纵坐标的差为，求与的函数关系式． (4)以为边作正方形，当点在正方形的边上时，直接写出点的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 40．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数综合题存在性问题特殊四边形类分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 存在性平行四边形】 1 【题型2 存在性矩形】 31 【题型3 存在性菱形】 65 【题型4 存在性正方形】 95 【题型1 存在性平行四边形】 1．如图，二次函数的图象与轴交于点和，点的坐标是，与轴交于点．点在抛物线上运动． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2．当点在第四象限的抛物线上运动时，连接，，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大面积； (3)当点在轴上运动时，借助图1探究以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为； (2)当时，的面积最大，最大值为6．此时点的坐标为； (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形解答：①当时，四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质求得线段即可；②当时，四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质求得线段即可求得结论． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：． 抛物线的表达式为； （2）解：连接，过点作于点，如图， 点的坐标是，点， ，． 点在第四象限的抛物线上， 设点的坐标为， 则，． ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为6． 此时点的坐标为； （3）解：点的坐标为或或，或，．理由： ①当时，四边形为平行四边形，如图， 轴， 令，则， 解得：或3． ． ． 四边形为平行四边形， ． ． ； 四边形为平行四边形，如图， 同理可得：， ； ②当时，四边形为平行四边形时，如图， 过点作轴于点， 四边形为平行四边形， ． ． 在和中， ， ． ，． 令，则， 解得：． ， ， ． ． ； 如图， 同理可得：， ，． 令，则， 解得：． ， ． ， ． ． ． ， 综上，点的坐标为或或或． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)点的横坐标为； (3)的值为． 【分析】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解． （1）把点，点的坐标代入抛物线，得出抛物线的解析式为，令，得点的坐标，设直线的解析式为，把，的坐标代入，得出直线的解析式为； （2）由是以为腰的等腰直角三角形，得出轴，即点的纵坐标为3，把代入，得或2，由轴，得出点的横坐标为； （3）由抛物线的解析式可得出，由直线的解析式可得，由以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，可得，由方程，即可得无解． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线， 得， 解得 所以抛物线的解析式为， 令，解得，，得点的坐标， 设直线的解析式为，把，的坐标代入， 得， 解得 所以直线的解析式为； （2）解：是以为腰的等腰直角三角形， 轴，即点的纵坐标为3， 把代入，得或2， 轴， 点的横坐标为； （3）解：抛物线的解析式为，的横坐标为 ， 直线的解析式为． ， 以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形， ， ，化简得，无解， 或，化简得， 解得， 当以、、、为顶点的四边形是以为一边的平行四边形时，的值为． 3．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 【分析】（）求出点坐标及抛物线对称轴，分和两种情况利用平面内两点间距离公式列出方程解答即可求解； （）根据对称性求出新的抛物线的顶点坐标，进而得到新抛物线的解析式，由点坐标得，根据平行四边形的对边相等可得，设)，则点或，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数与几何图形，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 【详解】（1）解：存在． 令， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，； 综上所述，点的坐标为或或或； （2）解：存在． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设)，则点或， ①当时， 则， 解得， ∴， ∴，； ②.当时， 则， 解得， ∴， ∴，； 综上所述，点的坐标分别为，或，． 4．已知二次函数与y轴交于C，与x轴交于点，两点，作直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点D是直线上方抛物线上的一动点，过点D作y轴平行线交于点E，当线段的长度取最大时，求点D的坐标； (3)在（2）中取最大值的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求解直线为，设，则，可得，再进一步求解； （3）如图，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把点，代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：； ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形； 如图，当为对角线时， ∵，，设，， ∴，解得：， ∴； 当为对角线时，如图， 同理可得：，解得：， ∴； 如图，当为对角线时， 同理可得：，解得：， ∴； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 5．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 6．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或或 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【详解】（1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)①如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； ②若点Q为抛物线对称轴上一个动点，当时，求点Q的坐标； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)或或． 【分析】本题主要考查了二次函数及其图象的性质、平行四边形的分类、一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握平行四边形在坐标系中的点的坐标特点是解决问题的关键． （1）将点A、C两点代入抛物线解析式，求得b,c的值即可解答； （2）①作于D，交于E，连接，作于F，可求得，从而得出要使最大，只需的面积最大，设，从而表示出，从而得出当时，，从而完成解答；②设，根据列出方程求得t的值，从而完成解答； （3）分、、三种情况，分别根据平行四边形和点坐标的关系得出N的横坐标，进而完成解答． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， ∴； （2）解：①如图1：作于D，交于E，连接，作于F， ∵， ∴， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴， ∴要使最大，只需的面积最大， 设， ∴, ∴， ∴当时，， 由，即，解得： ∴点P到直线AC距离的最大值为： ②∵抛物线的对称轴为直线：， ∴设， 由，解得：， ∴， 由得，，解得：， ∴； （3）解：如图2， 当时， ∵，N的横坐标为：， ∴， ∴当时，， ∴， 当时（图中）， 此时， ∴当时，， ∴， 当（图中）， 此时， ∴当时，， ∴． 综上所述：或或． 8．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点坐标； (2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)面积最大值为，； (3)点的坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点坐标； （）连接，求出直线的表达式为，过点作轴的垂线，交于点，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解； （）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：连接， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 过点作轴的垂线，交于点， 则， ∴当取最大值时，的面积最大， 设，则， ∵点位于第三象限， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 由得，抛物线的对称轴为直线， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， 当为平行四边形的边时，， 设点的横坐标为， ∵轴， ∴， 解得或， ∵点在抛物线上， ∴点的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 9．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，求线段的长度最大值． (3)点是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线上方的一点，点P为抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，（即当线段的长度最大时），求的周长最小值． (4)在抛物线上找点P，x轴上找点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为2 (3) (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设，则，得出的长，利用二次函数的最值进行求解即可； （3）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，根据二次函数的性质得到点P为与抛物线对称轴交点时，最小，从而的周长最小值为，利用两点间距离求解即可； （4）分三种情况①为对角线时，则互相平分；②为对角线时，则互相平分；③为对角线时，则互相平分，利用平行四边形对角线互相平分进行求解即可． 【详解】（1）解：直线过B、C两点， 当时，， ， 当时，， ， ， 把，分别代入得： ，解得：， 抛物线的解析式为； （2）设，则， ， 当时，的值最大，最大值为2； （3） ， 对称轴为， 如图，连接交抛物线的对称轴于点P，连接， ， 轴， ， 关于抛物线对称轴对称， 点P为抛物线对称轴上一动点， ， ， 点P为与抛物线对称轴交点时，最小， 此时， 的周长最小值为， ， ，， 的周长最小值为； （4）对于， 令，则，解得：，， ， 设，， 又， ①为对角线时，则互相平分， 则中点纵坐标为，的中点中坐标为， ， 解得：，（与C重合舍去）， ； ②为对角线时，则互相平分， 则中点纵坐标为，的中点中坐标为， ， 解得：，（与C重合舍去）， ； ③为对角线时，则互相平分， 则中点纵坐标为，的中点中坐标为， ， 解得：，， 或； 综上所述：或或． 【题型2 存在性矩形】 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 12．二次函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、B两点关于抛物线对称轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标． 拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；拓展设问：存在， 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标． 拓展设问：设，得出，， ，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）是以点为直角顶点的直角三角形时，. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴对称，， ∴点， 设， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴. 拓展设问：解：存在，设，其中，， ，， ①当时，即， ∴， ∴， 解得（舍）或（舍）； ②时， 即， ∴， 解得（舍）或， ∴， 设所在直线的一次函数关系式为 又∵点，点， ∴ 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为 ∵四边形为矩形， ∴ ∴可设所在直线的一次函数关系式为 将点代入中， 即 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为， 设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ，连接，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 解得： ∴点 综上所述，. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； (3)点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 【答案】(1) (2)的周长最大值为 ，； (3)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点D坐标，可得直线解析式为：，则，证明，进而得到，则是等腰直角三角形，推出；设点F坐标，则点H坐标，则，则的周长，由二次函数的性质可得当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）先求出顶点M的坐标为，则；设，则，，由矩形的性质可得是直角三角形，故可分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得： 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵D、C关于对称轴对称，点C坐标， ∴点D坐标， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点F坐标，则点H坐标， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点M的坐标为， ∴； 设， ∴，， ∵以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形， ∴是直角三角形， 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 14．如图，抛物线与x轴交于点,．与y轴交于点C，，直线交抛物线于点E，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为直线上一点，点N为直线EC上一点，求的最小值； (3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，（1，﹣4）或（7，﹣11）． 【分析】（1）求出C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，当M、N、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可； （3）分两种情况讨论：①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，求出直线的解析式为，可求出直线的解析式为，联立方程组，可求得，由C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E，可得，同理可得；②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点，此时P点不存在． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将点，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：作C点关于的对称点，过作交于N，交于点M，连接，，    ∴， ∴， ∴M、N、三点共线时，的值最小， ∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）解：在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： ①以为矩形的边，如图2，过点C作交抛物线于，过点E作交抛物线于点，过点作交于，过作交于，    ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴交点为G，直线与x轴的交点为H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 可求直线的解析式为， 联立方程组， 解得（舍）或， ∴； ∵C点向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到点E， ∴； 同理可得； ②当为矩形对角线时，如图3，以EC为直径的圆与抛物线没有交点， ∴此时P点不存在； 综上所述：Q点坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，利用轴对称求最短距离的方法，矩形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 15．如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点是（1）中抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，点是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方． ①试求的最大面积以及此时点的坐标； ②在①的条件下求的最小值． (3)抛物线上是否存在点，平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的面积有最大值，此时；② (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法，即可求出抛物线的函数解析式； （2）设直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值此时；过点作交于点，交对称轴于点，交轴于点，当、、、四点共线时，有最小值，利用等积法，即为所求； （3）分两种情况讨论：当点在上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，则有，设，，则，求出，再由，得到①，由，得到，联立①②，求出点的坐标；当点在直线的下方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过作交于点，则有，求出点的坐标；再根据，即可求出点． 【详解】（1）∵点，点在抛物线 ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式：， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； 过点作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值； 此时． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 过点作交于点，交对称轴于点，交轴于点， ∵直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值是． （3）存在点，使得以、、、为顶点是四边形是以为边的矩形，理由如下： 当点在上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵， ∴ ∴ 设， ∴ 解得（舍）或， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 联立，得或（舍）， ∴点； 当点在直线的下方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用垂线段最短求最短距离，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC． （1）求出点A的坐标和点D的横坐标； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值； （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由． 　 【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a；（3）能，P（1，）或P（1，﹣4） 【分析】(1)令抛物线y=0，即可求出A点和B点坐标，再根据CD=4AC得到D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍，由此求解； (2) 过E作EF∥y轴交直线l于F，设E(x，ax2-2ax-3a)，得到F(x，ax+a)，求出EF=ax2-3ax-4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； (3)令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D(4，5a)，设P(1，m)，分类讨论：①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论． 【详解】解：(1) 当y=ax2-2ax-3a=a(x+1)(x-3)=0时，得A(-1，0），B(3，0)， ∵直线l：y=kx+b过A(-1，0)， ∴0=-k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， ∵CD=4AC， ∴D点横坐标为A点横坐标的绝对值的4倍， ∴点D的横坐标为4， 故答案为：A(-1，0)，点D的横坐标为4； (2)D的横坐标代入二次函数得到：D(4,5a)， 如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F， 设E(x，ax2﹣2ax﹣3a)， ∵直线l：y=kx+b过A（-1，0）， ∴0=-k+b，即k=b， ∴直线l：y=kx+k， 则F(x，ax+a)，EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a， ∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF(ax2﹣3ax﹣4a)(x+1)(ax2﹣3ax﹣4a)x(ax2﹣3ax﹣4a) ， ∵E是直线l上方的抛物线上的动点， ∴时，△ACE的面积的最大值为时， ∵△ACE的面积的最大值为， ∴，解得a， 故答案为：a； (3)以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，理由如下： D（4，5a）， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴设P（1，m）， 分类讨论： 情况一：如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边， ∵A点横坐标在D点横坐标左边5个单位， ∴Q点横坐标在P点横坐标左边5个单位，即Q横坐标为：1-5=-4， 将x=-4代入二次函数解析式中求得Q纵坐标为21a， ∴Q(-4，21a)， ∴m=21a+5a=26a，则P(1，26a)， ∵四边形ADPQ是矩形， ∴∠ADP=90°， ∴AD2+PD2=AP2， ∴52+(5a)2+32+(26a-5a)2=22+(26a)2， 解得a²=，又a<0， ∴a=，此时P(1，)； 情况二：如图3，若AD是矩形APDQ的对角线， ∵D点横坐标在P点横坐标右边3个单位， ∴Q点横坐标在A点横坐标右边3个单位，即Q点横坐标为-1+3=2， 将x=2代入抛物线中求得Q点纵坐标为-3a， ∴Q(2，-3a)， ∴m=5a-(-3a)=8a，则P(1，8a)， ∵四边形APDQ是矩形， ∴∠APD=90°， ∴AP2+PD2=AD2， ∴(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+(5a)2， 解得a²=，又a<0， ∴a=，此时P(1，-4)， 综上所述，P点坐标存在，且P(1，)或P(1，﹣4) ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与x轴的交点坐标，动点问题之三角形面积的最值问题，矩形的存在性问题等，题目较难，具有一定的综合性，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值； （3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝；（3）点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）． 【分析】（1）结合A（﹣2，0），B（8，0）由两点式可得抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），求出点C坐标，代入即可求出抛物线解析式； （2）点P在抛物线上，可设P（m，﹣m2+m+4），结合C点坐标可得直线PC的解析式，已知直线与对称轴交点E的坐标，DE长可知，根据S△ABC＝×AB×OC求出其面积，由题中条件可知△CDP的面积，由三角形面积公式可得m的值； （3）分类讨论，①若BC为边，∠CBK＝90°时，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，根据AAS证明△BCO≌△BC'E，依据全等的性质可得点B点C的坐标，求出直线BC的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，由矩形的性质可知xC﹣xB＝xH﹣xK，，结合点B、C、D点坐标可得H点坐标.②若BC为边，∠BCK＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣x2+x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况. 【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0） ∴OA＝2，OB＝8， ∵OC＝2OA， ∴OC＝4， ∴点C（0，4） ∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C， ∴4＝﹣16a， ∴a＝﹣， ∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4； （2）如图1， 由题意：点D（3，0）， ∴OD＝3， 设P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0） ∵C（0，4）， ∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣m+）x+4， 设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣m+）， ∴DE＝﹣m+， ∵S△ABC＝×AB×OC， ∴S△ABC＝×10×4＝20， ∵S△CDP＝S△ABC， ∴×（﹣m+）×m＝×20， ∴m1＝4或m2＝； （3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'， ∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°， ∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°， ∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°， ∴△BCO≌△BC'E（AAS） ∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8， ∴点C'（4，﹣8），且B（8，0） ∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16， ∴2x﹣16＝﹣x2+x+4， ∴x1＝﹣10，x2＝8， ∴点K（﹣10，﹣36）， ∵xC﹣xB＝xH﹣xK， ∴0﹣8＝xH﹣（﹣10）， ∴xH＝﹣18， ∵， ∴yH＝﹣32， ∴点H（﹣18，﹣32）， 若BC为边，∠BCK＝90°时， 同理可求：直线CK的解析式为：y＝2x+4， ∴2x+4＝﹣x2+x+4， ∴x1＝﹣2，x2＝0， ∴点K坐标（﹣2，0） ∵， ∴0﹣8＝﹣2﹣xH， ∴xH＝﹣6， ∵， ∴yH＝﹣4， ∴点H（6，﹣4）， 若BC为对角线， ∵B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形， ∴BC＝KH，BC与KH互相平分， ∵B（8，0），C（0，4） ∴BC中点坐标（4，2），BC＝＝＝4， 设点K（x，﹣x2+x+4） ∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2， ∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0， ∴x1＝0，x2＝2，x3＝8， ∴K（2，6），且KH的中点坐标（4，2）， ∴点H（6，﹣2） 综上所述：点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）． 【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键. 18．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10； (3)存在，； (4)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点和代入，解得，即可得解； （2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求； （3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则； （4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 证明，则有，求得，则，可求． 【详解】（1）的图象过点和， ， 解得 抛物线的解析式的解析式为 （2）令，则，解得或， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵四边形的面积为18， ∴的面积为8， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 过P点作x轴，交于点M， 设，则， ， ∴， ∴； （4）存在，或． 理由如下： 设，当时，如图1， ∵矩形是以为边， ∴， 过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ∵， ， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵矩形是以为边， ∴， 设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 过点Q作轴交G点，过K作轴交E点， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴ 综上，或； 19．如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）． (1)求线段的长； (2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小； (3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围； (4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的综合应用： （1）根据对称性，求出两个函数的对称轴，求出的横坐标，进而求出线段的长即可； （2）两点式设出两个抛物线的解析式，根据两个顶点的纵坐标相同，求出两个函数的二次项的系数之间的关系，进而求出，比较大小即可； （3）根据增减性，得到点距离对称轴近，列出不等式进行求解即可； （4）根据菱形的性质，求出的坐标，进而求出两条抛物线的解析式，分为矩形的边和矩形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴； （2）设抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵两条抛物线的开口向上， ∴， ∴； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上，且满足， ∴点距离对称轴近， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：或， ∵抛物线的开口向下， ∴当时，或； ∴当或时，； （4）不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由图象可知：， ∴， ∴，， 把，，分别代入和， 得：， ∴抛物线的解析式为， 抛物线的解析式为 当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，分两种情况： ①当为边时，不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； ②当为对角线时，则的中点也是的中点， ∵，设的中点为，则：， 以为圆心，的长为半径画圆，当以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形时，则：都在圆上，且也为圆的直径， 如图：    由图可知，不存在点分别在两条抛物线上且为圆的直径， 故不存在以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形； 综上：不存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数求不等式的解集，圆周角定理，等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t； (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标； (3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，根据则计算即可； （3）分当时；时；三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设， 将代入， ， 解得， 故， ， 将代入， ， 解得， ； （2）解：设， 则， ，整理得，， ，， ， ∴； （3）解：， ， ， ①当时． ， ， . ， . 或（舍）， (没在第四象限，舍去)， ②时． ， ， ， ， 而， ， ， ， 时， ， ， ， 而， ， 矩形时，， 综合得． 【题型3 存在性菱形】 21．【提出问题】 定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”． （1）如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是_______； 【深入探究】 （2）如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，直线AB交抛物线的对称轴于点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点C，使的面积为9，若存在请求出C点坐标：若不存在，请说明理由； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，点C的坐标为或；（3）存在，或． 【分析】本题考查了新定义，二次函数和一次函数的交点问题、列方程组求交点，分割法求面积，菱形的性质，两点间距离公式，熟练掌握定义，菱形性质，两点间距离公式是解题的关键． （1）根据“梦之点”的定义，确定自变量的范围，函数值的取值范围，判断这几个点是否在矩形的内部或边上； （2）根据“梦之点”的定义可得：，确定，，利用二次函数的顶点式可得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线，利用分割法列式计算面积，解方程即可； （3）设，由以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，可得，利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足，， ∴点，是矩形 “梦之点”， 故答案为：，． （2）解：∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴点A，B是直线上的点， ∴， 解得：，， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴交于M， ∴， 设点C的坐标为， ∴， ∴． 解得， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 设， ∵以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴ 解得：， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 22．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解， 第三种情况，为菱形的对角线时． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 23．如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)则点的坐标为_____；顶点的坐标为_____； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)若直线分别交直线和抛物线于点、，点为平面内任意一点，当点、、、构成的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，此时 (3)或或或 【分析】（1）求出当时，的值；将抛物线解析式化为顶点式，即可得解； （2）设，确定直线的解析式为，过点作垂直于轴，交于点，则点，得出，根据二次函数的最值可得结论； （3）分三种情况：①当，为邻边时；②当，为邻边时；③当，为邻边时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， 当时，得：， 当时，得：，解得：，， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）设， 设直线的解析式为，过点，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作垂直于轴，交于点， ∴点， 设点到的距离为，点到的距离为， ∴， ∴ ∴， ， ∴当时，有最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时； （3）设； ， ∵， ∴， ， ， ∵点、、、构成的四边形为菱形， ①当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），，， ∴此时点的坐标为，； ②当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），， ∴此时点的坐标为； ③当，为邻边时，则，即， ∴， 解得：（舍去），（此时点、重合，舍去），， ∴此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，二次函数的顶点式，二次函数的最值的应用，待定系数法确定一次函数的解析式，菱形的性质，两点间的距离，一元二次方程的应用等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标； (2)求直线的函数表达式． (3)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为 (3)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或 【分析】（1）分别令即可求出、、三点的坐标； （2）根据、三点的坐标求直线的函数表达式即可； （3）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴； （2）解：∵， 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； （3）解：存在： 设直线的表达式为：； 将代入得：， 解得：， 故直线的表达式为：； 设点的坐标为，其中， ， ， ， ∴当时，以点为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点B向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点C， ∴点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ， ， 解得：(舍去)， ∴点的坐标为， ∵点C向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点B， ∴点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、一次函数图象的性质、一次函数的解析式、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． 25．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 【答案】(1) (2)当时，周长的最大值为， (3)N点坐标为或或或 【分析】（1）根据三角形的面积求出，则可知，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得，则，设，则，可得周长，当时，周长的最大值为，此时； （3）先求出平移后的函数解析式为，设，，根据菱形的对角线分两种情况讨论，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等建立方程组，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴周长， ∴当时，周长的最大值为， 此时； （3）解：∵， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，， 令，则， 解得或， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的长转化为求的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键． 26．如图，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且，E是线段上的一个动点，过点E作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点D、F． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点P是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在，或或或 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点，，的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）首先求出，且，然后设，表示出，，，然后分，，三种情况讨论，然后分别根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 ∵直线的解析式为，点P是直线上的一个动点， ∴设 ∴，， ∴当时 ∴ ∴ ∴， ∴当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴如图所示，当四边形是菱形时 ∴ ∴ ∴ ∴； ∴时 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 当时， ∴ ∴ ∴或（舍去） ∴当时， ∴ ∴如图所示，四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，勾股定理，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，与轴交于点，连接，为抛物线的顶点． (1)求抛物线顶点坐标； (2)点为直线下方抛物线上的一动点，过作于点，过作轴于点，交直线于点，求的最大值，以及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移，平移后的图象经过点，点为的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，点为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．在平面直角坐标系中确定点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线顶点坐标为 (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）将抛物线表达式化为顶点式即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质得出，设出点的坐标，利用二次函数的性质求最值即可； （3）先根据平移规律求出平移后的抛物线的解析式，以及点的坐标，然后设出点的坐标，根据角形的性质求出的坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线顶点坐标为； （2）解：∵，令，则， ∴， 令，则或， 故抛物线与轴交点为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，最大为2， ∴的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移，， ∴设抛物线向上平移个单位，向右平移个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴，解得或（舍去）， ∴新抛物线的解析式为， ∴点，点的坐标为， 设， ∴，，， ①当时，， 解得或（舍去）， 此时，为对角线， ∵， ∴； ②当时，， 解得， 此时，为对角线， ∵， ∴； ③当时，， 解得或（舍去）， 此时，为对角线， ∵， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质三角形面积，平移的性质，角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，角形的性质，分类讨论是解题的关键． 28．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 29．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)当点时，△的面积取得最大值，最大值为4 (3)或 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）由题意得，，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ， 设点， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：由（1）（2）可知：，，设点，点，由点在下方结合根据中点坐标公式可分： ①以、为对角线，， ， 或（不符合题意，舍去）； ②以、为对角线，， ， 或， ∴或， ∴当时，代入直线的解析式得：，此时点Q在直线下方，符合题意； 同理可验证也符合题意； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于点，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． （1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出，的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，   过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或； 【题型4 存在性正方形】 31．定义：关于轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：的“同轴对称抛物线”为． (1)抛物线的顶点坐标为 ，其“同轴对称抛物线”的顶点坐标为 ； (2)求抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式； (3)如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点，点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线的“同轴对称抛物线”于点，分别作点，关于抛物线对称轴对称的点，．依次连接点，，，．当四边形为正方形时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”． （1）根据顶点式直接写出顶点坐标； （2）根据顶点式的顶点坐标为；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式； （3）写出点B的坐标，再由对称轴求出点，然后结合正方形的性质列出方程求a． 【详解】（1）解：由知顶点坐标为，由知顶点坐标为， 故答案为：， （2）解：， ∴顶点为， ∵关于x轴的对称点为， ∴抛物线的“同轴对称抛物线”的解析式为：； （3）解：当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∴点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 解得：（舍）或． ∴． 32．如图①，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接，交抛物线于点，点的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求点的坐标； (3)如图②，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②当点为顶点的四边形是正方形时，或 【分析】（1）运用待定系数法把把点代入抛物线即可求解； （2）根据二次函数图象的性质，令时，解一元二次方程即可； （3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当是正方形的边；当是正方形的对角线；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：已知抛物线的解析式为：， ∴令时，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵设点是抛物线的一点，且横坐标为， ∴， ∴， ∵过点作轴于点， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在直线的图象上，且点的横坐标为，点三点共线， ∴， 由①得，，点， ∴， 设， ∵点的纵坐标相同， ∴轴，， 当为正方形的边时，，则点与点重合，点与点重合，或是点与点重合，点与点重合，如图所示， ∴， 解得，； 当为正方形的对角线时，连接，交于点 ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形，则， ∴， 解得，； 综上所述，当点为顶点的四边形是正方形时，或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键． 33．如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作交线段于点，连接，记与面积分别为，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，的值最大为1 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识． （1）运用待定系数法设，将代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案． 【详解】（1）解：抛物线交轴于，两点， 设，将代入， 得：， 解得：， ； 抛物线的解析式为； （2）解：∵是第四象限内抛物线上的动点， 设，，， 四边形是正方形， ，即， ， 解得； ， ， ； （3）解：如图2，连接，过点作轴交于点，    设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 时，有最大值1． 34．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题． (1)求此抛物线L的解析式； (2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值； (3)矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线L的解析式为 (2) (3)m的值为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，根据函数自变量求函数值范围，二次函数的与几何在综合，坐标与图象，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）先求出直线的解析式为，进而得出点，再利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）将二次函数化为顶点式，得到顶点为，进而得出的纵坐标为，代入直线的解析式求出值即可； （3）由直线和二次函数解析式得到，，进而可得，结合四边形为正方形，可得，解方程即可解题． 【详解】（1）解： ∵， ∴，， 设直线的解析式为，得 ，解得：， ∴直线的解析式为 ∵点C的横坐标为1．，即点 抛物线经过点，， ， 解得， 这条抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为，顶点为， ∵矩形， ∴，， ∵轴 ∴轴， ∴， 点P在线段AB上，点的横坐标为， ， 解得： （3）解：矩形为正方形时，即， 点P在线段AB上，而且不与点重合，横坐标为， ， 而且 轴， ， ∴，即， 当时，解得，（不合题意，舍去）， 当时，解得， 综上所述：或 35．综合与探究 如图1，二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点．点P是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线于另一点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)如图2，当点P在第二象限时，连接，交直线于点F．当时，求m的值． (3)当点P在第三象限时，以为边作正方形，当点C在正方形的边上时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）在中，分别令，，计算即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，由题意得，则，求出，得到，计算即可得解； （3）设，且，则，分两种情况：当点在正方形的边上时，设边交轴于；当点在正方形的边上时；分别计算即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 令，则，即； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：，则， ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点， 如图， ， ∵交直线于点F，且， ∴当时，，即， ∴， 解得：， ∵点在第二象限， ∴， ∴； （3）解：设，且，则， ∵，， ∴，， 如图，当点在正方形的边上时，设边交轴于， ， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去），， ∴； 如图，当点在正方形的边上时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、求一次函数解析式、二次函数综合—线段问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 36．如图①，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点，点D是抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交直线于点E，过点D、E作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点G、F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的函数解析式及对称轴； (2)用含m的代数式表示的长； (3)当，且四边形是正方形时，求m的值； (4)过点A作的平行线交y轴于点H，如图②，当四边形在直线、之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，直接写出m的值． 【答案】(1)，对称轴是直线 (2)当时，；当或时， (3)或 (4)，，， 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）表示出和解答即可； （3）分为当时，和当时，分别求解即可． （4）分为图1，当与共线时，满足在直线、之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半，此时，列方程解答；图2，当对角线不在上时，如图当D在第四象限时，令交对称轴于N．交于M，根据矩形对称轴当时，，列方程解答；当D在第三象限时，如图2，令交于交于，根据，列方程解答； 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∴对称轴为直线． （2）由（1）可知， 设直线， 将代入得， 解得， ∴直线． ∵轴， ， 当时，； 当或时，． （3）当时，点D在第一象限，点D在点E上方． ∵轴， ， ∴， ∴， 若四边形是正方形，则， 当时，，解得或（舍去）， 当时，，解得或（舍去）， 综上，或． （4）解：由（1）知，， ∵点D在抛物线上， ∴，， ∵点F，G均在对称轴上， ∴， ∴为矩形， 如图1，当与共线时，满足在直线、之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时， ∴或， 即或， 解得． 如图2，当对角线不在上时，如图当D在第四象限时，令交对称轴于N． 交于M，根据矩形对称轴当时，， ∴， ， ∴， 解得或（舍去）， 当D在第三象限时，如图2，令交于交于， 即， 即， ∵在上， ， ， 解得（舍去）， 综上，值为． 【点睛】该题考查了二次函数几何综合，二次函数解析式求解，二次函数图象和性质，正方形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是画出对应的图形． 37． 如图，二次函数 的图象与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点．点是轴左侧抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交抛物线于另一点． (1)求点，的坐标．． (2)当点在第二象限时，连接，交直线于点．当是中点时，求的值． (3)点是抛物线上一点，横坐标为抛物线在、之间的图象记为（包括边界），设图象最高点与最低点纵坐标的差为，求与的函数关系式． (4)以为边作正方形，当点在正方形的边上时，直接写出点的坐标． 【答案】(1), ， (2)； (3) (4)或或． 【分析】（1）分别令和解方程即可求得点，，的坐标； （2）运用待定系数法可求得直线的解析式为，由题意得，则，可得线段的中点为，由对称性可得点的坐标为，建立方程求解即可得出答案； （3）设，则，由，得顶点 ，然后分和 两种情况求解即可； （4）设，分三种情况：当点在正方形的边上时，当点在正方形的边上时，当点在正方形的边上时，分别求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：令 解得 ∴，， 令，得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 当时，， 由题意得 则 ∵轴， ∴点、关于抛物线的对称轴直线对称，即直线经过线段的中点，如图所示： ∵交直线于点，且， ∴线段的中点的坐标为 又∵线段的中点为 ，解得 ∵点在第二象限， ∴， ∴的值为 （3）解：，则， ∵， ∴顶点 当时， 当时， 综上所述，； （4）解：设，又，， 当点在正方形的边上时，设边交轴于，如图所示： 则，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 又， ， ， ，即， ， ， ， ，解得， ； 当点在正方形的边上时，如图所示： ， ， ， ， ，即， ， ； 当点在正方形的边上时， ∵ ∴， ∵， ∴，重合， ∴点既在轴上，又在轴上，即 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题关键． 38．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标； (3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或． 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似和正方形存在性，图形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，垂足为，交于点，设，表示出点坐标，再利用列式求解； （3）利用先探究是等腰直角三角形，再确定点的方法，分三种：①过点作交坐标轴于点；②过点作交坐标轴于点；③作的垂直平分线交坐标轴于点．本题利用此方法，再结合是等腰直角三角形即可确定． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如图，过点作轴，垂足为，交于点， 当时， 解得， ∴， 当时，得， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 根据题意分三种情况： ①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 此时四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， 同①可得四边形是正方形，， ∴； ③如图，∵是等腰直角三角形， ∴点与点重合， ∴作点关于直线的对称点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 综上，存在，或或． 39．综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 40．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当最大时，求点D的坐标并求此时面积的最大值； (3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形为正方形时，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)，此时面积的最大值为； (3)点Q的坐标、、、． 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出直线的解析式，由可证明，作于，则，设点的横坐标为，分别表示出和，然后用含的解析式表示出，求这个一元二次解析式的最值，即可求解； （3）若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且，根据题意画出对应图形，利用全等三角形建立方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵经过点，点 ∴，解得 ∴抛物线的函数解析式为：． （2）解：设直线BC的解析式为，将，点代入得其解析式得， 解得 ∴直线BC的解析式为． 作交于E，如图， 设点D的横坐标为t，则， ∴ 所以当时，的面积最大值．此时，面积的最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为， 若四边形为正方形，则是等腰直角三角形，且， 设点D的横坐标为n，则 ①如图，过点作于点M，设直线l与x轴交于点N， 则，，， ∴， ∴， ∴≌ ， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，如图，此时由正方形性质可得： ，则或，则； 当时，则． ②如图，过点作于点M，设直线l与x轴交于点N，同理可证，≌ ， ∴，， ∴， ∴， 解得或， 当时，点D与点A重合，同上； 当时，，则； 综上，点Q的坐标、、、． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$