专题14 二次函数综合题几何变换分类训练（3种类型30道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题14 二次函数综合题几何变换分类训练（3种类型30道） 目录 【题型1 二次函数综合之平移变换】 1 【题型2 二次函数综合之轴对称变换】 37 【题型3 二次函数综合之旋转变换】 72 【题型1 二次函数综合之平移变换】 1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，的平分线与y轴交于点D，与抛物线交于点Q，点P是线段上一点，过点P作x轴的垂线，分别交，于点E、F，连接，． (1)当面积最大时，求P点的坐标． (2)在（1）的条件下，在直线上取点M，在y轴上取点N，当最小时，求出N的坐标． (3)如图2，将抛物线y沿着射线方向平移得到，的图象恰好经过点C，在抛物线的对称轴上取点G，在抛物线上取点K，在（2）的条件下，是否存在以P、N、K、G为顶点的平行四边形，如果存在直接写出k点坐标，如果不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）由抛物线解析式求得点、的坐标，然后根据待定系数法来求直线的解析式，在直角三角形中利用勾股定理求得的长度；过点作于点，构建全等三角形和，利用全等三角形的性质可以设，则．所以根据勾股定理列出关于的方程，借助于方程解题即可求得点的坐标；然后利用待定系数法求得直线的解析式，由直线上点的坐标特征、三角形的面积公式和二次函数最值的求法来求面积的最大值和此时点的坐标； （2）求出点的坐标，作点关于直线的对称点，连接，交直线于，交轴于点，则此时，最小，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得的坐标； （3）由题意可得将抛物线向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到，求出的解析式，得抛物线的对称为直线，设点，分类讨论：①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）抛物线的解析式为：． 令，则， ． 令，则．， 解得，，． ，． 设直线所在直线解析式为：， 将，代入可得， 解得， 直线所在直线解析式为； 过点作于点，如图1． ，， ，． 在中，． 在与中， ， ， ，． 设，则， ． 在中，， ， 解得，． ． ． 设直线所在直线解析式为：， 将，代入可得， 解得， 直线所在直线解析式为：． 又直线的解析式为：． 设，则，， ，， ， 当时，的最大值为． 此时，； （2）直线所在直线解析式为：，抛物线的解析式为：． 联立得，解得或， 点的坐标为， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于，交轴于点，则此时，最小， ， 的纵坐标为， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 的坐标为； （3）将抛物线沿着射线方向平移得到，的图象恰好经过点，，， 抛物线向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ． 的解析式为， 抛物线的对称为直线， 设点，， ①当为平行四边形的边时， ，的坐标为， 或， 或， 点坐标为或； ②当为平行四边形的对角线时， ，的坐标为的坐标为， ， ， 点坐标为，； 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，轴对称求最短路径，平行四边形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的性质，分类讨论，以防漏解或错解． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段位于第四象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点F，连接．若，求的面积的最大值，及此时点E的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点E处，且与直线相交于另一点K．点P为新抛物线上的一个动点，当和中，其中一个角与相等时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为： (2)的面积的最大值为1，此时点 (3)点P的坐标为：或或， 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、正切函数、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式为：，设点，则点，然后表示出的面积，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）如图：过点B作于点H，由点A、B、C的坐标得：、、、，再根据等面积法求得，进而求得；然后根据二次函数的平移以及数形集合思想分论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为： ， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由点B、C的坐标知，直线的表达式为：， 则直线和x轴坐标轴的夹角为， ∵，则D、E的横坐标差为1， 设点，则点， ∴的面积， ∵，故的面积有最大值， 当时，的面积的最大值为1，此时点． （3）解：如图：过点B作于点H， 由点A、B、C的坐标得，，，，， 则，即，解得：， ∴，则； ∵抛物线沿射线方向平移， 故设抛物线向右平移m个单位、向上平移m个单位符合题意， 则新抛物线的表达式为：， 将点E的坐标代入上式得：，解得：（舍去）或2， 则新抛物线的表达式为：， 由点C、E的坐标得，， 由直线的表达式知，， 当时，即， 设直线交y轴于点N，作于点H， 在中，，， 故设，则，，则，解得：， ∴，即：点， 由点E、N的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或3，即点； 当点P在x轴上方时，同理可得：直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，解得：（舍去）或0，即点； 当时，则， ∵直线过点K且分别和或平行， ∴直线的表达式为：或， 同理可得：或，解得：（不合题意的值已舍去），故点． 综上，点P的坐标为：或或． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，或 (4)或 【分析】（1）改设抛物线的解析式为交点式，代入点坐标，求得，进一步得出结果； （2）可推出是直角三角形，进一步得出结果； （3）只需是等腰三角形，分为当时，点是点关于抛物线的对称轴的对称点；当时，此时在的垂直平分线上，可求得的解析式，进一步得出结果； （4）分为当点在轴的上方和在轴上两种情形：当点在轴上方时，作于，作于，根据得出，可求得的长，进而得出的长，可求得是等腰直角三角形，进而求得和，进而得出直线的解析式，进一步得出结果；当点在轴上时，进一步得出结果． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， ； （3）解：当四边形是菱形时，此时， 由对称性可得， ， ， 如图1， 当四边形是菱形，， 作， ， ，， 的中点坐标为：， 由（1）知：， ， ，， 的解析式为：， ， 的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ， ， ， 综上所述：N点的坐标为或； （4）解：如图2， 当点在轴上方时， 作于，作于， ， ， ， ，，， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 平移后的抛物线的解析式为：， 当点在轴时，点和点重合， 此时与全等， 抛物线的解析式为：， 综上所述：当与相似时，平移后抛物线的解析式为：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 4．如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． (1)抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离； (2)如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用二次函数图象及性质即可得到本题答案； （2）先求出解析式，再连接，作轴交于，再设，则，即，利用面积法分别求出的坐标，再分别作关于轴对称得到坐标，再连接交于轴于点，交于轴于点，继而求出本题答案； （3）求出平移后的新抛物线解析式，再利用全等三角形判定得到，利用函数交点即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点， ∴当时，，即， ∴当时，或，即，， 对称轴，当时，，即， ∴，， ∴，得， ∴到的距离为； （2）解：设解析式为，代入，， ∴，解得：， 的解析式为：， 连接，作轴交于， ， ， 设，则，即， ， ∴当时，，此时的坐标为， 作关于轴对称得到坐标为：， 作的关于轴对称得到坐标为：， 连接交于轴于点，交于轴于点，则， （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，平移前抛物线解析式为， ∴平移后的新抛物线， 假设上存在一点，使得， 即在轴上找点满足， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理存在一点使得，使得， ∵设，将代入， ∴，联立，解得或（舍）， ∵存在一点使得，使得， ∴，设，将代入， ∴，联立，解得或（舍）， ∴或， ∴上存在一点，使得． 【点睛】本题考查二次函数图象及性质，待定系数法求一次函数解析式，平面直角坐标系中求面积问题，函数交点问题，全等三角形判定等． 5．如图，抛物线对称轴是直线，且过点．点B为抛物线与x轴另一交点． (1)求抛物线的表达式． (2)矩形的边在x轴正半轴上，边在第四象限．，．将矩形沿x轴负半轴方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在以、、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；平移距离是 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线； （2）设将矩形沿x轴负半轴方向平移t个单位得到矩形，则， ，，根据平行四边形的对边平行且相等，分两种情况讨论，列出方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：由题可得， 解得， 抛物线的表达式为： （2）解：存在以、、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 理由如下： 抛物线对称轴是直线，且过点， , ∵，， ， 设将矩形沿x轴负半轴方向平移t个单位得到矩形， ， ∵直线与直线分别交抛物线于点M、N． ，， , , 时，以、、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ①或②， 解方程①得； 化简②得， ， 此方程无解，这种情况不成立， 综上所述，当平移个单位时存在以、、M、N为顶点的四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，平行四边形的判定及性质，平移的性质，分类讨论是解题的关键． 6．如图，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线经过两点B，C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点C作轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作轴交于点F，作于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接，当时，求t的值； (3)如图2，正方形，边在x轴上，点Q与点B重合，边长为1个单位长度，将正方形沿射线方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，t的值为秒 (3)或时正方形的边恰好与抛物线有两个交点 【分析】（1）求出，，代入抛物线解析式即可； （2）过点作于，点的坐标为，由点在抛物线上，得到，则当时，的值为秒； （3）由题意可知当正方形运动时，正方形上各点的横坐标向左平移个单位，纵坐标向上平移个单位，平移后，，，，①当点移动后在抛物线上时，时正方形的边恰好与抛物线有两个交点；②当点在抛物线上时，，，当点在抛物线上时，，，所以时正方形的边恰好与抛物线有两个交点． 【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 抛物线经过，两点 ∴， 解得： 抛物线的解析式为； （2）过点作于， ， ， ， ， 轴， ， ， 轴，轴， ， ， ， 点从点运动，时间为， ， 点，的横坐标都为，点的横坐标都为， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去）， 当时，的值为秒； （3），， ， 正方形沿射线方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为秒， 当正方形运动时，正方形上各点的横坐标向左平移个单位，纵坐标向上平移个单位， ，，，， 平移后，，，， ①当点移动后在抛物线上时 ， 解得或， 此时点在对称轴的右侧， ， 时正方形的边恰好与抛物线有两个交点； ②当点在抛物线上时， ， 解得或， 此时点在对称轴的左侧， ， 当点在抛物线上时， ， 解得或， 此时点在对称轴的左侧， ， 时正方形的边恰好与抛物线有两个交点； 综上所述：或时正方形的边恰好与抛物线有两个交点． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积问题，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解平移的坐标特点是解题的关键． 7．如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)4，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得： ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则 ， ， ∴当时，有最大值4，此时， 点的坐标为． （3）解：由题意，得， 抛物线的对称轴为直线， ， 当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示： 点在抛物线的对称轴直线上， ， ， ，即， 点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点， 则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点； 当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示： 设抛物线的对称轴直线与轴交于点， 点在抛物线的对称轴直线上， ， ，即， 点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 综上所述，点的坐标为或． 8．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)存在；或或或 【分析】（1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； 【详解】（1）解：在中， 令，得， ， 令，得， ，   把两点的坐标代入中得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则， 解得， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得， 点P的坐标为． （3）解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ②当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 9．已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，待定系数法求直线的表达式即可； （2）如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G，证明，则，由，，可得．同理（1），直线的表达式为．设，则，．当时，，即，则，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得平移后，则M．设，直线的表达式为．联立，整理得，可得．设直线的表达式为．联立，整理得，则，即，可求，则直线的表达式为．                  当时，，即，同理，，则，由，可得，即，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 当时，， 解得，或， ∴， 设直线的表达式为． 将点代入得，， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：如图，过点D作轴交于点F，过点B作轴交延长线于点G， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 同理（1），直线的表达式为． 设，则，． 当时，，即， ∴， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或． （3）解：∵， ∴平移后， ∴的顶点M的坐标为． 设，直线的表达式为． 联立，整理得， ∴． 设直线的表达式为． 联立，整理得， ∴，即， 解得，， ∴直线的表达式为．                   当时，，即， 同理，， ∴， ∴， 整理得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 10．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，且满足，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作于点，点为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； (3)如图，将该拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的坐标为或． 【分析】（1）当时，得，，由，得，，进而利用待定系数法即可得解； （2）如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点，先求出直线为：，设，则，得，进而得，当时，的值最大，求出，再利用垂线段最短得 取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小，从而即可得解． （3）过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则，由得，由得，进而，此时为所求，由将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线，从而，求出直线为，联立与，即可得解，作关于直线的对称点，连接 交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则， ，先求出，进而得直线为，联立与即可得解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入得 解得， ∴； （2）解：如图，过点作于，交于，过点作于，过点作于点， 由设直线为：， 把代入得， 解得， 直线为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的值最大， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 取最小值时，的值最小，当、，，三点共线，时，的值最小， ∵，， ∴的最小值为； （3）解：过作于，在轴的下方直线上，作，过作于点，在直线的右侧作，作直线交平移后的抛物线于点，则， ∵，， ∴ ∴， 由得， ∴， ∴此时为所求， ∵，，， ∴将拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，相当于将拋物线向右平移个单位，再向下平移单位，得到新抛物线， ∵， ∴， ∵，，，，， ∴， 设直线为 把，，代入， 得， 解得，， ∴直线为， 联立与，得 ， ∴， ∴ （舍去）， ∴当时，， ∴， 作关于直线的对称点，连接 交于，直线交平移后的抛物线于点，由得为所求，则， ， 设直线为， 把，代入得 ， 解得，， ∴直线为， ∴设， ∵， ∴，即， 解得或（舍去） ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设直线为， 把，代入得 解得， ∴直线为， 联立与得 ∴， 解得，（舍去）或， 当时，， ∴， 综上可得的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数的平移，求一次函数，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质，二次函数的平移，求一次函数，全等三角形的判定及性质以及解直角三角形是解题的关键． 【题型2 二次函数综合之轴对称变换】 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 12．如图，抛物线过两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线解析式． (2)点是线段上的一个动点，当为等腰三角形时，试求点的坐标． (3)①将沿翻折得到，试求点的坐标． ②如图，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)①；②． 【分析】（1）根据抛物线过两点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式． （2）根据题意，利用待定系数法可得，线段所在直线的解析式为，设，再分三种情况讨论，、、，然后利用勾股定理可求得点的坐标． （3）①连接交于点，过点作轴于点，得，再根据，得，再结合三角函数值可得得长，从而得出点的坐标． ②作关于线段对称的，交抛物线于点，易得直线的解析式为，联列成二元一次方程组，得点的坐标为，设点的坐标为，根据，代入数值解得，故可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）把代入中，得到， ∴点的坐标为， 设线段所在直线的解析式为，则 ， 解得：， ∴线段所在直线的解析式为． 分三种情况讨论：设， ①时，， ∴， ∴； ②时，， ∴（舍去），． ∴， ∴；     ③时，， ∴（舍去）；， ∴， ∴； 综上，当△BOM为等腰三角形时，M点的坐标为或或 ． （3）①如图，连接交于点，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； ②如图，作关于线段对称的，交抛物线于点． 由（3）①可知点的坐标为， 而，可求得直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴点的坐标为， ∵点和点关于对称， ∴， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 解得（不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查二元一次方程组，二次函数的图象和性质，待定系数法，三角函数，翻折的性质，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数图像上轴下方的一个动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得 若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)这个二次函数的表达式为 (2)点的坐标为 (3)点坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，折叠问题，正切的定义； （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用折叠的性质和平行线的性质证明，然后设元，求解即可； （3）当在直线下方和直线上方，根据，得出，进而得出直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴，    设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 解得（舍去）或； 当时，； ∴点的坐标为； （3）解：∵ ∴ ∵ ∴ 当在下方时，如图所示，过点作轴的平行线，过点作，过点分别作的平行线交于点，    ∵， ∴， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴点坐标为 当在直线上方时，如图所示，    同理可得是等腰直角三角形， ∴， 同理可得直线的解析式为 联立 解得：或 ∴点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 14．如图，抛物线经过原点，且对称轴是直线，点在抛物线上，点在轴上，直线交抛物线于点、，点在抛物线上，且轴． ​ (1)求抛物线的解析式和点D坐标； (2)求的度数； (3)设点F是线段的中点，点P是线段上一动点，将沿折叠，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 【答案】(1)， (2) (3)的长为或 【分析】（1）根据对称轴方程可得，再将点代入，即可求函数的解析式；求出直线的解析式，再由方程，求点坐标即可； （2）求出点坐标，再用勾股定理你定理判断是直角三角形，即可求； （3）分两种情况讨论：当在上方时，设与交于点，根据面积和中点的性质，推导出四边形是平行四边形，则，设，由方程，确定点，即可求；当在下方时，同理可得四边形是平行四边形，． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， ， 对称轴是直线， ， ， ， 将点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ； （2）解：轴， ， ，，， ， 是直角三角形， ； （3）当在上方时，设与交于点， 是的中点， ， ， ， ， 是的中点， 由折叠可知，， ， ， 是的中点， 四边形是平行四边形， ， 设， ， 解得或（舍， ， ； 当在下方时，同理可得四边形是平行四边形， ； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，折叠的性质，勾股定理及逆定理是解题的关键． 15．抛物线经过点和，与轴交于另一点． (1)则抛物线的解析式为______；顶点坐标为______． (2)如图1，连接，将直线沿折叠交抛物线于点，求点坐标； (3)如图2，为抛物线上任意一点，连接，将沿轴折叠交抛物线于点，连接，过点作轴的平行线交于点，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式后，求出顶点坐标即可； （2）设点的对应点为，求出点坐标，勾股定理逆定理得到，根据对称的性质，得到三点共线，进而得到为的中点，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出点的坐标即可； （3）过点作轴于点，过点作 轴于点，设，折叠推出，得到，进而得到为的中点，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入，得： ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点坐标为； （2）令， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点的对应点为，则：垂直平分， ∴三点共线， ∴为的中点， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立：，解得：或（舍去）； ∴； （3）过点作轴于点，过点作 轴于点， 设， ∵折叠， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， 连接并延长交于点， ∵轴，轴，轴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 16．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴相交于C，已知抛物线对称轴为直线，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上找一个点D（不与点C重合），使得，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E是直线上一动点，过E作x轴的垂线交抛物线于F点，连接，将沿折叠，如果点E对应的点M恰好落在y轴上，求此时点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由直线的解析式求出、点的坐标，由对称轴得，代入抛物线的解析式，解方程组，即可求解； （2）作直线关于轴对称直线，交轴于，交抛物线于，由对称的性质得，，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，解方程组，即可求解； （3）①当在轴下方时，由平行线的性质及折叠的性质得，，由等腰三角形的判定方法得，设，则，求出和，即可求解；②当在轴上方时，同理可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 当时，， ，； 设抛物线的解析式为，则有 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作直线关于轴对称直线，交轴于，交抛物线于， ，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得： ， 解得：或， ． （3）解：①如图，当在轴下方时， 轴， ， 由折叠得：， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得： ，（舍去）， ； ； ②如图，当在轴上方时， 同理可证：， 设， 则， ， ， ， 解得： ，（舍去）， ； ； 综上所述：E的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法，平行于坐标轴上两点距离，勾股定理，等腰三角形的判定等，掌握待定系数法，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 17．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)这个二次函数的表达式为； (2)点的坐标为或； (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用折叠的性质和平行线的性质证明，然后设元，求解即可； （3）过点A作与直线交于点，过点作轴于点，利用，求得点的坐标，据此分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴，    设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴，， ∴或， 解得（舍去）或； 解得（舍去）或； 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或； （3）解：过点A作与直线交于点，过点作轴于点， 点在x轴上方时，如图，    ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 同理求得直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴点坐标为； 若点在x轴下方时，如图，    同理，， ∴，同理求得直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点坐标为与点重合； 综上，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．如图，抛物线与x轴交于点和点，点在第一象限的抛物线上运动，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，若，点在直线上运动，连接，将沿折叠，得到，当与坐标轴平行时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）把和点代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作，垂足为点，根据已知条件得出，过点作轴，交轴于点，可得，进而根据相似三角形的性质得出，进而得出点P的横坐标为，代入抛物线解析式即可求解； （3）根据已知得出直线的解析式为；设，根据当 轴时，当轴时，分别画出图形，分类讨论即可求解． 【详解】（1）把和点代入， 得， 解得 抛物线解析式为； （2）过点作，垂足为点 ，， ， ， ， 过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， 点P的横坐标为，   把代入 得： 点； （3）解：∵，， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 依题意设， 如图所示，将沿折叠，得到， ∴，，， 当 轴时， ∴， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形是菱形； ∴ ∴ 解得：或 如图所示，当轴时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线交轴于点，   ∵折叠， ∴ ∴ 即, 解得：或 ∴，，， 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法，面积问题，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)求，两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)如图1，点在线段上运动，连接，沿直线折叠得到，当轴时，求的度数及点的坐标； (3)如图2，连接，作，交的边于点，请直接写出的长． 【答案】(1)，，抛物线的解析式为， (2)的度数为， (3)的长为或3 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用翻折的性质可得：，；设，利用点的坐标表示出线段，，，的长度，再利用三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：①当点在边上时，利用直角三角形的性质和直角三角形的斜边上的中线，勾股定理解答即可；②当点在边上时，利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则， ， ， 抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． 令，则， 或， ； （2）解：沿直线折叠得到， ， ，． 设，， ， ，， ，． ． ，， ． 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． ， ， ， 的度数； （3）解：①当点在边上时，如图，    ， ，， ， ， ， ， ， ． ，， ，， ， ； ②当点在边上时，如图，    ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ． 综上，当，交的边于点，的长为或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，折叠的性质，垂直的性质，平行线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 20．已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值； (3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)秒 (3)能， 秒或 秒或 秒 【分析】（1）根据抛物线过原点，对称轴为直线，待定系数求解析式即可求解； （2）设．三点，，构成以为为斜边的直角三角形，勾股定理得出， ．继而得出直线的解析式为 ，当时，，得出，进而即可求解； （3）分三种情况讨论，①点在轴正半轴上；②点在y轴负半轴上，③点在轴负半轴上，分别画出图形，根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为； ， 顶点的坐标为； （2）如图1， 设． 三点，，构成以为斜边的直角三角形， ， 即， 整理，得， 解得 ，舍去， ． 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ． 当时，， ， 秒； （3）分三种情况： ①若点在轴正半轴上，如图2， 可得， 即 ， 解得 ； ②若点在y轴负半轴上，如图3，连接交OB于E． 可得， ， ， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ； ③若点在轴负半轴上，如图 可得， 即， 解得 ； 综上所述，所有满足条件的的值为 秒或 秒或 秒． 【题型3 二次函数综合之旋转变换】 21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），交y轴于点，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，连接，当时，求点E的坐标； (3)如图2，Q为y轴负半轴上一点，连接，且．将绕点O逆时针旋转一定的角度得到，直线与x轴交于点G，问在旋转过程中是否存在某个位置使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，顶点D的坐标为 (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法代入计算，结合对称轴，即可求出解析式； （2）取中点，连接，过点作，交抛物线于点；然后求出直线的解析式，结合抛物线的解析式，即可求出点的坐标； （3）由题意，先求出点Q的坐标，得到和的长度，然后结合等腰三角形的性质进行分类讨论，可分为四种情况进行分析，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，二次函数的解析式为， 把点，点代入，有， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令，则，解得：或， ∴点B为， ∵点A为， ∴的中点M的坐标为； 如图，连接，取中点M，连接，过点A作，交抛物线于点E； 此时点D到直线的距离等于点B到直线距离的2倍， 即， 设直线为， 把点B、点M代入，有， ∴直线为， ∴直线的一次项系数为， ∵点A为， ∴直线为， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点E的坐标为； （3）解：∵，点B为， 则， ∴，， ∴点的坐标为， 由旋转的性质，得， ①当时，是等边三角形，如图： ∴点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为； ②当是等腰三角形，如图： ， ， ， ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴点的坐标为； ③当时，是等边三角形，如图： 此时点的坐标为． ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴点的坐标为； ④当时，是等腰三角形，如图： 此时． ∴点的横坐标，点的纵坐标， ∴点的坐标为； 综合上述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，也考查了解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握图形的运动问题，正确的确定点的位置是关键；注意运用数形结合的思想，分类讨论的思想进行解题． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴是，点F在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点F，使得为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在直线上方抛物线找一点P，使面积最大，求出点P和面积最大值； (4)将线段绕着点F逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)， (4)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）求出直线的解析式，设，过点作轴，交于点，则：，根据，进行求解即可； （4）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）∵，． 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 设，过点作轴，交于点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积最大为，此时； （4）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想是解此题的关键． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 24．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点． (1)求出该抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，最小值为 (3)坐标为或， 【分析】（1）由二次函数的交点式得出抛物线的解析式，可推出，从而得出，求得的值，进一步得出结果； （2）设，，则，从而表示出，进而求得点坐标，作点关于的对称点，交于，作于，可得出，，从而得出，，进而得出，可推出点在以为圆心，1为半径的圆上运动，连接，交于，交于，此时最小，进一步得出结果； （3）可求得，，，点、绕点，逆时针旋转分别至，，及，，可求得，，，，从而得出的解析式为：，直线的解析式为：，可得出当，时，，进而求得点坐标；设，此时的中点，当时，，从而，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， 当时，， ， ， ， ∴， ， ∴， 设点，过点D作轴于点I， ， ， ， ； （2）解：如图1，∵，， 设直线解析式为：， ∴有， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，， ∴， 过点P作于点，则， 由得，， ∴， ∴， ， 当时，最大， ， ， 作点关于的对称点，交于，作于， 由得，， ∴， ∴， ∵， ∴，由勾股定理得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵ ， ，点是的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，， ∵，当点共线时取得最小值为， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， ，， ， ， ∴由平移得，， 点、绕点，逆时针旋转分别至，，及， 过点X作轴，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 同理可求，，， 同（2）可求直线的解析式为：，直线的解析式为：， 把代入得，，此时， 当时，， ， ， 设，此时的中点， 当时，， ， ， ， ，， 综上所述：坐标为或，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)，，， 【分析】（1）由题意得出，．结合轴对称的性质得出，再利用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理得出．设中点为，则，连接．设点，则．当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上，由圆周角定理得出此时为直角，由直角三角形的性质得出，即，解方程即可得解； （3）设点．则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为，再分两种情况：当在抛物线上时，当在抛物线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． ∵对称轴， ∴． 设抛物线解析式为 由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：存在， ∵，， ∴． 设中点为，则，连接． 设点，则． 当时，点，，三点在以为圆心，为直径的圆上， 此时，为直角，，则， ∴， 化简得， 解得，． ∴的坐标为或时，为直角． （3）解：设点． 则点逆时针方向旋转后的坐标为，点逆时针方向旋转后的坐标为， 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴时，，时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 当在抛物线上时，， 化简得， 解得，． ∴当时，，当时，． 经检验，此时点不在抛物线上． 综上，满足题意的点的坐标为，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形—旋转变换、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 26．综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或 【分析】（1）由菱形可得，根据二次函数对称性可得，再根据求解即可； （2）设则代入计算即可； （3）过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接，根据菱形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵二次函数对称轴为轴， B，C，D在二次函数的图象上， ， ； （2）解：由（1）可得，，， 设则 代入得， 解得， ∴； （3）解：如图2，过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接， 在菱形中，， ， ， ， ， ∴在中，，， ∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，则绕点F逆时针旋转得到， ， ∵， ， ， 由是直角三角形，可知需分三种情况讨论： ①当以为直角顶点时，如图， ∵， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ∵， ∴， ∴点 F与点N重合， ∴， ∴； ②当以为直角顶点时，如图 ， ， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ，， ， 在中，， ， ； ③当以A为直角顶点时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 化简得 ， ， 无解， 不存在此种情况，不符合题意， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 27．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与y轴相交于点A，与x轴相交于，两点，连接，过点C作交抛物线于点D． (1)求出该抛物线的函数表达式及点D的坐标； (2)如图1，已知点G是线段上方抛物线上一点，过点G作轴交于P，在线段和线段上分别有两个动点K、L，且满足，M是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点R，使得的值最小？若存在，请求出P点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，E是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿y轴向下平移6个单位至，连接，T是线段上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，P，的最小值为 (3)或， 【分析】（1）由二次函数的交点式得出抛物线的解析式，可推出，从而得出，求得m的值，进一步得出结果； （2）设设，，则，从而表示出，进而求得点P坐标，作点P关于的对称点，交于V，作于W，可得出，，从而得出，，进而得出，可推出点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，连接，交于R，交于M，此时最小，进一步得出结果； （3）可求得，，，点A、H绕点E，F逆时针旋转别至X，Y，及S，T，可求得，，，，从而得出的解析式为：，直线的解析式为：，可得出当，时，，进而求得点坐标；设，此时的中点，当时，，从而，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 设，， 则， ∴， ∴当时，最大， ∴， ∴， 作点P关于的对称点，交于V，作于W， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， ∴点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动， 连接，交于R，交于，此时最小， ∵， ∴的最小值为：； （3）解：如图2， ∵，， ∴， ∴，，， 点A、H绕点E，F逆时针旋转分别至X，Y，及S，T， ∴，，，， ∴的解析式为：，直线的解析式为：， 把代入得，，此时， 当时，， ∴， ∴， 设，此时的中点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 综上所述：或，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，求一次函数的解析式，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 28．已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到 若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解，进而化为顶点式，即可求解； （2）先用勾股定理求得，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，延长至使得，，连接，交轴于点，得出点在上，设直线的解析式为，代入，，求得直线的解析式为，联立抛物线，进而求四边形的面积，即可求解； （3）根据等边三角形的性质与判定得出，得出，进而分三种情况讨论，当时，，②如图所示，当时， ③当时，，根据旋转的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线 与轴交于点， 且经过点． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ∵ ∴顶点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且 如图所示，延长至使得，，连接，交轴于点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴， 又∵， ∴点在上， ∵，， 设，则 解得：，， ∴； 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵，当时，， ∴，则， ∴四边形的面积为 ； （3）解： 如图所示， ∵ ∴ ∴ 取的中点，则 ∴是等边三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，则， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转可知， ①如图所示，当时，，则 在四边形中， ，， ∴ ∴即 ②如图所示，当时， 在中，， ∴， ∴，又 则是等边三角形， ∴，即； ③当时， ∴ ∴ 在四边形中， ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，面积问题，旋转的性质，四边形内角和定理定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 29．综合与探究 如图，抛物线经过点与点，点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且． (1)求出抛物线与直线的函数关系表达式； (2)当四边形是正方形时，求出点F的坐标； (3)在满足（2）的条件下，在直线上取一点，连接．将线段以点P为中心，顺时针方向旋转，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为，直线的解析式为； （2）由，得抛物线的对称轴为直线，设点，则点的坐标为，，根据抛物线的轴对性知，而四边形是正方形有，即可解得点的坐标为； （3）过作轴交延长线于，过作于，设，证明，可得，，即知，代入，即可解得点P的坐标或． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，得： ，解得． 直线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设点，则点的坐标为， ， 根据抛物线的轴对性知， 四边形是正方形时， ，即， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，， 点的坐标为； （3）解：过作轴交延长线于，过作于，如图： 设，由（2）知， 将线段以点为中心，顺时针方向旋转，点的对应点为， ，， ， ， ， ，， ，即， 点正好落在抛物线上， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、正方形性质、旋转变换，全等三角形的判定与性质，等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 30．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的最大值； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为：或或或 【分析】（1）把点，，的坐标代入，解出，，，即可； （2）过点作轴，交于点；过点作轴，交于点； 设直线的解析式为：，求出的解析式，根据点的坐标，求出点的坐标，根据相似三角形的判定和性质，则，推出，根据，二次函数的性质，即可； （3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，；设点， 则，，得到点；当点绕点逆时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，同理求出代入函数解析式，即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴． （2）过点作轴，交于点；过点作轴，交于点； 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， 设点且， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，， ∴点， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当（）时，有最大值， ∴的最大值为．    （3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴点或；    当点绕点逆时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点在直线：上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∴， 解得：，， ∴点或； 综上所述，点的坐标为：或或或．    精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数综合题几何变换分类训练（3种类型30道） 目录 【题型1 二次函数综合之平移变换】 1 【题型2 二次函数综合之轴对称变换】 6 【题型3 二次函数综合之旋转变换】 11 【题型1 二次函数综合之平移变换】 1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，的平分线与y轴交于点D，与抛物线交于点Q，点P是线段上一点，过点P作x轴的垂线，分别交，于点E、F，连接，． (1)当面积最大时，求P点的坐标． (2)在（1）的条件下，在直线上取点M，在y轴上取点N，当最小时，求出N的坐标． (3)如图2，将抛物线y沿着射线方向平移得到，的图象恰好经过点C，在抛物线的对称轴上取点G，在抛物线上取点K，在（2）的条件下，是否存在以P、N、K、G为顶点的平行四边形，如果存在直接写出k点坐标，如果不存在请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)线段位于第四象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点F，连接．若，求的面积的最大值，及此时点E的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点E处，且与直线相交于另一点K．点P为新抛物线上的一个动点，当和中，其中一个角与相等时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 3．已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式． 4．如图1，已知抛物线的图象与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点． (1)抛物线顶点为，连接、、，求点到的距离； (2)如图2，在轴正半轴有一点满足，点为直线下方抛物线上的一个动点，连接、，过点作交轴于点，为轴上一个动点，为轴上一个动点，平面内有一点，连接、、，当最大时，求的最小值； (3)如图3，连接、，将抛物线沿着射线平移得到新的抛物线，上是否存在一点，使得？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线对称轴是直线，且过点．点B为抛物线与x轴另一交点． (1)求抛物线的表达式． (2)矩形的边在x轴正半轴上，边在第四象限．，．将矩形沿x轴负半轴方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在以、、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由． 6．如图，直线与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线经过两点B，C，与x轴另一交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点C作轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作轴交于点F，作于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接，当时，求t的值； (3)如图2，正方形，边在x轴上，点Q与点B重合，边长为1个单位长度，将正方形沿射线方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围． 7．如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 8．如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点D在第二象限内抛物线上，连接交于点E，连接．若，求点D的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线，过抛物线的顶点M作轴，垂足为点N，过线段上的点H的直线与抛物线交于K，L两点，直线分别与x轴交于P，Q两点．若，求点H的坐标． 10．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，且满足，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，过点作于点，点为直线上一动点，当取最大值时，连接，求的最小值； (3)如图，将该拋物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，点是上一动点，是否存在，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 二次函数综合之轴对称变换】 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 12．如图，抛物线过两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线解析式． (2)点是线段上的一个动点，当为等腰三角形时，试求点的坐标． (3)①将沿翻折得到，试求点的坐标． ②如图，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 13．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数图像上轴下方的一个动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得 若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．   14．如图，抛物线经过原点，且对称轴是直线，点在抛物线上，点在轴上，直线交抛物线于点、，点在抛物线上，且轴． ​ (1)求抛物线的解析式和点D坐标； (2)求的度数； (3)设点F是线段的中点，点P是线段上一动点，将沿折叠，若与重叠部分的面积是面积的，求的长． 15．抛物线经过点和，与轴交于另一点． (1)则抛物线的解析式为______；顶点坐标为______． (2)如图1，连接，将直线沿折叠交抛物线于点，求点坐标； (3)如图2，为抛物线上任意一点，连接，将沿轴折叠交抛物线于点，连接，过点作轴的平行线交于点，求的值． 16．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，与y轴相交于C，已知抛物线对称轴为直线，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上找一个点D（不与点C重合），使得，请求出点D的坐标； (3)如图2，点E是直线上一动点，过E作x轴的垂线交抛物线于F点，连接，将沿折叠，如果点E对应的点M恰好落在y轴上，求此时点E的坐标． 17．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线与x轴交于点和点，点在第一象限的抛物线上运动，直线交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，当时，求点的坐标； (3)如图2，若，点在直线上运动，连接，将沿折叠，得到，当与坐标轴平行时，请直接写出点的坐标． 19．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为．    (1)求，两点的坐标及抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)如图1，点在线段上运动，连接，沿直线折叠得到，当轴时，求的度数及点的坐标； (3)如图2，连接，作，交的边于点，请直接写出的长． 20．已知：如图，抛物线经过原点，它的对称轴为直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒个单位的速度向下运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)当三点，，构成以为为斜边的直角三角形时，求的值； (3)将沿直线折叠后，那么点的对称点能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的的值；若不能，请说明理由． 【题型3 二次函数综合之旋转变换】 21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），交y轴于点，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，连接，当时，求点E的坐标； (3)如图2，Q为y轴负半轴上一点，连接，且．将绕点O逆时针旋转一定的角度得到，直线与x轴交于点G，问在旋转过程中是否存在某个位置使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴是，点F在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点F，使得为直角？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在直线上方抛物线找一点P，使面积最大，求出点P和面积最大值； (4)将线段绕着点F逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，直接写出点F的坐标． 23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点． (1)求出该抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 25．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，对称轴是，点在对称轴上运动． (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在一点，使得为直角？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将线段绕着点逆时针方向旋转后得到线段，当点与恰有一点落在抛物线上时，求点的坐标． 26．综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 27．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与y轴相交于点A，与x轴相交于，两点，连接，过点C作交抛物线于点D． (1)求出该抛物线的函数表达式及点D的坐标； (2)如图1，已知点G是线段上方抛物线上一点，过点G作轴交于P，在线段和线段上分别有两个动点K、L，且满足，M是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点R，使得的值最小？若存在，请求出P点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，E是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿y轴向下平移6个单位至，连接，T是线段上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标． 28．已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到 若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 29．综合与探究 如图，抛物线经过点与点，点F是x轴上方抛物线上的一个动点，过点F分别作x轴，y轴的平行线，与抛物线交于另一点E，与直线交于点C．再过点C作x轴的平行线，过点E作y轴的平行线，两条平行线交于点D．点F的横坐标为m，且． (1)求出抛物线与直线的函数关系表达式； (2)当四边形是正方形时，求出点F的坐标； (3)在满足（2）的条件下，在直线上取一点，连接．将线段以点P为中心，顺时针方向旋转，点F的对应点为Q．当点Q正好落在抛物线上时，直接写出这时点P的坐标． 30．如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的最大值； (3)已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点的坐标． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$