专题13 二次函数综合题面积问题分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题13 二次函数综合题面积问题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 面积最值问题】 1 【题型2 面积成比例】 26 【题型3 已知面积求点】 49 【题型4 面积相等】 74 【题型1 面积最值问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为线段下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积最大，求此时的面积和点M的坐标． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是8，此时点M的坐标为． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握待定系数法和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据三角形的面积公式及配方法求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴抛物线的解析式为：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点M作轴交BC于点N，连接，． ∵抛物线与y轴交于点C， ∴点 设直线的函数解析式为，将点，代入， 得，解得：， ∴直线BC的函数解析式为， 设点M的横坐标为（）， 则点M的坐标为，点N的坐标为， ∴， ， ∴当时，的面积最大，最大值为8． 把代入，得， ∴点M的坐标为． 故面积的最大值是8，此时点M的坐标为． 2．如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 【答案】(1) (2)当点P运动到时面积最大，最大面积是 (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，面积问题，中心对称等知识点． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过作轴交于，先求出直线解析式为，设，则，，最后根据计算即可； （3）由，得抛物线的对称轴是直线，，分三种情况分别画出图形，利用线段与线段关于某点成中心对称，则对应点连线的中点重合列方程可解得答案． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于， 在中，令得， ∴， 设直线解析式为，代入，得， 解得， ∴直线解析式为， ∵点P是抛物线第四象限内图象上的点， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时， ∴当点P运动到时面积最大，最大面积是； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ①若线段与线段关于点K成中心对称，C的对应点D在对称轴上，B的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵K是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； ②若线段与线段关于点T成中心对称，B的对应点D在对称轴上，C的对应点在抛物线上，如图： 设，，而，， ∵T是的中点，也是的中点， ∴， 解得， ∴； 同理，当在对称轴上，点在抛物线上时或． 综上所述，落在对称轴上的点的坐标为或． 3．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． (1)如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． (2)如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②； (2)见解析 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②连接，先求出，，设点的坐标为，利用进行求解即可； （2）连接，过点作于点，设点的坐标为，利用，求得的面积关于的函数关系式，利用配方法和二次函数的性质解答即可； （3）过点D作，先求出，，可得，再由勾股定理求出，从而得出，可得到，再由平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：①将点A代入得： ， 解得：． 抛物线的解析式为； ②连接，如图， 在二次函数中，令，得， 解得：， ， 在二次函数中，令，得， ， 设点的坐标为， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （2）解：如图，过点D作， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， ， ， ， 由题意得：， ， ， 平分． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数的性质，等腰三角形的性质及勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 4．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 【答案】(1) (2)（4，-3） (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式； （2）过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解； （3）由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可． 【详解】（1）令时，则， 解得：， 令时，则有， ∴，，， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，如图所示： 设，则，所以， ∴， 因为，所以当时，的面积最大，此时点P的坐标为. （3）由题意，，所以，对称轴为直线， 令，则，所以 .所以， 因为四边形为平行四边形，所以，， 由题意知，则，所以， 所以，解得，（不符合题意，舍去）， 所以当时，四边形为平形四边形． 5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当时，则点的坐标为________； (3)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标； (4)在（2）的条件下，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3) (4)或或 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求得该抛物线解析式，再令，即可求得点的坐标； （2）过点作轴，交于点，设直线的解析式为，利用待定系数法求得直线的解析式，进而确定点坐标，结合三角形面积公式可求得的值；设，过点作轴，交于点，则，然后分点在直线上方和点在直线下方两种情况，分别求解即可； （3）设，过点作轴，交于点，则，结合三角形面积公式可得，结合二次函数的性质可知当时，取最大值，并求得此时坐标； （4）设，可分三种情况讨论：该平行四边形以为对角线线，以为对角线线，以为对角线线，结合平行四边形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴； （2）过点作轴，交于点，如下图， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， 设，过点作轴，交于点，如下图， 则， 当点在直线上方时，， ∴， 整理可得，解得（舍去），， ∴； 当点在直线下方时，， ∴， 整理可得，解得，， ∴，． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或； （3）根据题意，点是抛物线（第一象限内）上的一个动点， 可设，过点作轴，交于点，如下图， 则， ∴， ∴， 即当时，取最大值，最大值为8， 此时； （4）根据题意，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，如下图， 设，可分三种情况讨论， 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即； 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即； 当该平行四边形以为对角线线时， 则线段的中点， ∴，解得，即． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、二次函数图像与坐标轴交点、二次函数综合应用、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题关键． 6．如图，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)在抛物线对称轴上取一点，使得最小，则点的坐标为_______； (2)连接，当的面积的最大时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，线段最短问题，面积问题； （1）根据轴对称的性质可得点在上，求得抛物线对称轴为直线，进而求出直线的解析式，将代入，即可求解； （2）设，则，表示出的长，进而表示出三角形面积公式，根据二次函数的性质求得的值，进而求得的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 依题意，， ∴ ∴当点在线段上时，最小， 当时，，则， 当时，， 解得：，则，， 设直线的解析式为 ∵过点， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴， 故答案为：． （2）解：设，则 ∴， ∴的面积为 ∴当时，的面积的最大 则 即． 7．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)当点时，△的面积取得最大值，最大值为4 (3)或 【分析】（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式； （2）过点作轴交于点，设点，，，得出当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）由题意得，，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，两种情况进行讨论． 【详解】（1）解：交轴于点和点， ， ， ； （2）解：当时，， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ， 设点， ， ， ， 当，即点时，△的面积取得最大值，最大值为4； （3）解：由（1）（2）可知：，，设点，点，由点在下方结合根据中点坐标公式可分： ①以、为对角线，， ， 或（不符合题意，舍去）； ②以、为对角线，， ， 或， ∴或， ∴当时，代入直线的解析式得：，此时点Q在直线下方，符合题意； 同理可验证也符合题意； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为时，有最大值，且最大值为； (4)存在点P，使四边形为菱形；点P的坐标为 【分析】（1）将、代入即可求解； （2）解一元二次方程即可； （3）过点作轴，求出直线的解析式，设点，则，根据即可建立函数关系式求解； （4）设点，交轴于点，若四边形为菱形，则，可推出，据此即可求解； 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴ （2）解：令，解得， ∴点A的坐标 （3）解：设直线的解析式为：， 将代入得：， 解得：； ∴直线的解析式为：， 过点作轴，如图所示：      设点，则 ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； （4）解：设点，交轴于点，如图所示：    若四边形为菱形，则， ∴ 即： ， 解得：（舍） ∴点P的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． 9．如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求点C的坐标和直线l的解析式； (2)点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 【答案】(1)，直线l的解析式为； (2)点P坐标为； (3)，的面积最大值为． 【分析】（1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可； （3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式可得， ， 把、坐标代入直线l：可得，， 解得， 直线l解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得， 直线解析式为； 令，则， 点P坐标为； （3）解：过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为． 此时． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（3）中用表示出的面积是解题的关键． 10．如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标． (3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合利用待定系数法求解即可； （2）先求出，分点N在x轴上方和下方两种情况讨论，当点N在x轴上方时，根据二次函数的对称性质及等腰三角形的性质推出，则由等腰三形判定得，最后由勾股定理即可求解；当点N在x轴下方时，由对称性即可求解； （3）如图，过点M作交于点H，设，求出，进而求出，解直角三角形得到，，从而求出在中，，，，，证明，求出，证明，由，得到关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解： ，， ∴， ， 如图， 点N在抛物线的对称轴上， ， 当点N在x轴上方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 抛物线的对称轴为， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ； 当点N在x轴下方时， 由对称性得：； 综上，点N的坐标为或； （3）解：如图，过点M作交于点H， 设， 点M是抛物线的顶点， 当时，， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大， 此时点D的坐标为． 【题型2 面积成比例】 11．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一点，，求点的坐标； (3)将抛物线向左平移单位，设为抛物线对称轴上的动点，为平移后的抛物线上的动点，点的坐标为，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）先通过一次函数求出点，再将两点代入二次函数解析式即可； （2）设，分别列出两个三角形面积，建立方程解方程即可； （3）通过函数表示出两点坐标，再对平行四边形分情况讨论即可． 【详解】（1）解：直线的解析式为， ∴当时，，故， 抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧） ∴，解得， ∴抛物线解析式为：． （2）解：设， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点， ∴，， 故方程可变为：， 解得，负值已舍 当，， ∴点的坐标为 （3）解：存在， 抛物线， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线对称轴上的动点，可设， 抛物线向左平移单位后得到的新抛物线为：， ∵为平移后的抛物线上的动点，可设， ∵， ， ∴当以为顶点的四边形为平行四边形有如下三种情况： ①当为对角线时，可得到方程，解得， ∴此时点的坐标为； ②当为对角线时，可得到方程，解得， ∴此时点的坐标为； ③当为对角线时，可得到方程，解得， ∴此时点的坐标为， ∴综上存在以为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线的解析式和平行四边形的判定与性质以及平行四边形的顶点平移规律，注意熟练运用分类讨论的数学思想是解题关键． 13．如图，抛物线（是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点是．过点作直线平行于轴，与轴交于点，且． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由得，顶点，则，则，可求代入解方程即可求出，故解析式为； （2）如图，过点作轴于点，由，知和是共底三角形，则面积关系转化为高的关系，可求． 【详解】（1）解：由得，顶点， ， ， ， ， 将代入． 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 过点作轴于点， 由（1）得抛物线解析式为：， ∴， ， ， ， 又， 点的纵坐标为． 14．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求解析式，点的对称性，图形的面积计算，勾股定理，两点间的距离公式，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将，代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，则，再根据二次函数的性质求解即可； （3）设点，则点，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：①如图， 设直线解析式为，把、坐标代入得： ， 解得：， 直线解析式为， 设点，则点， 则， ， 当时，线段有最大值，为； ②设点，则点， 则，， ， ， ， 解得：或5（舍去）， 经检验，是原方程的解， 点． 15．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上且满足，求的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键． （1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）根据，求出、点坐标，再求出的面积，设，再根据列出方程求解即可； （2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入抛物线得：， 解得：， ， 顶点坐标为：． （2）解：点的坐标为，由（1）知的对称轴为， ， 令，则， ， ， 设， ， 整理得：或， 解得：， 点的坐标为或或或； （3）解：连接交抛物线对称轴于点，连接，则此时的值最小， 设直线的解析式为：， 点，点， ， 解得：． 直线的解析式为：， 当时，， 当的值最小时，点的坐标为：． 16．如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)存在的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为，理由见详解 (3)直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为 【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点为，运用顶点坐标公式，代入计算即可求解； （2）根据两点之间距离的计算可得，如图所示，作点关于轴对称点，则，连接，当点三点共线时，的值最小，最小值为，的周长为，此时周长最小，设直线的解析式为，运用待定系数法可得直线的解析式为，由此可得点的坐标，再根据两点之间距离公式的运用可得的长，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得，设，根据题意，分类讨论：①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点，由坐标与图形的关系可得，结合，可解；②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点，同理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，顶点为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴二次函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，作点关于轴对称点，则，连接， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， ∵的周长为， ∴的周长为，此时周长最小， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为； （3）解：由（1）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上方抛物线上的一个动点， ∴设， ①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点， ∴，， ∴， ∵直线将四边形的面积分为的两部分， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 把点代入直线得，， 解得，，， ∴不符合题意，，此时直线的解析式为； ②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点， 同理，，， ∴， 解得，， ∴（不符合题意，舍去），， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，把点代入得，， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形-轴对称最短路径，二次函数与四边形的综合，两点之间的距离公式的运用，二次函数与图形面积的计算，掌握二次函数与几何图形的综合，两点之间距离公式的计算方法是解题的关键． 17．如图，抛物线（其中b，c为常数）经过点，，顶点为C． (1)求四边形的面积； (2)点P是x轴上位于A点左侧的一动点，若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，坐标与图形，分类讨论思想的运用是解答的关键． （1）由题意易得抛物线解析式，求得顶点C的坐标；连接，四边形的面积等于面积的和； （2）分点P在线段上及点P在原点左侧两种情况，的面积与四边形的面积之比为1：3，可得的面积，从而求得，即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 配方得：， ∴； ∵，， ∴； 如图，连接， ； （2）解：当点P在线段上时， ∵的面积与四边形的面积之比为， ∴的面积与四边形的面积之比为， ∴， 即， ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在原点左侧时， ∵的面积与四边形的面积之比为1：3， ∴的面积与四边形的面积之比为， ∴， 即， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 18．如图，已知抛物线经过，，三点 (1)抛物线的解析式，并求出对称轴和顶点坐标． (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标． (3)设点为抛物线上的一个动点，若的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)或或或 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数解析式，再把解析式转化为顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （）由点关于对称轴，可知当点为直线与对称轴的交点时，点到点的距离与到点的距离之和最小，利用待定系数法求出的解析式进而即可求解； （）求出的长，设点的纵坐标为，再根据面积关系列出方程即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称最短线段问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵点关于对称轴， 可知当点为直线与对称轴的交点时，点到点的距离与到点的距离之和最小， 设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴， 设点的纵坐标为， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， ∴， 当时，由，解得，， ∴点的坐标为或； 当时，由，解得，， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 19．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，则；当时，则；当时，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 设，则，，， ，， 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ，， ，，， 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得，， 此时点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 20．如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标是，， (3)，，，， 【分析】本题考查了二次函数与四边形的综合题，涉及求函数与坐标轴的交点问题，与三角形的面积有关问题，平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）分别令，求出一元二次方程的根，即可求出点坐标，再令即可求出点坐标； （2）设，根据的面积是的面积的倍得到方程，求出y，再代入函数解析式解出x即可求出坐标； （3）分类讨论：设，，而，①当为对角线时，则；②当为对角线时，则；③当为对角线时，则，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：设，， ∵的面积是的面积的倍 ∴， 解得：， ∴， ∴或， 解得：或， 所以点P的坐标为：，，； （3）解：设，，而， ①当为对角线时， ， 解得：（舍）或，或（舍）或 ∴或 ②当为对角线时， ， 解得：或或（舍）或 ∴或或 ③当为对角线时， 无实数根，故不成立； 综上所述，点N的坐标为，，，，． 【题型3 已知面积求点】 21．如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． (1)求、值及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)，，顶点坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质、面积问题； （1）令，代入解析式可求出、将函数解析式配方成顶点式可得顶点坐标； （2）结合函数图象以及、点的坐标即可得出结论； （3）设，根据三角形的面积公式以及，即可算出的值，代入抛物线解析式即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点，则， 解方程得：， 点在点左侧， ，， ， 顶点坐标为． （2）由函数图象可得当时，． （3）、， ． 设，则， ， ． ①当时，， 解得：，， 此时点坐标为或； ②当时，，则， ∵， ∴方程无解； 综上所述，点坐标为或． 22．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的图象和性质 （1）根据与的坐标可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而利用待定系数法把代入二次函数中，即可算出的值，进而得到函数解析式是； （2）首先求出、两点坐标，计算出的长，再设，，根据的面积为可以计算出的值，然后再利用二次函数解析式计算出的值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵与在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， 设函数的解析式为， 将代入得， ∴ 解得， ∴函数的解析式，即； （2）解：当时，， 解得：； ，， ． 设， 的面积为， ， 解得：， 当时，， 解得：或， 或； 当时，， 方程无解，舍去． 故或． 23．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10； (3)存在，； (4)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点和代入，解得，即可得解； （2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求； （3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则； （4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 证明，则有，求得，则，可求． 【详解】（1）的图象过点和， ， 解得 抛物线的解析式的解析式为 （2）令，则，解得或， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵四边形的面积为18， ∴的面积为8， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 过P点作x轴，交于点M， 设，则， ， ∴， ∴； （4）存在，或． 理由如下： 设，当时，如图1， ∵矩形是以为边， ∴， 过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ∵， ， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵矩形是以为边， ∴， 设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 过点Q作轴交G点，过K作轴交E点， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴ 综上，或； 24．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点、代入解析式， 得， 解得：， 故抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． （3）解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 25．如图，已知抛物线交轴于点A，点B，交轴于点C．点P抛物线上一点． (1)当时，求y的取值范围; (2)试说明点P运动到哪个位置时，满足，求此时点P的坐标． (3)如果点P在第四象限的抛物线上运动，连接，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点D．当点E是的中点时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)当时， (2)或或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象性质，待定系数法解一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把二次函数化为顶点式，得出抛物线的对称轴，顶点坐标，再结合，分别求出当时和当时，的值，再比较即可作答． （2）设P的纵坐标的绝对值为，根据，得，再求出，则，故解出，再分别代入解析式，进行计算，即可作答． （3）先求出直线的解析式为；再分别表示出，因为点E是的中点，得，再结合点P在第四象限的抛物线上运动，，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴抛物线的对称轴，顶点坐标， 当时，则， 当时，则； ∴当时，； （2）解：设P的纵坐标的绝对值为， ∵， ∴， ∵抛物线交轴于点A，点B， ∴令，则， 解得，， 结合图象得； ∵， ∴ ∴； 把代入解析式得， 解得，； 把代入解析式得， 解得； ∴点在该抛物线上滑动到或或时，满足； （3）解：依题意，如图： ∵抛物线交轴于点C．点P抛物线上一点． ∴令则，则， 设点的坐标为， 设直线的解析式为， 把 分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点D． ∴， 则， ∵点E是的中点， ∴ ∵点P在第四象限的抛物线上运动， ∴ 解得或， 当时，则，点不在第四象限，故舍去； ∴， ∴； 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（为常数，且） (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点，点为轴下方的抛物线上一点，满足，试求点的横坐标； (3)如图，若直线与抛物线交于两点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，进而可得点在对称轴上，且在顶点下方，设直线与对称轴相交于点，点，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，即得，得到，再根据列出方程求出的值即可求解； （）由一次函数解析式可得直线恒过点，联立函数式可得，设，，则，，设直线与对称轴相交于点，与对称轴相交于点，过点作于点，则，可得，，即得∴，，进而由得到，根据点的坐标可得，得到，再由，得到，，即可得，得到，即得到，得到，据此即可求证． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点， ∴点在对称轴上，且在顶点下方，设直线与对称轴相交于点，如图， 设点，直线的函数解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得或， 当时，； 当时，； ∵点为轴下方的抛物线上一点， ∴点的纵坐标为负数， ∴不合题意，舍去， ∴点的横坐标为； （3）证明：∵直线， ∴直线恒过点， 由，得， 设，，则，， 设直线与对称轴相交于点，与对称轴相交于点，过点作于点，则， ∴，， ∴，， ∵点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 即， ∵， ， ∴，， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线过定点，定点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，一元二次方程根和系数的关系，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质并正确作出辅助线是解题的关键． 27．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为：； (3)，； 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． （1）将点，点代入求解即可得到答案； （2）根据对称性得到点A关于对称轴的对称点B的坐标，连接交对称轴即为点，此时距离和最小，根据两点间距离公式求解即可得到答案； （3）设点，根据面积列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：将点，点代入得， ，解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， 由抛物线的对称性得，连接交对称轴即为点，此时距离和最小， ∵A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为：； （3）解：设点， ∵三角形的面积为， ∴， 解得：，， ∴，； 28．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点的坐标即可解决问题； （3）设点，根据，建立方程求解即可； （4）分别以点、、为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求的长即可． 【详解】（1）解：抛物线过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解： ， 对称轴为直线， ，关于对称轴对称，， ， ， ． （3）解：如图，过点P作于点H，设点， 根据题意，得：，，， ， ， 解得：，， 点是抛物线上一动点，且位于第四象限， ， ，， ； （4）解：点在直线上，点在轴上，为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点为直角顶点且在轴上方时，如图2，，， ， ， ， ， ，， ； ②以点为直角顶点且在轴下方时，如图3， 过点作轴，过点作轴，过点作轴交于点，交于， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ； ③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图4，，， 过点作轴，过点作轴交的延长线于， 同理可得：， ，则， ∴， ； ④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图5， 过点作轴，过点作轴交延长线于， 同理可得：， ，， ， ； ⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述，当为等腰直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 29．已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)12 (3)点的坐标为 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）先求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点．设点，则点，由，结二次函数的性质求解即可； （3）先求得点D坐标，连接，则轴．过点做交轴于点．根据等底等高的三角形面积相等得到，进而求得点N坐标和直线的解析式为．联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，且其对称轴为直线 抛物线过点 设二次函数的解析式为， 把代入，得：． 二次函数的解析式为； （2）解：设的解析式为，把点代入，得． 的解析式为． 如图，过点做轴的垂线分别交抛物线于点，交轴于点． 设点， 则点 ， ∵， 面积的最大值为12． （3）解：点的横坐标为， ，直线的解析式为． 连接，则轴．过点做交轴于点．则 ． ， ，则点的坐标为， ，直线的解析式为， 直线的解析式为． 点为抛物线与直线的在第二象限内的交点， 解方程组，解得或（舍去） 点的坐标为． 30．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点F的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，再根据，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标； （3）设点P坐标为，先求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若，同①可求出对应的P点坐标，进而得出结果． 【详解】（1）解：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，得，即点A的坐标为， 令，得，即点B的坐标为， 将，代入， 得， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设第三象限内的点F的坐标为， 则，， ， 对称轴为直线，顶点D的坐标为， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，则，， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， 以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， ， 点F的坐标为； （3）解：设点P坐标为， ，， ， 分两种情况: ①如图2，若，则， 即， 解得， 点P的坐标为； ②如图3，若，则， 即， ， 点P的坐标为； 综上所述，P点坐标为或． 【题型4 面积相等】 31．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为，，；②点P的坐标为：和． 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，如图，当点P在直线下方时，过点C作，当点P在直线上方时，记与轴的交点为，在轴上取点，且，可得，过点K作直线交抛物线于，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②先求解，根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，设，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，且， ∴， 过点K作直线交抛物线于， 同理可得：直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②∵， ∴， 解得：，， 当时，， ∴， 如图，设，而， ∴， ， ， 当B为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当P为直角顶点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴此时不存在． ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数面积问题、勾股定理的应用，一元二次方根的判别式的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，． (1)求该抛物线的解析式． (2)若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标． (3)当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，把点B的坐标代入解析式中，求得b的值，即可求解； （2）由抛物线解析式可求得点A、C的坐标，则可求得点D的坐标，从而可求得的面积；由题意求得的边上的高，由点E在抛物线上，可求得点的横坐标； （3）设点的坐标为，由待定系数法求得直线的解析式为；过点作轴，交于点．则可得点F的坐标，从而求得；则可得S关于m的二次函数关系式，由二次函数的性质即可求得S的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点和点， ，解得， 该抛物线的解析式为． （2）解：， 令，即， 解得，， 点的坐标为． 令，得， 即， ∴； 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ∴， ∴； 由题意知，，其中h为的边上的高，， ∴，即点E的纵坐标为， ∴或， 解前一方程得：，解后一方程得：； 即点的横坐标为或； （3）解：由（2）知，； 设点的坐标为． 设直线的解析式为． 由点，的坐标可知， 解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴，交于点． 当时，， 点的坐标为， ， 则， 当时，的值最大，且最大值为， 故的最大值为． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，求二次函数与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是关键． 33．如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)3 (2)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出的值，利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积； （2）首先求出，然后根据题意得到，然后代数求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数的图象上 ∴， 解得：， ∴一次函数关系式为 当时， ∴一次函数与y轴交点坐标为 ∴，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为； （2）∵一次函数关系式 ∴当时， ∴ ∴ ∴ ∵的面积与的面积相等 ∴，即 ∴ 将代入得， ∴ ∴点P的坐标为或． 34．已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)3 (3)存在； 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把二次函数一般式化为顶点式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据∴，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线，顶点为点， ∴， ∴顶点坐标； （2）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 35．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 【答案】(1) (2)①存在，P的坐标为，，；②和 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，过点C作直线于E，并延长使，则点与点关于直线对称，过点作， 设，直线的解析式为，则， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， ∴直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②由（1）可得：，， ∴，， ∴， （Ⅰ）如图1，当B为直角顶点时，过B作交x轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即， （Ⅱ）如图2，当为直角顶点时，作，连接， 将与联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 则， 故点坐标为； （Ⅲ）如图3，当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，设 ∵， ∴， ∵， ∴ 得：， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 36．如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标； (3)若在x轴上有且仅有一点P，使，求k的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键． （1）根据已知列出方程组求解即可； （2）作轴，轴，垂足分别为，，求出直线的解析式，再分两种情况分别分析出点坐标即可； （3）根据题意分析得出以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，为的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得，，； 二次函数的解析式为：， （2）解：作轴，轴，垂足分别为，，设对称轴交轴于．则， ， ， ， ， ， ， 将代入，得： ， ， 将点代入得：， 解得， 直l线的解析式是：， 将代入，得， ， 设直线的函数关系式为， 则将点代入得：， 解得， ∴直线的函数关系式为， ， ①在下方）， 设，将代入可得， ， 令， 解得，，， ， ，此时， ． ②在上方时，直线与关于对称， ∵点关于点的对称点是点 ， ， 解得，， ， ， ， 综上所述点的坐标为，． （3）解：由题意可知：， ， 直l线的解析式是：， 令， 解得，， 当时， ， 如图，设中点为， 点有且只有一个， 以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点， 轴， ∴， ， 为的中点，， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 37．抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，平移直线经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，且满足的面积与的面积相等，求点D的横坐标； (3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线．直线交抛物线于P，Q两点，交其对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线于F，H两点，交x轴于点G，求证：． 【答案】(1) (2)横坐标为3或或 (3)见解析 【分析】（1）分别求出当时的函数值，当时的自变量的值即可得到答案； （2）当点D在下方时，根据的面积与的面积相等，则，可求出的解析式为：，联立，解得或，则点D的横坐标为3；当点D在上方时，设与轴的交点为，则，在的延长线截取，，根据直线与直线平行，直线与直线平行，且，可知此时直线与抛物线的交点即为D的位置，联立得，解得，则点D的横坐标为； （3）求出平移后的抛物线解析式为，则平移后的抛物线对称轴为直线，，设点，，可求出直线解析式为，当时，，则；求出直线的解析式为，当时，，则，即可得到，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，解得或， ∴； （2）解：当点D在下方时， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∵平移直线经过点A，， ∴直线解析式为， ∵， 的解析式为：， 联立，解得或， ∴点D的横坐标为3； 当点D在上方时， 设与轴的交点为，则， ∴， 在的延长线截取， ， ∴过点E且与直线平行的直线解析式为， ∵直线与直线平行，直线与直线平行，且， ∴此时直线与抛物线的交点即为D的位置， 联立得，解得， ∴点D的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为：3或或； （3）证明：∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为：， ∴平移后的抛物线对称轴为直线，， 设点，， ， ， ∴直线解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为：， ， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，求二次函数与坐标轴的交点坐标等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 38．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点使得最小，并求出点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）分别令，，求出两点的坐标即可； （2）找到点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点； （3）求出直线的解析式，将直线向上，向下平移4个单位，得到直线，经过原点和直线，得到当点在直线时，的面积与的面积相等，联立直线和抛物线的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 连接， 则：， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为，把，代入得：， ∴， ∴当时，， ∴点； （3）存在； ∵，， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 把直线向下平移4个单位，得到直线，经过原点，把直线向上平移4个单位，得到直线， ∴当点在直线上时，的面积与的面积相等， 联立，解得：或， ∴或 39．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一点，连接、，过点作轴交于点，交轴于点，当与的面积相等时，求点的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点且在点的上方，为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数综合题型，涉及待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，菱形的存在性问题，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用交点式即可求解； （2）连接，求出直线解析式，设，则，利用求出，再利用相似求出，即可求解； （3）由点为平面内一点，所以可以先判定为等腰三角形，再利用平行四边形中点的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线， ∴，， ∴，， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，连接， 由，可得抛物线的对称轴为直线， 设直线为， 将代入得：， ∴， ∴直线为， 设，则， 则，， 在中，令，得， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴ ， ∵与的面积相等， ∴， 解得：，（舍）， 则； （3）解：由题意，设，， 又，， 则， ， ， 当为对角线，即时， 则， 解得：（负值舍）， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即； 当为对角线，即时， 则， 解得：， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即； 当为对角线，即时， 则， 解得：（舍），或， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 即； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 40．抛物线交轴于是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使和面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点的横坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)存在，满足条件的点的横坐标为0，， (3) 【分析】（1）由待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据题意，分类求解：①若点在的下方时，由，即可求解；②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，，符合条件，进而求解； （3）设，是方程的两根，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∴； （2）解：， ， 直线的解析式为， 又∵ ∴两点到的距离相等， ①若点在的下方时，过点作的平行线与抛物线交点即为，如图所示： ，， 直线的解析式为， 由，解得， ， 的横坐标为0． ②若点在的上方时，点关于点的对称点，过点作的平行线交抛物线于点，，则，符合条件，如图所示： 直线的解析式为， 由，可得，解得， ，的横坐标为，， 综上所述，满足条件的点的横坐标为0，，； （3）解：设点的横坐标为，过点的直线的解析式为， 由，可得， 设，是方程的两根，则， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，同理，可得， ， ， ， ． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数综合题面积问题分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 面积最值问题】 1 【题型2 面积成比例】 5 【题型3 已知面积求点】 9 【题型4 面积相等】 13 【题型1 面积最值问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)若M为线段下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，的面积最大，求此时的面积和点M的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于、，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线第四象限内图象上的点，求当点P运动到何处时面积最大，最大面积是多少？ (3)如图，已知线段与线段关于平面内某点成中心对称，其中的两端点刚好一个落在抛物线上，一个落在对称轴上，直接写出落在对称轴上的点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D第一象限是抛物线上的一个动点． (1)如图1，当点A的坐标为时， ①求该抛物线的解析式； ②连接，当的面积最大时，求点D的坐标． (2)如图2，当点D的横坐标是1，时，过点D作y轴的平行线，交x轴于点M，过点F作y轴的平行线交抛物线于点E，连接，求证：平分． 4．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上的一点． (1)求点A的坐标及直线的解析式； (2)如图①，连接，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)如图②，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴交直线于点E，M是线段上一动点（不与B，C两点重合），连接，设点M的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？ 5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的表达式及点的坐标； (2)若点坐标固定为，是抛物线上除点之外的一个动点，当时，则点的坐标为________； (3)点是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接，，当面积最大时，求点的坐标； (4)在（2）的条件下，若点为坐标平面内任一点，以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 6．如图，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． (1)在抛物线对称轴上取一点，使得最小，则点的坐标为_______； (2)连接，当的面积的最大时，求出点的坐标． 7．抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是直线下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内的是否存在点（点在下方），使得以为边、以为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的所有点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求该二次函数的解析式； (2)求点A的坐标； (3)连接，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； (4)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． (1)求点C的坐标和直线l的解析式； (2)点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； (3)点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 10．如图1，抛物线与x 轴交于点和点B，与 y 轴交于点C，连接，已知，点M是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，抛物线的对称轴与x 轴相交于点P，与线段相交于点Q，点N 是抛物线的对称轴上的点，且满足，求点N 的坐标． (3)如图3，连接，点D 是线段上的一个动点，过点D 作交于点E，于 点F， 连接．当面积最大时，求此时点D的坐标． 【题型2 面积成比例】 11．如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线的解析式为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一点，，求点的坐标； (3)将抛物线向左平移单位，设为抛物线对称轴上的动点，为平移后的抛物线上的动点，点的坐标为，是否存在以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线（是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点是．过点作直线平行于轴，与轴交于点，且． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点的纵坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点． ①求线段的最大值； ②连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标． 15．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为． (1)求的值及抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上且满足，求的坐标； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 16．如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 17．如图，抛物线（其中b，c为常数）经过点，，顶点为C． (1)求四边形的面积； (2)点P是x轴上位于A点左侧的一动点，若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标． 18．如图，已知抛物线经过，，三点 (1)抛物线的解析式，并求出对称轴和顶点坐标． (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标． (3)设点为抛物线上的一个动点，若的面积是面积的，求点的坐标． 19．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 20．如图，函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． (1)求，，三点的坐标； (2)在函数的图象上，连接，，的面积是的面积的倍，求点的坐标； (3)在函数的图象上，在轴正半轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点的坐标． 【题型3 已知面积求点】 21．如图所示，已知抛物线经过、两点，点在点左侧． (1)求、值及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 22．如图，已知抛物线过与且有最小值． (1)求此二次函数的解析式； (2)抛物线与轴交于点，在抛物线上存在一点使的面积为24，求出点的坐标． 23．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 25．如图，已知抛物线交轴于点A，点B，交轴于点C．点P抛物线上一点． (1)当时，求y的取值范围; (2)试说明点P运动到哪个位置时，满足，求此时点P的坐标． (3)如果点P在第四象限的抛物线上运动，连接，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交x轴于点D．当点E是的中点时，直接写出点P的坐标． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（为常数，且） (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点，点为轴下方的抛物线上一点，满足，试求点的横坐标； (3)如图，若直线与抛物线交于两点，点关于抛物线对称轴的对称点为点，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 27．已知：二次函数的图象与轴交于A，两点，其中A点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标． 28．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 29．已知：如图，抛物线过点，且其对称轴为直线，点为抛物线上第二象限内一点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，求面积的最大值； (3)如图2，若抛物线上点的横坐标为，且的面积为，求点的坐标． 30．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 面积相等】 31．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 32．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点，点与点关于轴对称，为该抛物线上一点，连接，，，． (1)求该抛物线的解析式． (2)若的面积与的面积相等，请直接写出点的横坐标． (3)当点在第一象限时，连接，设的面积为，求的最大值． 33．如图，一次函数的图象与二次函数图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)点是抛物线上一点，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 34．已知抛物线，顶点为点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求顶点坐标； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，是否存在点，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 35．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 36．如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标； (3)若在x轴上有且仅有一点P，使，求k的值． 37．抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)如图1，平移直线经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，且满足的面积与的面积相等，求点D的横坐标； (3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线．直线交抛物线于P，Q两点，交其对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线于F，H两点，交x轴于点G，求证：． 38．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点使得最小，并求出点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得的面积与的面积相等．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于，连接，与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上一点，连接、，过点作轴交于点，交轴于点，当与的面积相等时，求点的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点且在点的上方，为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 40．抛物线交轴于是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使和面积相等，如果存在，求出所有满足条件的点的横坐标；如果不存在，说明理由； (3)如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$