专题09 二次函数综合题存在性问题特殊三角形类分类训练（4种类型40道）-2024-2025学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题09 二次函数综合题存在性问题特殊三角形类分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 存在性等腰三角形】 1 【题型2 存在性直角三角形】 25 【题型3 存在性等腰直角三角形】 52 【题型4 存在性等边三角形】 89 【题型1 存在性等腰三角形】 1．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是4，此时． (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积综合、二次函数与几何综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值即可； （2）如图∶过点P作轴，交于点Q，设点P，Q的横坐标为m，分别求得点P，Q的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标； （3）设点，分、、三种情况分别运用两点间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，由抛物线的对称性可知：点A与点B关于直线对称， ∴点B的坐标为， ∵抛物线过， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：设， 如图，过点P作轴交于点Q， ∵直线经过两点， ∴设的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 则，则， ∴， ∴当时，的最大值是4，此时． （3）解：设点， ∵，， 当时，，解得：，即 当时，，该方程无解； 当时，，解得：，即或． 综上，当点Q的坐标为或或． 2．已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (4)抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 【答案】(1) (2)点P (3) (4)或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． （4）分两种情况：当时，则，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （4）解：设点， ∵，， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， 即点或； 当时，， 则， 解得：或， 即点或； 综上，或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数对称性最短距离和问题及三角形面积问题，解题的关键是先求出解析式，熟练掌握轴对称最短距离和问题． 3．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，连接，，，先求得，，利用两点坐标距离公式证得，根据勾股定理的逆定理可得结论； （3）设，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时；当时；当时；由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：是直角三角形，理由为： 如图，连接，，， 由（1）可得，， ∴， 当时，， ∴，又， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：存在，理由如下， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 由 得， 解得：（舍去），， ∴； 当时，是等腰三角形， 由得， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点、二次函数的性质、二次函数与特殊三角形的综合运用，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握二次函数的性质以及分类讨论求解是解题的关键． 4．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等． （1）将点和点的坐标分别代入解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积列出方程，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）先根据勾股定理求出的长，再分为点是等腰的顶点和点是等腰的顶点，两种情况进行分析即可求解． 【详解】（1）解：把点、代入解析式， 得， 解得：， 故抛物线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 则， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点的坐标为，． （3）解：连接，如图： 在中，， 当点是等腰的顶点时，此时点在点的上方， 则， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的下方时， 此时， 故此时点的坐标为； 当点是等腰的顶点，点在点的上方时， 此时， 故此时点的坐标为； 故点的坐标为或或． 5．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，线段有最大值且为 (3)存在，或或或或 【分析】（1）把代入直线，求出，再根据待定系数法求解即可； （2）设动点的坐标为，则点的坐标为，表示出 ，再结合，根据二次函数的性质求解即可． （3）设点，分为①当时，②当时，③当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得， ， 在抛物线上， ，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：存在． 理由如下：设动点的坐标为，则点的坐标为， ， 点是线段上的动点， ， 当时，线段有最大值且为． （3）解：存在． 设点， ①当时，， 解得：， 或． ②当时，， 解得：， 或． ③当时，， 解得：， ， 综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．题型较好，综合性强． 6．已知抛物线 交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)P点坐标为或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程， （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论； （3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：令得，， ， ． ， ， ， ． 平行于轴，平行于轴， ，， ， ， ， ， 当的长度最大时，取最大值． 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得，， 直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，最大，此时取最大值，， ； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 由（2）可得，，，， ∴，， 当时，， ∴，即 整理得， ∵ ∴，此时； 当时，， ∵， ∴ ∴，此时； 综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或． 7．综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求点C的坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或 【分析】（1）把点A的坐标代入求解即可； （2）过P作于点E，过点P作轴交于点H，，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，则， 求得，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，， 解得， ∴点C的坐标为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， ∴； 过P作于点E，过点P作轴交于点H，如图1： ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大为， ∴， ∴此时最大为，点P到直线的距离值最大， 即点P到直线距离的最大值为； （3）解：存在， 设点M的坐标为， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ①当时，如图，设对称轴l与交于点E， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴M点的坐标为， ②当时，过点M作于H， ∴， ∴， ∴5，5， ∴或； ③当时，如图， ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， 综上所述，在对称轴上存在点M，使得为等腰三角形，M的坐标为或或）或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 8．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，二次函数与特殊三角形的综合运用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据根据两点之间距离的计算方法可得的值，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；由此列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下， 由（1）可得，， ∴，抛物线对称轴为， 当时，， ∴，且， ∴ ∴， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 同理可得，或； 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 【答案】(1)，； (2)①；②，当时，的周长最大，最大值是． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线和直线解析式； （2）①当是等腰三角形时，判断出只有，设出点P的坐标用建立方程组求解即可； ②先表示出，然后建立三角形的周长和m的函数关系式，确定出最大值． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 直线解析式为， 点在此直线上，点的横坐标为，则， 点的纵坐标为， ， 抛物线交于、两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：∵点的横坐标为，则设， ∴， 过点作轴的平行线，与直线交于点，则点的纵坐标为， ∴，则， 点， ， ①当点在轴上方时， ，是钝角， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， 或舍， 当时，是等腰三角形； ②当点P在x轴下方时，， ， ，则，点， ，， ，， ∴的周长 ， ∵， 当时，， 当时，的周长最大，最大值是． 【点睛】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，三角形的周长，两点坐标距离公式等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． 　备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，； (3)或或． 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，即可． （1）把点，的坐标代入函数解析式，即可； （2）设直线的解析式为，根据点，的坐标求出解析式，过点P作x轴的垂线交AB于点H，求出，根据，即可； （3）根据函数平移的性质，则平移的函数解析式：，根据点为点的对应点，求出点的坐标，平移后的抛物线与轴交于点，求出点的坐标，根据两点间的距离公式，求出，，，分类讨论等腰三角形的形状，即可． 【详解】（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，设， ∴， ∴， ∵面积， ∴， ∴当时，面积最大值为， 此时． （3）抛物线整理得：， ∴平移后的抛物线表达式为：， ∵点为点的对应点，， ∴点， ∵平移后的抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， 设点， ∴，，， 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：； 当时，则，解得：， ∴点的坐标为：， 检验得点，点，点三点不共线． 综上所述，点的坐标为：或或． 【题型2 存在性直角三角形】 11．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为，，；②点P的坐标为：和． 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，如图，当点P在直线下方时，过点C作，当点P在直线上方时，记与轴的交点为，在轴上取点，且，可得，过点K作直线交抛物线于，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②先求解，根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，设，分别利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，记与轴的交点为， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，且， ∴， 过点K作直线交抛物线于， 同理可得：直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②∵， ∴， 解得：，， 当时，， ∴， 如图，设，而， ∴， ， ， 当B为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当为直角顶点时， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当P为直角顶点时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程无解， ∴此时不存在． ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数面积问题、勾股定理的应用，一元二次方根的判别式的应用、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点； (3)点的坐标为：或或或 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点 ； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 13．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将代入得： 解得：； （2）解： ， 抛物线的表达式为：， 将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； （3）解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 14．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 15．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）先由直线的解析式求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B两点坐标代入，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）设第三象限内的点F的坐标为，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，再根据，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标； （3）设点P坐标为，先求出，再分两种情况讨论：①若，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若，同①可求出对应的P点坐标，进而得出结果． 【详解】（1）解：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，得，即点A的坐标为， 令，得，即点B的坐标为， 将，代入， 得， ， 抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设第三象限内的点F的坐标为， 则，， ， 对称轴为直线，顶点D的坐标为， 设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接，则，， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， ， 以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，， 解得：，（舍去）， 当时， ， 点F的坐标为； （3）解：设点P坐标为， ，， ， 分两种情况: ①如图2，若，则， 即， 解得， 点P的坐标为； ②如图3，若，则， 即， ， 点P的坐标为； 综上所述，P点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的面积问题，二次函数与直角三角形问题,运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，其中利用面积的和差表示出和分类讨论是解本题的关键． 16．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，则；当时，则；当时，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 当时，，即， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 设，则，，， ，， 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ，， ，，， 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得， 此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 则， 解得，， 此时点的坐标为或， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 【答案】(1) (2)①存在，P的坐标为，，；②和 【分析】（1）根据交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且．得出可设二次函数，进而求出即可； （2）①分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况，利用平行关系和对称性求出直线，解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标． ②根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可． 【详解】（1）解：∵交x轴于点A，与y轴交于点B， ∴令，则，解得，即， 令，则，即， ∵二次函数的顶点C在x轴上，且， ∴由图可得， ∴可设二次函数， 把代入得： ∴二次函数的解析式：； （2）解：①∵面积与面积相等， ∴点在过点且与平行的直线上或与平行且点到的距离与到的距离相等的直线上； 如图，当点P在直线下方时，过点C作， 由（1）知，直线解析式为，故设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的解析式：， 联立①②得，（舍）或， ∴； 当点P在直线上方时，过点C作直线于E，并延长使，则点与点关于直线对称，过点作， 设，直线的解析式为，则， ∴， ∴， ∴， 将代入得：， ∴直线解析式为， 联立②③得，或， ∴或， 综上所述：使面积与面积相等的点P的坐标为，，； ②由（1）可得：，， ∴，， ∴， （Ⅰ）如图1，当B为直角顶点时，过B作交x轴于点， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴，即， （Ⅱ）如图2，当为直角顶点时，作，连接， 将与联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：， 则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 则， 故点坐标为； （Ⅲ）如图3，当P为直角顶点时，过点D作轴于点E，设 ∵， ∴， ∵， ∴ 得：， ∵方程无解， ∴点不存在， ∴点P的坐标为：和． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 18．如图，直线与轴、轴分别交于点．抛物线经过，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是直角三角形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， (3)或或或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，轴对称的性质，勾股定理． （1）先求出点A和点B的坐标，再将其代入，即可求出a和k的值； （2）求出点C的坐标，连接，交抛物线对称轴于点M，此时的周长最小，即可解答； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：； （2）解：∵， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线解析式为直线， ∵， ∴， 连接，交抛物线对称轴于点M，此时的周长最小， ∵， ∴，， ∴的周长最小值． （3）解：设， ∴，， ∵，， ∴， ①当时，， 则， 解得： ， ∴， ②当时，， 即， 解得：， ∴， ③当时，， 即， 解得：， ∴或， 综上：或或或． 19．如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线过两点，点是位于直线下方抛物线上的动点，过点作 轴，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)最大值，此时点 (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）用待定系数法求的解析式，根据解析式用含的式子设出、的坐标、表示的长度，转化为关于的二次函数求最值的问题，求出取最值是的值即可； （3）依据对称轴的解析式，用含的式子设出的坐标，表示出、、，针对直角分三种情况讨论，运用勾股定理的逆定理，求出即可． 【详解】（1）解：将，，代入 ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设直线的计算为，代入，得， 解得： 直线的解析式为：， 设)，则 )， ， () ， 当 时，的长取最大值，此时点( )． （3）存在，对称轴为直线， 设)， 又)，) ， ， ， ①若要点为直角顶点，， ， 解得： ，即 ； ②若要点为直角顶点，， ， 解得： ，即 ； ③若要点为直角顶点，， ， 解得：或，即 或； 综上所述，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数动点问题中线段最长的问题和直角三角形的存在性问题；此题把线段的最值问题转化为二次函数的最值问题，把直角三角形问题借助勾股定理的逆定理，转化为一元二次方程的解的问题，把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 20．如图，抛物线经过，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接交y轴于点D，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线的距离是7时，求m的值； (3)点P为抛物线对称轴上一点，连接，若是以为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，点到直线的距离，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）由题意得，，则点Q到直线的距离为，故，解方程即可； （3）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，，根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由题意得，， 则点Q到直线的距离为， ∴， 则或 解①得：或 解②，无解， ∴或； （3）解： ∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， ∴ 当时，, ∴ 解得：， ∴ 综上：或． 【题型3 存在性等腰直角三角形】 21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分、和三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点Q的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点Q坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； （3）解：假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： ①当时，设与x轴交于G，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ②当时， 为等腰直角三角形， ， 又， ∴在上， 过F作于F， 则， ， ， ∴， ， ∵点Q在抛物线， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为； ③当时，， ， ∵点Q在抛物线上， ∴， 解得：（舍去），， 此时点Q的坐标为，， ∴． 综上可知：在抛物线上存在点Q，使得为等腰直角三角形，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 22．如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】(1)抛物线为，直线为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）分当时，当时，两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线过点及得， 解得， 故抛物线为； 又设直线为过点及， 则， 解得， 故直线为； （2）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点， 设，则， ， 又， ∴面积的最大值为； （3）解：设，则， 当时， 如图，则， 解得：或（舍去）， 故点的坐标为； 当时， 如图，则， ， 则， 解得：（舍去）或， 故点的坐标为； 故若是等腰直角三角形，则点的坐标为或． 【点睛】此题主要考查利用待定系数法求函数解析式和利用二次函数的顶点式求最值，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 23．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) (4)点坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点的坐标即可解决问题； （3）设点，根据，建立方程求解即可； （4）分别以点、、为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求的长即可． 【详解】（1）解：抛物线过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解： ， 对称轴为直线， ，关于对称轴对称，， ， ， ． （3）解：如图，过点P作于点H，设点， 根据题意，得：，，， ， ， 解得：，， 点是抛物线上一动点，且位于第四象限， ， ，， ； （4）解：点在直线上，点在轴上，为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： ①以点为直角顶点且在轴上方时，如图2，，， ， ， ， ， ，， ； ②以点为直角顶点且在轴下方时，如图3， 过点作轴，过点作轴，过点作轴交于点，交于， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ； ③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图4，，， 过点作轴，过点作轴交的延长线于， 同理可得：， ，则， ∴， ； ④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图5， 过点作轴，过点作轴交延长线于， 同理可得：， ，， ， ； ⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述，当为等腰直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式中，求出解析式，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点P作作轴，交于点E，设，则． 则，然后依据 ，列出的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设点N的坐标为则点，则，进而得到，解答即可得到m的值，进而得到点M的坐标即可． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的判定等知识点，分类讨论是解答本题的关键． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点，将点A，点B的坐标代入得： 解得： ∴设该抛物线解析式为， 联立方程组： 解得(舍去)或 即点D的坐标是； （2）如图1：过点P作轴，交于点E， 设，则． ∴． ∴ ． ∴当时，的面积的最大值为． ∴， （3）如图2，过点M作x轴的垂线交x轴于点N， ∵轴于N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点P在抛物线上， ∴设点N的坐标为 则点， ∴， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或 (舍去)， 此时； 当时， 解得或 (舍去)， 此时， 综上，点M的坐标为或． 25．如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围； (4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或 【分析】对于（1），将两个点的坐标代入关系式得出方程组，求出解可得答案； 对于（2），作轴，设点，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标， 进而求出直线的关系式，再表示点G的坐标，可表示，然后根据 得出二次函数关系式，讨论最大值时点的坐标即可； 对于（3），先求出抛物线的对称轴是，顶点坐标是，可得抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为，再设直线交于点M，交于点N，并得出两个点的坐标，然后结合点Q在内得出不等式组，求出解集即可； 对于（4），分两种情况讨论，根据全等三角形的对应边相等得出方程，求出解即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）如图，过点P作轴交于点G， 设点， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 设直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴； （3）由抛物线， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 抛物线向上平移h个单位长度后顶点坐标为． 设直线交于点M，交于点N，则． 如图， ∵直线的关系式为， ∴． ∵点Q在内， ∴， 解得； （4）存在．设，分两种情况： 当点P在对称轴右侧，且在x轴下方时， 如图，过点P作，过点F作于点M， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即, 解得， ∵，不符合题意，舍去， ∴， 则， ∴； 当点P在对称轴右侧，且在x轴上方时，如图， 同理可得， 解得（舍）， ∴点P的坐标是． 综上所述，点P的坐标是或． 【点睛】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，二次函数的顶点式及最大值，二次函数的平移等，理解数形结合思想是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，． (1)如图，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求，两点间的距离． (2)当时，如图，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)①和；②． (2)，，或 【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标即可得解； （2）①根据抛物线与轴的交点分别求出两抛物线的对称轴即可得解；②把抛物线和化为顶点式，求出顶点坐标，，进而分当，且点在点的下方时，当，且点在点的上方时，当，且点在点的下方时，当，且点在点的上方时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴抛物线为：，抛物线为； ②∵抛物线为：，抛物线为 ∴，， ，两点间的距离为． （2）解：①直线，之间的距离是定值，定值为．理由如下： ∵，，， ∴抛物线的对称轴直线为，抛物线的对称轴直线为， ∴直线，之间的距离为， ∴直线，之间的距离是定值，定值为． ②∵，，， ∴设抛物线，抛物线， ∴，， ∴，， 如图，当，且点在点的下方时，     ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的上方时，     同理可得：， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的下方时，过点作于点，    ∵是等腰直角三角形，直线，之间的距离是定值，定值为． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的坐标为， 如图，当，且点在点的上方时， 同理可得的坐标为， 综上可得，符合条件的点的坐标为，，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 27．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）分为当以为平行四边形的边时和当以为平行四边形的边时以及当以为对角线时，三种情况分别求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将点，点，点代入， ， 解得， ； （2）解：存在， 由（1）可得出，抛物线解析式为，对称轴为直线， 设，， 当以为平行四边形的边时，如图， ∵点， 则， 解得， 故； 当以为平行四边形的边长时，如图， ∵点，， 则， 解得， 故； 当以为对角线时，如图4， ，， ∴线段的中点的坐标为，即， 则， 解得， 故． 综上所述，点的坐标为或或． （3）解：存在， （1）当时，， ∴点与点重合， ； （2）当时，， 如图1，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴，解得或． 或， ∵点在对称轴的左侧， ∴点坐标为． 如图2，当点在点下方时， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴，解得（舍）或， ， 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数关系式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，求直线解系式，平行四边形的判定，根据横坐标的差表示线段的长等，解题的关键是注意多种情况讨论，不能丢解． 28．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 29．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) (4)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵，， ∴，． 过点作轴，交于点，如图，    设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 的面积最大，此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线L向上平移h个单位长度，新的抛物线的顶点坐标为：． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵平分， ∴直线为一三象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴， ∴； （4）存在，点的坐标为或或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵是抛物线的对称轴上的一点， ∴点的横坐标为2． 设，抛物线的对称轴交轴于点，则． ①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 同上可得， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 同上可得， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为；直线解析式为 (2)最大值为 (3)N点坐标为或 【分析】（1）把C、B两点坐标代入二次函数解析式中，解方程组即可；同理，把C、B两点坐标代入所设一次函数解析式中，解方程组即可； （2）设，则，则得关于m的二次函数，即可求得最大值； （3）分两种情况讨论：①当点M在x轴上方；②当点M在x轴下方，构造全等三角形即可求解． 【详解】（1）解：把C、B两点坐标代入二次函数中， 得，解得：， ∴二次函数解析式为； 设直线解析式为， 把C、B两点坐标代入一次函数中，得， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴设； ∵轴， ∴， ∴， ∵，且二次项系数， ∴当时，有最大值； （3）解：①当点M位于x轴上方时， 如图，过N点作垂直对称轴于点G，设抛物线对称轴交x轴于点F； 则， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 设点M坐标为，此时，则， ∴； ∵N点在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）； ∴N点坐标为； 当点M位于x轴下方时，此时； 同理得， 则有， 解得：（舍去）； ∴N点坐标为； 综上，N点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最大值，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识；有一定的综合性，掌握这些知识并灵活运用是解题的关键，注意分类讨论． 【题型4 存在性等边三角形】 31．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积取得最大值为 (3)存在，点M的坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出正比例函数解析式，再联立，，求出A，过点P作轴，交于C，设点P的坐标为，则，根据 ，利用二次函数的最值求解即可． （3）先证明，得，然后设，则，设，则，，再根据等边三角形的定义得，所以，化简得：，求解即可求得点M的坐标． 【详解】（1）解：把，顶点代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：把代入，得， ∴， ∴， 联立，得， 解得：，， ∴， 过点P作轴，交于C，如图， 设点P的坐标为，则， ∴ ∵ ∴当时，值最大，最大值为． （3）解：如图， 对于抛物线， 令，则， ∴， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴，即 在与中， ∴ ∴， ∴设，则， 设， ∴，， 当为等边三角形时， ∴， ∴， 化简得： 解得：，， 当时，则， ∴， 当时，则 ∴　 ∴存在点M，使得为等边三角形，点M的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，抛物线与一次函数交点，抛物线的图象性质，抛物线的最值，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．此题属抛物线综合题目，熟练掌握相关知识及灵活运用是解题的关键． 32．如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； (2)小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为： (2)①t与m之间的函数表达式是：；② 【分析】（1）先找出平移前的抛物线C1的顶点为，设平移前的抛物线的解析式为，再将点A代入函数解析式求抛物线的解析式即可； （2）①设抛物线右移m个单位长度后，得到的抛物线对应的函数表达式为：，因为抛物线与y轴的交点，则令得：，t与m之间的函数表达式是：即可求解； ②根据等边三角形的性质，得到方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合，重合后的抛物线的顶点为 ∴由平移得：平移前的抛物线的顶点为. 可设抛物线对应的函数表达式为：. 把点A坐标代入，求得.    所以抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：①设抛物线右移m个单位长度后， 得到的抛物线对应的函数表达式为：. 令得：. ∴t与m之间的函数表达式是：； ②若△是等边三角形，则 ∴，. 即. ∴. 显然，当时，P、B、重合. ∴，即. ∴ . ∴ 或. ∵， ∴. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，函数图象对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键． 33．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，周长最小值为 (3)或 【分析】(1)将点代入即可； (2)找到A点关于对称轴对称的对称点B，连交对称轴于E点，进而求出此时三角形的周长即可得解； (3)利用是等边三角形和A，B两点的坐标，确定的外心，利用圆周角定理确定直线与x轴的夹角，进而即可得解． 【详解】（1）将点代入得 解得， ∴抛物线表达式为 （2）如图，连交对称轴与点E，连， 由(1)知， ∴ ∴对称轴为：直线 ∴令得 ∴ ∴ 设直线的解析式为 ∴ 解得 ∴直线的解析式为 ∴当时 ∴ ∵线段长度不变，根据两点之间线段最短和轴对称的性质， ∴周长最小值 （3）∵，是等边三角形 ∴ ∵与关于对称轴对称 ∴ ∴ ∴Q点是的外心 ∴根据圆周角定理得 设过A,P的直线解析式为 ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵代入解析得 ∴当P点在x轴的上方时，解析式为 ∴当P点在x轴的下方时，解析式为 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的性质，勾股定理，圆的性质，等边三角形的性质，最短距离等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 34．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)见解析 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点A代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设P ， ∵F， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通． 35．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10． (1)求抛物线和直线AC的函数表达式； (2)若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式． 【答案】(1)；y＝x＋1； (2)，； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，设点D的纵坐标为h，根据△ABD的面积为10求出h得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式； （2）过点E作EF⊥AB交AB于点G，交直线AC于点F，过点C作CH⊥EF于点H．设点，则F（m，m＋1），求出EF，根据 ，根据二次函数的性质解答求出最值； （3）在对称轴上取点M，使AM＝AB，得△ABM为等边三角形．①当点P在x轴的上方时：设对称轴交x轴于点K，连接AP交对称轴于点N，证明△ABQ≌△MBP，推出AQ＝MP，证得AP垂直平分MB，求出∠NAK＝30°，由此得到点N的坐标即可得到直线AP的函数解析式；②当点P在x轴的下方时，可以证得△ABP≌△MBQ，得∠BAP＝∠BMQ＝30°，求出直线AP的函数解析式． 【详解】（1）解：把A（-1，0），B（3，0）代入， 得，∴， ∴抛物线的函数表达式为； ∵，， ∴AB＝4， 设点D的纵坐标为h， ∵△ABD的面积为10， ∴， ∴h＝5， 把h＝5代入，得， ∴，（舍去）， ∴点D的坐标为（4，5）， 设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b， 把A（-1，0），D（4，5）代入，得 ，∴， ∴直线AC的函数表达式为y＝x＋1； （2）过点E作EF⊥AB交AB于点G，交直线AC于点F，过点C作CH⊥EF于点H． 设点，则F（m，m＋1）， ∴， ∵ = = = = =， ∴ ， ∵， ∴有最大值，当时，△ACE面积的最大值为． 此时，点． （3）在对称轴上取点M，使AM＝AB． 又∵AM＝BM， ∴AM＝AB＝BM， ∴△ABM为等边三角形． ①当点P在x轴的上方时： 设对称轴交x轴于点K，连接AP交对称轴于点N，如图所示． ∵△BPQ是等边三角形， ∴BQ＝BP，∠QBP＝60°， 易得∠ABQ＝∠MBP， ∴△ABQ≌△MBP， ∴AQ＝MP， 又∵AQ＝QB＝BP， ∴MP＝BP， 又∵AM＝AB， ∴AP垂直平分MB， ∴∠NAK＝30°， 易得AK＝2， ∴， 设直线AP的解析式为y＝mx＋n， 把A（－1，0），代入，解得． ∴直线AP的函数解析式为； ②当点P在x轴的下方时，可以证得△ABP≌△MBQ， ∴∠BAP＝∠BMQ＝30° 同样可得． 综上所述，直线AP的函数解析式为或． 【点睛】此题考查的是二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 36．在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D． (1)求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)当时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由； (3)当时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，APQ和OCQ的面积分别为和，当的值最大时，求直线PO的解析式． 【答案】(1)对称轴为直线，； (2)存在实数，使ABD为等边三角形，理由见解析； (3)直线PO的解析式为 【分析】（1）根据对称轴的公式，以及函数与x轴的交点坐标的求法，即可求解； （2）根据两点之间的距离公式以及等边三角形的性质，即可求解； （3）根据抛物线与y轴交于点C，可求得点C的坐标，再列出关于点P的纵坐标的解析式，根据增减性可得点P的坐标，再根据待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：对称轴， 对称轴为直线， 抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， 令，则， 解得， （2）解：存在实数a，使ABD为等边三角形，理由如下： ，抛物线的顶点为D， ， ABD为等边三角形， ， ，， ， ， 解得， ， ； （3）解：， ， 抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， 随的增大而减小， 当最小时，最大，此时P点即为抛物线的顶点， ， 设直线PO的解析式为， 将代入，得， 解得， 直线PO的解析式为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合，主要考查了二次函数的性质、等边三角形的判定、一次函数的性质以及用待定系数法求函数解析式． 37．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）线段______； （2）若平分，求m的值； （3）该函数图像的对称轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在， 【分析】（1）设，，，，，根据题意可得，为方程的根， 解出，，进而得出． （2）过点作，垂足为点，根据角平分线的性质可得，推测出， 进而解得，在中利用勾股定理可得，． （3）连接，为对称轴上的点，所以，又为等边三角形推出，进而可得点，，在以为圆心，为半径的圆上，推出，进而可得，即可解出． 【详解】解：（1）设，，，，， ，为方程的根， 即，为方程的根， 所以， 所以． （2）过点作，垂足为点， 若平分，则有， 因为， 即， 所以， 在中，因为， 所以， 即， ， 所以， 所以，解得． （3）存在点满足题意， 连接，则有， 因为为等边三角形， 所以， 所以， 所以点，，在以为圆心，为半径的圆上， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，角平分线，等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的，利用数形结合的思想来解答，属于中档题． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AD为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在抛物线上是否存在一点Q，使得是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1），对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）；（2）存在，点N的坐标为或或或或；（3）存在，点或；（4）不存在，理由如下 【详解】（1）解：∵， ∴A（－3，0），C（0，－3）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 对称轴为：直线x＝－1，顶点坐标为：D（－1，－4）． （2）解：由题意可设，， ∵是等腰三角形， ∴①当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点； ②当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点或； ③当时，则根据两点距离公式可得： ，解得：， ∴点或； 综上所述：当是等腰三角形，点N的坐标为或或或或 （3）解：存在，理由如下： 过点P作PQ⊥AD于点Q，如图所示： ∵是以AD为底边的等腰三角形， ∴， ∵， ∴由中点坐标公式可得， 由直线AD的解析式可知， ∵PQ⊥AD， ∴，解得：， 设直线PQ的解析式为，把点代入得：， 解得：， ∴直线PQ的解析式为， 联立直线PQ与抛物线的解析式可得：，化简得：， 解得：， ∴点或 （4）解：不存在，理由如下： ∵是等边三角形，， ∴， 过点Q作QG⊥y轴于点G，如图所示： ∴， ∴在Rt△OGQ中，， ∴点Q的横坐标为，纵坐标为， ∴， 经验证Q点不在二次函数上， 则不存在Q. 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1；（2）P(1，1)或(1，2)；（3）M(，)或(，)   【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）．求出PT的长，构建方程求出m即可． （3）分两种情形：当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），设抛物线的对称轴交x轴于E．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．分别利用相似三角形的性质求出点M的坐标，再利用待定系数法求解． 【详解】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，3）的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝﹣＝1． （2）如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P（1，m）． ∵点D与点C关于对称轴对称，C（0，3）， ∴D（2，3）， ∵B（3，0）， ∴T（，），BD＝， ∵∠BPD＝90°，DT＝TB， ∴PT＝BD＝， ∴（1﹣）2＋（m﹣）2＝（）2， 解得m＝1或2， ∴P（1，1），或（1，2）． （3）当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N（1，t），作TJ⊥x轴于点J，设抛物线的对称轴交x轴于E． ∵△BMN是等边三角形， ∴∠NMB＝∠NBM＝60°， ∵∠NBT＝90°， ∴∠MBT＝30°，BT＝BN， ∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°， ∴∠MBT＝∠BTM＝30°， ∴MB＝MT＝MN， ∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°， ∴∠NBE＝∠BTJ， ∵∠BEN＝∠TJB＝90°， ∴△BEN∽△TJB， ∴＝， ∴BJ＝t，TJ＝2， ∴T（3＋t，2）， ∵NM＝MT， ∴M（，）， ∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上， ∴＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3t2＋（4＋2）t﹣12＋4＝0， 解得t＝﹣2（舍弃）或， ∴M（，）． 如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N（1，n），过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T． 同法可得T（3﹣n，﹣2），M（，）， 则有＝﹣（）2＋2×＋3， 整理得，3n2＋（2﹣4）n﹣12﹣4＝0， 解得n＝或（舍去）， ∴M（， ）， 综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合等边三角形的判定与性质、勾股定理和一元二次方程求解计算是解题的关键． 40．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2 ；(2) t=或6时，BQ=AP；(3) 当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)． 【分析】（1）利用代入系数法，将3点坐标代入可求得； （2）存在2种情况，点Q在点B的下方和上方，利用BQ=AP易求得t的值； （3）先证△AOQ≌△BOP，得到△OPQ为等腰直角三角形，得M点必在PQ的垂直平分线上，即M在y=x上，联立点M在抛物线上的方程，解得M有2种情况，最后利用△MPQ为等边三角形的几何性质分析求解即可． 【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点， ∴， 解得， ∴y=x2x+2． (2)∵AQ⊥PB，BO⊥AP， ∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO， ∵AO=BO=2， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OQ=OP=t． ①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．    ∵BQ=AP， ∴2﹣t= (2+t)， ∴t=． ②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．    ∵BQ=AP， ∴t﹣2= (2+t)， ∴t=6． 综上所述，t=或6时，BQ=AP． (3)当t=﹣1时，抛物线上存在点M(1，1)；当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)． 分析如下： ∵AQ⊥BP， ∴∠QAO+∠BPO=90°， ∵∠QAO+∠AQO=90°， ∴∠AQO=∠BPO． 在△AOQ和△BOP中， ， ∴△AOQ≌△BOP， ∴OP=OQ， ∴△OPQ为等腰直角三角形， ∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上， ∵直线y=x垂直平分PQ， ∴M在y=x上，设M(x，y)， ∴， 解得或， ∴M点可能为(1，1)或(﹣3，﹣3)． ①如图3，当M的坐标为(1，1)时，作MD⊥x轴于D，    则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t2+2t﹣2=0， ∴t=﹣1+，t=﹣1﹣ (负值舍去)． ②如图4，当M的坐标为(﹣3，﹣3)时，作ME⊥x轴于E，    则有PE=3+t，ME=3， ∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18，PQ2=2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP=PQ， ∴t2﹣6t﹣18=0， ∴t=3+3，t=3﹣3 (负值舍去)． 综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M(1，1)，或当t=3+3时，抛物线上存在点M(﹣3，﹣3)，使得△MPQ为等边三角形． 【点睛】本题考查二次函数的综合，难点在于多解的分析，注意当题干中没有图像或提供了备用图像时，此题往往存在多解． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数综合题存在性问题特殊三角形类分类训练 （4种类型40道） 目录 【题型1 存在性等腰三角形】 1 【题型2 存在性直角三角形】 6 【题型3 存在性等腰直角三角形】 10 【题型4 存在性等边三角形】 15 【题型1 存在性等腰三角形】 1．如图，抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴交于另一点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (4)抛物线的对称轴上有一动点M，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出M点坐标． 3．如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一个动点．是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点，使的面积是，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点为轴上的一个动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标． 5．如图，直线与抛物线相交于和． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上的动点，过点作轴，交抛物线于点．是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； (3)轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线 交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 7．综合探究．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为． (1)求点C的坐标； (2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)在对称轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点的横坐标为． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线交于点，连接，设点的横坐标为； ①若点在轴上方，当为何值时，是等腰三角形； ②若点在轴下方，设的周长为，求关于的函数关系式，当为何值时，的周长最大，最大值是多少？ 10．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． 　备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标． 【题型2 存在性直角三角形】 11．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与二次图象交于轴上的一点，二次函数的顶点在轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为． ①在抛物线上是否存在点，使面积与面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由． ②已知为轴上一个动点，且为直角三角形，求点坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 14．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标； (3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 17．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设一次函数的图象与二次函数图象另一交点为D． ①在抛物线上是否存在点P，使面积与面积相等． ②已知P为x轴上一个动点，且为直角三角形，求点P坐标． 18．如图，直线与轴、轴分别交于点．抛物线经过，并与轴交于另一点，其顶点为， (1)求的值； (2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由； (3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得是直角三角形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线过两点，点是位于直线下方抛物线上的动点，过点作 轴，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值及此时点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使为直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线经过，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于点B，连接交y轴于点D，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点Q是抛物线上一点，其横坐标是m，当点Q到直线的距离是7时，求m的值； (3)点P为抛物线对称轴上一点，连接，若是以为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 【题型3 存在性等腰直角三角形】 21．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． (1)请直接写出点A，C，D的坐标； (2)若P是第二象限的抛物线上的一个动点（不与D重合），过点P作轴交于点E，求线段长度的最大值； (3)若F为直线上的动点，在抛物线上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，求出Q坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，已知抛物线与直线相交于． (1)抛物线及直线的函数关系式； (2)如图1，若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积最大值； (3)如图2，若是抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，则点的坐标为______． 23．如图，抛物线过，两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线轴，交x轴于点H． (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点C的坐标，并求出的面积； (3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点P的坐标； (4)若点M在直线上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时点M的坐标． 24．如图所示，已知抛物线经过点，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线上有一点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点N，若是等腰直角三角形，求点M的坐标． 25．如图，已知抛物线经过点、，过点作轴，交抛物线于点，的平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若动点在线段下方的地物线上连接、，当的面积最大时，求点的坐标； (3)将抛物线向上平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围； (4)若是抛物线的对称轴上的一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，抛物线和与轴的交点分别为，和，，抛物线，的顶点分别用，表示，其中点，，的坐标分别为，，． (1)如图，当时， ①求抛物线和的解析式； ②求，两点间的距离． (2)当时，如图，直线，分别是抛物线和的对称轴． ①直线，之间的距离是否为定值？若是，直接写出该定值；若不是，说明理由； ②是直线上一点，若为等腰直角三角形，试写出所有符合条件的点的坐标． 27．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______． 28．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 29．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于，A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式． (2)过点P作轴交直线于点D，求的最大值． (3)点M为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点N，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 存在性等边三角形】 31．如图，抛物线与直线交于A，两点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值； (3)如图2，点C，E，F为抛物线与坐标轴的交点，动点Q从原点开始沿x轴负半轴运动，连接，过点C作，垂足为N，交y轴于点P，点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得为等边三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图1，抛物线与x轴的两个交点中的左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线沿轴分别向右、左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点为. (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式； (2)小明发现：将抛物线沿x轴分别向右、左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与轴的交点的位置在发生变化. ①试求出与之间的函数表达式； ②在平移过程中，点A移动到点B的位置，点移动到点的位置，求当为何值时，△是等边三角形. 33．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 34．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 35．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10． (1)求抛物线和直线AC的函数表达式； (2)若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式． 36．在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D． (1)求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)当时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由； (3)当时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，APQ和OCQ的面积分别为和，当的值最大时，求直线PO的解析式． 37．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）线段______； （2）若平分，求m的值； （3）该函数图像的对称轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标． （2）在对称轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在抛物线上是否存在点P，使得是以AD为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在抛物线上是否存在一点Q，使得是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 40．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．    精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$