安徽省铜陵市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

1 第1页 共 4 页 第2页 共 4 页 铜陵市第三中学高二级部 10月份月考 数学试题 （卷面值：150 分 考试时间：120 分钟 命题： ） 注 意 事 项： 1.本试卷共 4 页。答题前，请考生务必将自己的学校、姓名、座位号写在答卷的密封区内。2.作答 非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须将答案写在 答卷的相应题号框内。请保持试卷卷面清洁，不折叠、不破损。 3.考试结束后，请将答卷和答题卡交回。 第一卷（选择+填空=73 分） 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知空间向量 ( ,1,2)a x  ， (4,2,4)b   ，若 a b  ，则 x  ( ) A. 1 B. 5 2  C. 3 2  D. 3 2.已知空间向量 ( ,1,2)a   ， (2, 1, )b     ，若 //a b  ，则实数  ( ) A. 0 B. 2 C. 1 D. 2 3.已知 ABC 的三个顶点分别为  3,1,2A ，  1, 1, 2B   ，  1, 3,2C   ，则 BC边上的高等于( ) A. 2 3 3 B. 8 3 3 C. 4 6 3 D. 8 6 3 4.已知向量 (2,1)a   ， ( 3,1)b    ，则下列说法正确的是( ) A. //a b  B. 向量 a在向量b  上的投影向量是 10 2 a  C. | 2 | 4a b   D. 与向量 a方向相同的单位向量是 2 5 5( , ) 5 5 5.已知 ABC 角 A、B、C的对边分别为 a、b、 c满足 2 sin sin sin b A C a c B    ，则角 B的最大值为( ) A. 6  B. 4  C. 3  D. 2 3  6.在三棱锥 O ABC 中， 1G 是 ABC 的重心，G 是 1OG 上的一点，且 12OG GG ，若OG xOA yOB zOC       ，则 x y z   ( ) A. 1 4 B. 2 3 C. 3 4 D. 1 7.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图， 在堑堵��� − ������中，∠��� = � �，若��� = ��� = ��� = �， 则异面直线���与���所成角的余弦值为( ) A. �� �� B. − ���� C. �� �� D. − ���� 8.在空间直角坐标系O xyz 中，四面体 SABC 各顶点坐标分别为 (2, 2, 4)S ， (6,6, 4)A ， (6,6,0)B ， (2,6, 4)C ，则该四面体外接球的表面积是( ) A. 12 B. 16 C. 32 D. 48 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.空间直角坐标系O xyz 中，已知 (1,2, 2)A  ， (0,1,1)B ，下列结论正确的有 ( ). A. ( 1, 1,3)AB     B. 若 (2,1,1)m   ，则m AB  C. 点 A关于 xOy平面对称的点的坐标为 (1, 2, 2) D. | | 5AB   10.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1 2AA  ，点 M，N分别 在棱 AB和 1BB 上运动 (不含端点 )，若 1D M MN ，则下列命题正 确的是( ) A. 1MN AM B. MN 平面 1DMC C. 线段 BN长度的最大值为 1 D. 三棱锥 1 1 1D AC M 的体积不变 11. 已 知 向量 ,a b  的 数 量积 ( 又 称 向量 的 点 积 或 内积 ) ： cos ,a b a b a b        ，其中 ,a b  表示向量 ,a b  的夹角；定义向量 ,a b  的向量积 (又称向量的叉 积或外积 )： sin ,a b a b a b        ，其中 ,a b  表示向量 ,a b  的夹角，则下列说法正确的是( ) A. 若 ,a b  为非零向量，且 a b a b      ，则 , 4 a b   B. 若四边形 ABCD为平行四边形，则它的面积等于 AB AD   C. 已知点    2,0 , 1, 3 ,A B O 为坐标原点，则 2 3OA OB    D. 若 3 3 3 a b a b       ，则 2a b  的最小值为 12 8 3 2 第3页 共 4 页 第4页 共 4 页 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知  1,0,1a  ，  ,1,2b x  ，且 3a b   ，则向量 a 与 b  的夹角为 __________. 13.如图，在 ABC 中， 1 3 AN NC    ，P是 BN上的一点，若 3 11 AP AB m AC      ， 则实数 m的值为__________. 14.点 P是棱长为 4的正四面体表面上的动点，MN是该四面体内切球的一条直径，则 PM PN   的最 大值是__________. 第二卷（解答题 77 分） 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. (本小题 13分 ) 已知 2a   ， 3b   ，且 4.a b    (1)若  a kb a  ，求 k的值； (2)求 b与 a b  夹角的余弦值． 16. (本小题 15分 ) 设 ABC 的内角 , ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知 cos (2 ) cos .a B c b A  (1)求角 A的大小； (2)若 4a  ，BC边上的中线 2 2AM  ，求 ABC 的面积. 17. (本小题 15分 ) 如 图 ， 在 平 行 六 面 体 1 1 1 1ABCD A BC D 中 ， 5AB  ， 3AD  ， 1 4AA  ， 90DAB   ， 1 1 60BAA DAA    ，E 是 1CC 的中点，设 AB a   ， AD b   ， 1 .AA c   (1)用 a， b  ， c表示 AE  ； (2)求 AE的长． 18. (本小题 17分 ) 如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形， 2AD AP  ， PA 底面 ABCD，E，F分别是线 段 PB，PD的中点，G是线段 PC上的一点. (1)求证：平面 EFG 平面 ;PAC (2)若直线 AG 与平面 AEF 所成角的正弦值为 1 3 ，且 G 点不是线段 PC 的中点，求三棱锥 E ABG 体积. 19. (本小题 17分 ) 如图，已知三棱柱 1 1 1ABC A BC 的侧棱与底面垂直， 1 2AA AB AC   ， 2 2BC  ，M，N 分别是 1CC ，BC的中点，点 P在线段 1 1A B 上，且 1 1 1.A P A B   (1)证明： AM PN ； (2)当取何值时，直线 PN与平面 AMN所成角 最小? (3)是否存在点 P，使得平面 PMN与平面 ABC所成的二面角的正弦值为 30 6 ，若存在，试确 定点 P的位置，若不存在，请说明理由.