专题6.2 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用（考点清单，9个考点梳理+14题型解读）（期末复习知识清单）高一数学上学期人教B版

专题6.2 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用 【清单01】共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使　b＝λa 【清单02】平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 【点拨】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0． (2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． (3)定理推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一． 【清单03】直线上向量的坐标 对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时，x称为向a的坐标. 【清单04】直线上向量的运算与坐标的关系 1.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. 2.如果u,v是两个实数，x1,x2分别为向量a,b的坐标，那么ua+vb的坐标为ux1+vx2;ua-vb的坐标为ux1-vx2; 3.设A(x1)，B(x2)，则数轴上两点之间的距离公式AB=||＝|x2--x1|；中点坐标公式 【清单05】平面向量的坐标 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，__有且只有一__对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 【清单06】平面向量上向量的运算与坐标的关系 1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__ λa＝(λx1，λy1) 向量坐 标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 2.向量的模： 【清单07】平面直角坐标系中两点距离公式、中点坐标公式 设，A,B的中点M（x,y）,则，. . 【清单08】向量平行的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b． 【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当b≠0时，a＝λb． 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 【清单09】平面向量线性运算的应用 1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　 a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　． （3）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【点拨】向量方法在平面几何中应用的几点说明： (1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使＝λ成立，且AB与CD无公共点． (2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ． 2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力． (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度． 【考点题型一】应用共线向量定理证明点共线 【例1】（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线. 【变式1-1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式1-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【变式1-3】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【变式1-4】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【考点题型二】应用共线向量定理证明（向量）线平行 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【变式2-3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 【变式2-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量． 【考点题型三】有向量共线（平行）求参数 【例3】（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【变式3-1】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式3-4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】用基底表示向量 【例4】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【变式4-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，已知在平行四边形中，E，F分别是，边上的中点.若，，试以为一组基表示 ， 【考点题型五】平面向量基本定理的应用 【例5】（2024高一·全国·专题练习）如图，在△ΟAB中，，，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示． 【变式5-1】（2019·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【变式5-4】（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，． (1)证明：,是平面向量的一个基； (2)用,的线性组合表示． 【考点题型六】利用平面向量基本定理求参数 【例6】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【变式6-1】（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，为的中点，为的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式6-3】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】向量的坐标运算 【例7】（22-23高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（22-23高一下·全国·课后作业）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 【变式7-3】（17-18高一下·湖南岳阳·期末）已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【变式7-4】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【考点题型八】根据向量的坐标运算求参数 【例8】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为 . 【变式8-1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式8-2】（19-20高一下·北京·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 【变式8-3】（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【考点题型九】向量共线的坐标判断 【例9】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【变式9-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【变式9-4】（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【考点题型十】利用向量共线（平行）求参数 【例10】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【变式10-1】（21-22高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，．若，则 ． 【变式10-2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知点，，且，则点P的坐标为 ． 【变式10-3】（21-22高三上·陕西延安·阶段练习）已知向量，且，则实数的值为 . 【变式10-4】（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【考点题型十一】坐标运算与三点共线问题 【例11】（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【变式11-1】（23-24高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式11-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式11-3】（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为 . 【变式11-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【考点题型十二】向量的线性运算应用--几何 【例12】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【变式12-1】（19-20高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【变式12-2】（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 【变式12-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【变式12-4】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【考点题型十三】向量的线性运算应用--物理 【例13】（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【变式13-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【变式13-2】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【变式13-3】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳. 【变式13-4】（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    【考点题型十四】平面向量的综合问题 【例14】（20-21高一·全国·课后作业）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【变式14-1】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点，，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【变式14-2】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【变式14-3】（23-24高一下·北京·阶段练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 ． 【变式14-4】（2023上·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学）如图，在中，分别是边上的动点.    (1)证明：； (2)当分别是边的中点时，用表示. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用 【清单01】共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使　b＝λa 【清单02】平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 【点拨】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0． (2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． (3)定理推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一． 【清单03】直线上向量的坐标 对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时，x称为向a的坐标. 【清单04】直线上向量的运算与坐标的关系 1.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等. 2.如果u,v是两个实数，x1,x2分别为向量a,b的坐标，那么ua+vb的坐标为ux1+vx2;ua-vb的坐标为ux1-vx2; 3.设A(x1)，B(x2)，则数轴上两点之间的距离公式AB=||＝|x2--x1|；中点坐标公式 【清单05】平面向量的坐标 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，__有且只有一__对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．向量与坐标的关系 设＝xi＋yi，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． 【清单06】平面向量上向量的运算与坐标的关系 1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__ λa＝(λx1，λy1) 向量坐 标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 2.向量的模： 【清单07】平面直角坐标系中两点距离公式、中点坐标公式 设，A,B的中点M（x,y）,则，. . 【清单08】向量平行的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b． 【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)当b≠0时，a＝λb． 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． (2)x1y2－x2y1＝0． 这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征． (3)当x2y2≠0时，＝． 即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 【清单09】平面向量线性运算的应用 1．向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下方面： (1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义． (2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：　 a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)　． （3）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 【点拨】向量方法在平面几何中应用的几点说明： (1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使＝λ成立，且AB与CD无公共点． (2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ． 2．向量在物理中的应用 数学中对物理背景问题主要研究下面两类： (1)力向量 力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力． (2)速度向量 速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度． 【考点题型一】应用共线向量定理证明点共线 【例1】（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】用、为一组基底表示出、，即可得到，从而得证. 【详解】证明：设，， 由已知点是的中点，点在上，且， ， ， 、、三点共线. 【变式1-1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确． 故选：D． 【变式1-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ） A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D 【答案】A 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据向量共线定理一一分析即可. 【详解】对A，， 则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确； 对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误； 对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误； 对D，，因为， 故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误. 故选：A. 【变式1-3】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 【变式1-4】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解. 【详解】因为向量是不共线的向量，且， 对于A中，设，即， 可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确； 对于B中，设，且，可得， 可得，解得 ，所以三点共线，所以B正确； 对于C中，设，且，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以C不正确； 对于D中，设，可得， 可得，此时方程组无解 ，所以三点不共线，所以D不正确. 故选：B. 【考点题型二】应用共线向量定理证明（向量）线平行 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 【答案】(1)证明见解析； (2)三点共线 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 【变式2-1】（多选）（23-24高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据共线向量定理，即可判断选项. 【详解】A.，即，故A正确； B. ，即，故B正确； C. ，，则，故C正确； D. ，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误. 故选：ABC 【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量数乘的有关计算 【分析】用向量共线定理判断. 【详解】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 【变式2-3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线. 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、平面向量的混合运算 【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明. 【详解】因为， 所以由共线向量定理知，与共线. 【变式2-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量． 【答案】证明见解析 【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】借助共线向量的性质推导即可得证. 【详解】由题意可设，， 则有，而不共线， 即有，即，则 ， 故与是平行向量. 【考点题型三】有向量共线（平行）求参数 【例3】（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ） A． B．. C．1 D．2 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值. 【详解】由于，，三点共线，所以与共线. 存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得. 故选：D. 【变式3-1】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 【变式3-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 【变式3-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解. 【详解】因为三点共线， 所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以， 由，所以， 当且仅当时，取“=”号， 故选：B 【变式3-4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 则，解得：，. 故选：C 【考点题型四】用基底表示向量 【例4】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为是上一点，可设， 由题意知 所以解得，所以， 故选：A. 【变式4-1】（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 【变式4-3】（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：C. 【变式4-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，已知在平行四边形中，E，F分别是，边上的中点.若，，试以为一组基表示 ， 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】直接利用平行四边形法则和三角形法则求解． 【详解】解：由于在中，，分别是，边上的中点， 则，， 故答案为；，． 【考点题型五】平面向量基本定理的应用 【例5】（2024高一·全国·专题练习）如图，在△ΟAB中，，，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理和共线定理，建立方程组解出参数，即可得出结论． 【详解】由点O，G，E共线，设， 易得． 由点共线，设， 所以， 即．① 所以， 所以，即， 解得， 所以． 【变式5-1】（2019·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论． 【详解】由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得 , 因为G为的重心，所以. 又M满足，即. 所以 . 故选：D. 【变式5-2】（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性. 【详解】如图： 对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：CD 【变式5-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、． 【答案】；； 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即可． 【详解】解：在中，已知是的中点，是的重心． 又向量，向量． 则； ； ． 【变式5-4】（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，． (1)证明：,是平面向量的一个基； (2)用,的线性组合表示． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理解决即可；（2）根据平面向量基本定理解决即可. 【详解】（1）证明：若,平行，则，即， 所以． 因为,不平行，所以， 因为该方程组无解， 所以，平行不成立， 所以，不平行， 所以，是平面向量的一个基． （2）设， 又因为， 由向量基本定理，得，解得 所以． 【考点题型六】利用平面向量基本定理求参数 【例6】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【变式6-1】（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，为的中点，为的中点，若，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可. 【详解】在中，为的中点，为的中点， 则，所以，. 故选：B 【变式6-2】（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】因为，所以为的中点，又D是AB的中点， 所以， 则，. 故选：B. 【变式6-3】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 【变式6-4】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用 【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可； 【详解】设， 因为是边的中点，所以， 所以， ， 又， 所以，解得， 故选：B. 【考点题型七】向量的坐标运算 【例7】（22-23高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量、用基底表示向量、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 因此向量在基下的坐标为. 故选：D. 【变式7-1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 【变式7-2】（22-23高一下·全国·课后作业）已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据平面向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是. 故选：D. 【变式7-3】（17-18高一下·湖南岳阳·期末）已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平行四边形法则可得，根据即可得结果. 【详解】∵，， 根据平行四边形法则可得， 则， 故选：B. 【变式7-4】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 【考点题型八】根据向量的坐标运算求参数 【例8】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】由题意得，设点，结合已知即可列方程组求解. 【详解】因为点P在的延长线上，使， 所以，设点， 而， 所以，解得. 故答案为：. 【变式8-1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【变式8-2】（19-20高一下·北京·期末）已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．-4 B．4 C．-1 D．1 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【解析】可求出，从而可得出，解出的值即可. 【详解】由题意，向量，，所以， 可得，解得. 故选：C. 【变式8-3】（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 【变式8-4】（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 【考点题型九】向量共线的坐标判断 【例9】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，． (1)求点，的坐标 (2)判断与是否共线． 【答案】(1)， (2)共线 【知识点】由坐标判断向量是否共线、由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标； （2）根据向量的坐标表示判断向量的共线. 【详解】（1）依题意得，． 设， 由，可知， 即解得 点的坐标为 由，可知， 即解得 点的坐标为． （2）由（1）可知， 又， ， 故与共线． 【变式9-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，与共线，所以不能作为基底，故A错误， 对于B，，故两向量共线，B错误， 对于C，，，，两向量不共线，故可作为基底，C正确， 对于D，，两向量共线，D错误， 故选：C 【变式9-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】根据平面向量共线的充要条件进行判断． 【详解】A．，共线，不符合题意； B．，共线，不符合题意； C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意； D．，共线，不符合题意； 故选：C． 【变式9-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，，所以不共线，A错误； 对于B，，所以共线，B正确； 对于C，，所以不共线，C错误； 对于D，，所以不共线，D错误. 故选：B 【变式9-4】（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有 ．(填序号) ①；②； ③；       ④. 【答案】① 【知识点】由坐标判断向量是否共线 【分析】根据向量共线的坐标公式逐一判断即可. 【详解】对于①，因为，所以； 对于②，因为，所以不平行； 对于③，因为，所以不平行； 对于④，因为，所以不平行. 故答案为：①. 【考点题型十】利用向量共线（平行）求参数 【例10】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】线段的定比分点、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 【变式10-1】（21-22高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，．若，则 ． 【答案】5 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标，再借助向量共线的坐标表示计算作答. 【详解】向量，，，则， 因，则有，解得， 所以. 故答案为：5 【变式10-2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知点，，且，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】设，由得到方程组，求出，得到答案. 【详解】设，则由得， 所以，解得， 故点P的坐标为. 故答案为： 【变式10-3】（21-22高三上·陕西延安·阶段练习）已知向量，且，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程式，解得. 【详解】因为，，且， 所以，得. 故答案为：. 【变式10-4】（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【详解】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 【考点题型十一】坐标运算与三点共线问题 【例11】（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【答案】或 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，, 因为，，三点共线， 所以平行， 所以，即， 将代入中，得或. 【变式11-1】（23-24高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】运用向量共线可解． 【详解】若A，B，C三点共线，则共线. 即，则. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题 【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算． 【详解】，， 因为A，B，C三点共线，所以， 则，解得或， ，. 故选：D. 【变式11-3】（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为 . 【答案】5 【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】由共线即可列方程求解. 【详解】因为，所以， 而三点共线，所以共线， 所以，解得. 故答案为：5. 【变式11-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【知识点】由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【考点题型十二】向量的线性运算应用--几何 【例12】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线） 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、向量在几何中的其他应用 【分析】法一：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质可得为的重心，即与重合，即可证明；法二：由平面向量线性运算及三角形重心的性质证明即可． 【详解】方法一： 证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示， 因为为直径， 所以，则， 又因为点为的垂心， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为是中点，是中点， 所以，， 所以，， 所以，则， 又为的中线， 所以点是的重心，即点和点重合， 所以、、三点共线． 方法二： 由法一得，四边形为平行四边形， 所以， 所以， 因为点为的重心， 所以， 所以，即， 由，，得， 所以、、三点共线． 【变式12-1】（19-20高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：. 【答案】证明见解析. 【知识点】向量在几何中的其他应用、用向量解决线段的长度问题 【分析】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得. 【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，则， 由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令， 而，则，即，由四边形是矩形，得， 因此， 则，， 于是， 所以. 【变式12-2】（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半． 【答案】证明见解析 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】利用向量加法法则，结合梯形的特征用两底边所表示向量表示出中位线所表示向量，即可证结论. 【详解】如下图，梯形ABCD中，且为中位线，则，， 又，所以， 又同向，所以 所以梯形的中位线等于两底和的一半.    【变式12-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量减法的运算律、向量加法的运算律 【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以得出向量平行关系及四点不共线线线平行得证. 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 【变式12-4】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明线平行问题、向量在几何中的其他应用 【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可． 【详解】证明：设，则，设， 所以， 所以， ， ， 所以， 所以四边形是平行四边形． 【考点题型十三】向量的线性运算应用--物理 【例13】（23-24高一下·河南南阳·期中）小娟，小明两个人共提一桶水匀速前进，已知水和水桶总重力为，两人手臂上的拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．越小越费力，越大越省力 B．始终有 C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】根据题意，由向量的平行四边形法则可得，由此分析选项，即可得答案． 【详解】根据题意，由于，又由， 则有向量，为邻边的四边形为菱形， 则有，, 对于A，由于不变，则越小越省力，越大越费力，A错误； 对于B，由于，B错误； 对于C，当时，，C正确； 对于D，当时，，D错误． 故选：C. 【变式13-1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【知识点】力的合成 【分析】设水的阻力为，绳的拉力为，绳与水平方向的夹角为，则，根据变化即可判断. 【详解】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 【变式13-2】（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【答案】 【知识点】速度、位移的合成、向量加法法则的几何应用 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短． 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要． 故答案为：. 【变式13-3】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为 焦耳. 【答案】21 【知识点】功、动量的计算 【分析】根据力对物体所做的功为，求解即可. 【详解】因为力，位移，所以力对物体所做的功为焦耳， 故答案为：21 【变式13-4】（24-25高一上·上海·课前预习）如图所示，在一个光滑的水平面上，我们拖动一个物体，如果拖力的方向与物体移动的方向成角，而物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功是 ．    【答案】 【知识点】功、动量的计算 【分析】根据力所做的功，利用平面向量数量积公式计算即可． 【详解】根据力所做的功， 故答案为： 【考点题型十四】平面向量的综合问题 【例14】（20-21高一·全国·课后作业）如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】用向量解决线段的长度问题、由坐标解决三点共线问题、用坐标表示平面向量 【分析】以点B为原点建立平面直角坐标系，设，利用可得，由可得，继而可证明，即得证 【详解】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设 设，，，，则，， 所以，所以. 所以，. 因为E，D，F共线， 所以， 所以 化简得. 因为， 所以. 所以. 【变式14-1】（2022春·河南安阳·高一安阳县第一高级中学校考阶段练习）若为坐标原点，，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标表示以及模长公式，可得出的表达式，通过整体代换利用基本不等式和二次函数单调性即可求得最小值. 【详解】由题意知，， 又可得， 整理得， 令，则， 且， ∴， ∴，即的最小值是3. 故选：C 【变式14-2】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 【变式14-3】（23-24高一下·北京·阶段练习）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形按上述操作作图后，得如下图所示的图形，若，则 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，再由即可求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 设，则， ，即， 则，，， 因为， 所以， 即， 所以，两式相加并整理得，因为， 所以. 故答案为： 【变式14-4】（2023上·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学）如图，在中，分别是边上的动点.    (1)证明：； (2)当分别是边的中点时，用表示. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量共线的充要条件和向量的加法运算法则即可求证； （2）综合运用平面向量基本定理和向量的线性运算法则即可解答. 【详解】（1）因为分别是边上的动点， 所以存在 使， 所以. 令，则，因为，所以， 所以. （2）因为分别是边的中点， 所以，又，所以， 所以，所以，即， 所以. 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$