精品解析：重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

重庆实验外国语学校 初2025届九上半期数学定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，依此即可求解． 【详解】解：， ∴最大的数是， 故选：A． 2. 下列四种饮品品牌的商标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出k的值即可． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 由于函数图象位于第一、三象限， ∴， 故选：B． 4. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°， ∵a∥b，∠DCB=90°， ∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 5. 如图，平面直角坐标系中，已知的顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键． 利用位似图形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 6. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，先算乘法，再估算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 7. 观察下图中图形的规律，第①个图形中共有4个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有16个小黑点，按照此规律第⑦个图形中共有（ ）个小黑点． A. 65 B. 49 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了探索图形规律问题，根据所画出的图形中小黑点的个数，按照规律即可得到第7个图形中小黑点的个数． 【详解】解：由4全图形可以看出， 第1个图形小黑点的个数：； 第2个图形小黑点的个数：； 第3个图形小黑点的个数：； 第4个图形小黑点的个数：； ……， 第n个图形小黑点的个数：， ∴第7个图形小黑点的个数：． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不规则图形的面积，根据“”求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，点为中点，连接，在上取点，作，使得，，且点、分别在边、上，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质和判定、全等三角形、相似三角形的判定和旋转、勾股定理等知识，解题关键是证明点在正方形对角线上． 过点F作、垂足分别为M、N，连接，证明，得，，矩形是正方形，结合已知求出，，再证得，求出，利用勾股定理求出，，进而根据线段比求出． 【详解】解：过点F作、垂足分别为M、N，连接， ∴， ∵在正方形中， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴矩形是正方形， ∴，平分，即， ∴点在正方形对角线上， ∵，， ∴，即 ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 已知整式，其中，，，，均为正整数，记，下列说法①若，，则满足条件的不同的整式共有6种；②若时，关于的方程有两个不同的实数解；③若且，当为整数时，满足条件的的最大值为42．正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算、一元二次方程的根的判别式等知识，正确理解题意是解题关键．当，时，可有，易知，，可能的值为6种，即可判断说法①；若，即有，整理可得，结合一元二次方程的根的判别式，即可判断说法②；若且，则有，设（为整数），易得要使的值最大，分情况讨论即可判断说法③． 【详解】解：若，，则，且，，均为正整数， ∴，，可能的值为1、1、3；1、2、2；1、3、1；2、1、2；2、2、1；3、1、1， 共计6种，故说法①正确； 若，则， 整理可得， ∴， ∵，均为正整数 ∴， ∴关于的方程有两个不同的实数解，故说法②正确； 若且， 则， 设（为整数）， 则，要使的值最大，可令， ∴，解得， 当时，可有，解得（不合题意，舍去）， 当时，可有，解得， 当时，可有，解得（不合题意，舍去）， …… 即值越大，值越小， ∴此时，的最大值为6， 当时，，则， ∴，即， ∵为 整数， ∴为6的倍数， 设，则， ∴为整数， ∴或2或3或4或7， ∴最大为42，故说法③正确． 综上所述，说法正确的为①②③，共计3个． 故选：D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接在答题卡中对应横线上． 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查负整数指数幂，零指数幂以及有理数乘法，分别根据负整数指数幂，零指数幂运算法则化简后再进行乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 四张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上的数字记为，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上的数字记为，则使得的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、及有理数的加法，列树状图法求出所有等可能的结果数，和为正数的结果数，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，而和为正的有8种， ∴使得的概率为， 故答案为：． 13. 若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解∶∵六边形的内角中有一个内角为， ∴其余五个内角之和为， 故答案为∶ ． 14. 某超市销售某种礼盒，因销量不好，经过两次降价后，价格由原来的300元调整为243元，则平均每次降价的百分率为___________． 【答案】10% 【解析】 【分析】本题考查求一元二次方程的应用：求平均变化率．设降价的百分率为x，降价一次后的价格是，第二次降价后的价格是，由“降为243元”作为相等关系可列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设降价的百分率为x，由题意得，， 解得（舍）， 所以平均每次降价的百分率为． 故答案为：10%． 15. 如图，在中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】解法一：根据题意可得是等腰直角三角形，可证，得到，在中，由直角三角形两锐角互余可得，根据对顶角相等可得，则有是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，再根据即可求解； 解法二：根据证明得出证明得设由勾股定理求出，，过点F作于点M，则证明求出在中，由勾股定理得解方程即可． 【详解】解：解法一：∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，为的中点，， ∴， ∴； 解法二：∵ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 设 ∴ 在中， ∴ ∴， 在中， 在中，， 过点F作于点M，则 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点，且 ∴ ∴ 在中， 即 整理得，， ∵ ∴， ∴ ∴（舍去） 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 若关于的不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据至少有两个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， ∵不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， ∵， ∴， ∵分式方程解为整数，a为整数，， ∴或或1或3， ∴或（舍去）或或1， ∵， ∴或1， ∴． 故答案为：． 17. 如图，、是的直径，且，连接，点在弧上，连接与交于点，若，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质，连接，由勾股定理得，求出，再证明得，从而可得结论． 【详解】解：连接， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 故答案为：6． 18. 一个四位数，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称为“双11数”．将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双11数”，则__________；若是“双11数”且是完全平方数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查利用新定义解题，根据“双11数”定义得到最大的“双11数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为；设的千位数字和百位数字分别为，，根据“双11数”定义求解即可． 【详解】解：∵是最大的“双11数”， “双11数”的千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11， ∴最大的“双11数”千位数字和百位数字都为，十位数字和个位数字都为， ∴； 设的千位数字和百位数字分别为，， ∵是“双11数”， ∴的十位数字和个位数字分别为，， ∴， ∴的逆序数， ∴， ∴， ∵是完全平方数， ∴是的倍数， 由题意得，，，，， ∴，， ∴， ∴最大值为，整理得，为完全平方数， ∵在范围内的最大完全平方数为， ∴，解得， 此时，为最大值； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每个小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算和分式的混合运算，正确掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可； （2）原式先通分括号内的，再把除法转换为乘法，即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 值新中国成立75周年之际，某校举行了爱国主义知识竞赛活动．为了解七、八年级学生对爱国主义知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分），将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，分别是A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息：七年级被抽取的20名学生的成绩在C等级中的数据分别是：86，87，87，88，86，85，87，86，86．八年级被抽取的20名学生的成绩分别为：95，91，86，88，91，72，80，100，99，88，87，81，79，91，89，89，99，91，86，85．根据信息，解答下列问题： 两组数据的平均数、中位数、众数如下表： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 88.35 86 八年级 88.35 88.5 （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在这次竞赛中，该校七、八年级哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1200名学生参加这次竞赛，八年级有1000名学生参加这次竞赛，请估计两个年级参加这次竞赛成绩为优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识； （1）根据中位数，众数定义可得的值，根据七年级被抽取的20名学生的成绩在C等级中所占百分比求可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：∵八年级被抽取的20名学生的成绩中出现91次数最多， ∴八年级众数； ∵七年级被抽取的20名学生的成绩在，等级的人数为（人）， 七年级被抽取20名学生的成绩在C等级中的数据按从大到小排列为：85，86，86，86，86，87，87，87，88， ∴七年级被抽取的20名学生的成绩按从大到小排列后，第10名和第11名分别为86，86， ∴七年级中位数为； ∵七年级被抽取的20名学生的成绩在C等级有人， ∴七年级被抽取的20名学生的成绩在C等级中所占百分比为，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：八年级被抽取的20名学生的成绩为优秀（大于或等于90分）的学生有8人， ∴估计两个年级参加这次竞赛成绩为优秀（大于或等于90分）的学生共有（人）． 21. 在学习了全等三角形的相关知识后，小明对三角形进行了拓展性研究．他发现三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中，点在上． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求证：． 证明：平分， ___________①_________． 在和中， （_____③_____） ． ． ， ． 【答案】（1）见解析 （2），，，， 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，全等三角形判定与性质以及三角形面积，正确作出三角形的角平分线是解答本题的关键． （1）根据基本作图作出的的平分线即可； （2）根据证明，得，由面积计算可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为的平分线， 【小问2详解】 证明：平分， ． 在和中， ． ． ， ． 故答案为：，，，， 22. “冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． （1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ （2）该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？ 【答案】（1）长萝卜每箱售价为20元，圆萝卜每箱售价为40元； （2）圆萝卜打了折 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为元，根据销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱列出方程求解即可； （2）设圆萝卜打了m折，分别求出第一周和第二周两种萝卜的销售额，再根据第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设长萝卜每箱售价为x元，则圆萝卜每箱售价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：长萝卜每箱售价20元，圆萝卜每箱售价为40元； 【小问2详解】 解：设圆萝卜打了m折， 由题意得，， 解得， 答：圆萝卜打了折． 23. 如图，在四边形中，，，，，连接．点从点出发，以每秒一个单位的速度沿折线运动，到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出关于函数的一条性质_____； （3）若该函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是____． 【答案】（1） （2）图象见解析，函数有最大值为12 （3）或 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象，一次函数的性质，三角形的面积公式，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． （1）过点D作于点E，证明四边形是矩形，得由勾股定理求出得，过点A作于点F，由面积法求出，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）函数图形如图所示，根据函数图形即可得到结论； （3）把和分别代入，求出k的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：过点D作于点E，如图， ∵, ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴, ∴； 当点P在上运动时，即，此时，， ∴的面积； 当点P在上运动时，即，此时，，过点A作于点F， ∴， ∴， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：函数图形如图所示； 性质：函数有最大值为12； 【小问3详解】 解：把代入，得， 解得，； 把代入，得， 解得，， 所以，函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是或， 故答案为：或． 24. 如图，、、、分别是某公园的四个景点，在的南偏东方向，在的正北方向，且在的北偏东方向；在的北偏东30°方向，且在的东南方向，千米． （1）求的长度（结果保留根号） （2）某人此刻正在地游玩，5分钟后地将会有一场表演，此人即刻搭乘摆渡车从地出发前往地（摆渡车中途不停，上、下车时间忽略不计），摆渡车平均速度为每分钟700米，则此人能否在表演开始前到达地？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1）千米 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，首先证明出，得到，然后根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）过点C作于点F，首先得到是等腰直角三角形，设，表示出，，然后根据列方程求出，得到（千米）（米），进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点A作于点E 根据题意得 ∵， ∴ ∴ 根据题意得， ∴（千米） ∴（千米） ∴（千米）； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作于点F， 根据题意得， ∴是等腰直角三角形 ∴设， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴（千米）（米） ∴ ∴此人能在表演开始前到达地． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；求当的面积最大值及点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值， （3）或 【解析】 【分析】（1）将、、坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； 【小问3详解】 解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 26. 在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接交直线于点． （1）如图1，若，，，，求的面积； （2）如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，点是直线上一点，连接、，将沿翻折后得到，连接，点是的中点，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由可得，，进而根据求出，由即可解题； （2）先证明，可得，，过点作，交于，证明得是等边三角形，进而可得，再证明可得，由此可得，再在等腰三角形中求出即可得出结论. （3）连接，由（2）得，结合，可得 ，再由，可得，得是中位线，得出， 由翻折可知：，由此可得，即当、、三点共线时，最大，由此求出，进而求出. 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵ 【小问2详解】 结论：， 证明：由旋转可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 如图，过点作，交于， 作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 连接，如图， 由（2）得， 又∵， ∴，解得：， 由（2）得， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∴当最大时，最大， 由翻折可知：， ∴， ∴当、、三点共线时，最大，如图： 此时 ∴， ∴. 【点睛】本题考查了解三角形、旋转的性质和全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质、三角形中位线性质、最短距离等知识点，涉及了几何中几种常见模型：倍长中线模型、旋转全等模型、最短距离模型，解题关键是证明过点作，交于，证明是等边三角形，得，，得是中位线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆实验外国语学校 初2025届九上半期数学定时练习 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 下列四种饮品品牌的商标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( ) A. B. C. D. 5. 如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若，的面积为2，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 估计的值在（ ） A 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 观察下图中图形的规律，第①个图形中共有4个小黑点，第②个图形中共有9个小黑点，第③个图形中共有16个小黑点，按照此规律第⑦个图形中共有（ ）个小黑点． A. 65 B. 49 C. 64 D. 81 8. 如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点为中点，连接，在上取点，作，使得，，且点、分别在边、上，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，，均为正整数，记，下列说法①若，，则满足条件的不同的整式共有6种；②若时，关于的方程有两个不同的实数解；③若且，当为整数时，满足条件的的最大值为42．正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接在答题卡中对应横线上． 11. 计算：___________． 12. 四张相同的卡片上分别写有数字，，，，将卡片的背面向上洗匀后从中任意抽1张，并将卡片上的数字记为，再从余下的卡片中任意抽1张，并将卡片上的数字记为，则使得的概率为___________． 13. 若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为___________． 14. 某超市销售某种礼盒，因销量不好，经过两次降价后，价格由原来300元调整为243元，则平均每次降价的百分率为___________． 15. 如图，在中，，过点作于点，在上取点，使得，连接并延长交于点，为的中点，连接，若，，则___________． 16. 若关于的不等式组至少有两个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 17. 如图，、是的直径，且，连接，点在弧上，连接与交于点，若，则___________． 18. 一个四位数，若千位数字与十位数字之和为11，百位数字与个位数字之和也为11，则称为“双11数”．将千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到的逆序数，并记．若是最大的“双11数”，则__________；若是“双11数”且是完全平方数，则满足条件的的最大值为___________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每个小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） 20. 值新中国成立75周年之际，某校举行了爱国主义知识竞赛活动．为了解七、八年级学生对爱国主义知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分），将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，分别是A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息：七年级被抽取的20名学生的成绩在C等级中的数据分别是：86，87，87，88，86，85，87，86，86．八年级被抽取的20名学生的成绩分别为：95，91，86，88，91，72，80，100，99，88，87，81，79，91，89，89，99，91，86，85．根据信息，解答下列问题： 两组数据的平均数、中位数、众数如下表： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 88.35 86 八年级 88.35 88.5 （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在这次竞赛中，该校七、八年级哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1200名学生参加这次竞赛，八年级有1000名学生参加这次竞赛，请估计两个年级参加这次竞赛成绩为优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 21. 在学习了全等三角形的相关知识后，小明对三角形进行了拓展性研究．他发现三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．下面是小明的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空： 已知：如图，在中，点在上． （1）尺规作图：作的角平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，求证：． 证明：平分， ___________①_________． 在和中， （_____③_____） ． ． ， ． 22. “冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方”，冬季吃萝卜好处多．某蔬菜批发店销售圆萝卜和长萝卜，已知圆萝卜每箱售价是长萝卜每箱售价的2倍，销售600元的圆萝卜箱数比销售400元的长萝卜箱数要少5箱． （1）求圆萝卜和长萝卜每箱售价分别为多少元？ （2）该蔬菜批发店11月第一周销售圆萝卜200箱，长萝卜300箱．第二周该店调整价格，圆萝卜打折销售，长萝卜售价不变，结果第二周圆萝卜的销量比上周增加了，长萝卜的销量比上周减少了50箱，最后发现第二周的销售总金额比第一周的销售总金额少了840元，请问圆萝卜打了几折？ 23. 如图，在四边形中，，，，，连接．点从点出发，以每秒一个单位的速度沿折线运动，到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出关于函数的一条性质_____； （3）若该函数图象与直线恰好有一个交点，则常数的取值范围是____． 24. 如图，、、、分别是某公园的四个景点，在的南偏东方向，在的正北方向，且在的北偏东方向；在的北偏东30°方向，且在的东南方向，千米． （1）求的长度（结果保留根号） （2）某人此刻正在地游玩，5分钟后地将会有一场表演，此人即刻搭乘摆渡车从地出发前往地（摆渡车中途不停，上、下车时间忽略不计），摆渡车平均速度为每分钟700米，则此人能否在表演开始前到达地？请说明理由．（参考数据：） 25. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；求当的面积最大值及点的坐标； （3）如图2，在（2）条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 26. 在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接交直线于点． （1）如图1，若，，，，求的面积； （2）如图2，若，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，请用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，点是直线上一点，连接、，将沿翻折后得到，连接，点是的中点，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$