精品解析：山东省威海市乳山市银滩高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（    ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据虚部的概念求解即可. 【详解】由题意得，， ∴的虚部为. 故选：C. 2. 对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中， 满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 3. 已知，若，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求得的坐标，利用，求得，求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以存在唯一实数，使得， 所以，即， 所以，解得，所以. 故选：C. 4. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】由直线，得， 令，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故选：C. 5. 空间四边形中，，，，点，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，然后利用数量积的运算律求出的长度. 【详解】由题意知， 又， ， ，即的长为. 故选：C. 6. 过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到半径，求出的范围，再由原点在圆外，得到原点到圆心的距离大于半径，从而求出参数的取值范围. 【详解】圆，即 圆心为，半径，且，∴ 又因为过原点可作两条直线与圆相切，所以原点在圆外， ∴，解得且 故选：B. 7. 已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件求出平面的法向量，再利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 8. 椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率为求得椭圆方程为，设，利用切线长公式求解. 【详解】 由题知，解得，， 所以椭圆， 设，，， 设的圆心为，半径为，则，， 因为与圆相切， 所以 ， 当时，. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，由此判断A，C选项；对于B，D选项，借助复数与共轭复数乘法运算和模长的运算计算出结果即可做出判断. 【详解】复数的虚部不为0，所以不能比较大小，所以A选项错误； 设，，则， ，则， 所以，B选项正确； 若，，当均不为0时，均为虚部不为0的复数，所以不能比较大小，C选项错误； 设，，则， 则， ，，， 所以，D选项正确. 故选：BD. 10. 已知圆和圆相切，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆的标准方程得两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，利用圆心距与半径的关系列式求解即可． 【详解】圆，圆心为，半径为1， 圆，圆心为，半径为5， 两圆心距离为， 当两圆外切时，有，解得； 当两圆内切时，有，解得. 综上所述，实数的值可以是或0. 故选：ACD. 11. 在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. 存在两点，使得 B. C. 与所成的最大角为 D. 直线与平面所成角为的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线线角、线面角的向量求法逐项判断即得. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， ， 由在线段上，得，则，， 由在线段上，得，则，， 对于A，当时，，即， 而，则，A正确； 对于B，，，， 则，B正确； 对于C，，， 当时，， 此时与所成的角为，C错误； 对于D，， 因为轴垂直平面， 所以可取平面的法向量为， 则 ，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角为的最大值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由坐标写出对应复数，再求出其共轭复数，代入化简求解即可. 【详解】因为复数对应的点的坐标为， 所以，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】 按照直线是否经过原点分类，结合截距式方程即可得解. 【详解】当直线经过原点时，直线方程为：即，满足题意； 当直线不经过原点时，设直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为即； 综上所述，直线方程为或. 故答案为：或. 14. 已知直线经过圆与圆的交点，为上一点，则的最小值为__________，此时点的坐标为__________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】两圆相减得到直线的方程为，求出关于的对称点为，利用几何意义得到，数形结合得到当轴时，为最小值，并求出点的坐标. 【详解】圆与圆相减得到公共弦所在直线方程， 即，即直线的方程为， 设关于的对称点为， 则，解得， 故， 连接，过点作⊥轴于点，则， 故，数形结合得到当轴时， 即运动到时，为最小值， 此时点的纵坐标为，故，解得， 所以点的坐标为 故答案为：， 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，. （1）求所在直线的方程； （2）求所在直线的倾斜角； （3）求所在直线的方程. 【答案】（1）或） （2）； （3）（或）. 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程； （2）在菱形中，由，得到，再结合直线的倾斜角与直线的倾斜角关系求解； （3）联立直线和直线的方程，求得点D的坐标，再由的斜率与CD的斜率相等求解. 【小问1详解】 ， 所以直线的方程为， 即或）； 【小问2详解】 因为在菱形中，， 所以，由（1）知直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 因为对角线互相垂直，所以直线的倾斜角为； 【小问3详解】 直线的方程为， 即， 直线的方程为， 即， 联立可得的坐标为， 所以直线的方程为， 即（或）. 16. 在平面直角坐标系中，已知. （1）证明：四点共圆； （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：设经过三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得， 所以圆的方程为（或）； 又点在圆上， 所以证得四点在圆上； （2）或 （3）不存在这样的点，理由如下： 设的坐标为，依题意可得， 平方化简可得的轨迹方程为， 两圆圆心的距离， 所以两圆的位置关系为内含，所以不存在这样的点. 【解析】 【分析】（1）求出经过三点的圆的方程，代入点坐标验证可得答案； （2）当斜率不存在时可直接得答案，当斜率存在时，设直线方程为，再利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （3）设的坐标为，根据可得的轨迹方程为圆，再由两圆的位置关系判断可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设直线方程为， 即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； 【小问3详解】 不存在这样的点，理由略. 17. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用空间向量法求出线面角的余弦值； （2）因为线面垂直得出，再应用线线平行得出比值. 【小问1详解】 因为正方形和矩形所在的平面互相垂直， ，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，.以为原点，的方向分别为轴､轴､轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则得，此时， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为； 【小问2详解】 ，设，则， 所以， 所以，当时，直线平面， 所以，所以， 所以线段上存在点使得平面，此时. 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连结， 由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形， 则，故, 故平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直； （2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角； （3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 所以，因为 ， 故平面与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 点是内一动点且，则点在以为直径的圆上， 当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时， ， 设直线与直线所成角为， 所以， 所以直线与直线所成角得余弦值为. 19. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知过圆上一点的切线方程可整理成，经计算知过椭圆上一点的切线方程也有类似的写法.设为上一动点，直线与相切于点. （i）原点为，若直线与的斜率均存在，分别表示为，求； （ii）过原点作圆的两条切线，设两条切线与椭圆交于两点，则与是否相等？说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，利用待定系数法，即可求解椭圆方程； （2）(ⅰ)类别圆的切线方程，得到椭圆在点处的切线方程，再求斜率乘积； （ⅱ）首先设过原点的切线方程为，利用直线与圆的位置关系，列式，转化为关于的一元二次方程，利用韦达定理求，再结合点在椭圆上，即可求解. 【小问1详解】 依题意知， 又离心率为，所以，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，处的切线方程为，即， 所以， 又，从而； （ⅱ）圆：的圆心为，半径为. 设过原点作圆两条切线方程为， 由题意可知，圆心为到两条切线的距离等于，则 ， 即， 设切线的斜率分别记为，因为是椭圆上的任意一点， 所以，即， 所以是方程的两个实数根， 所以， 所以与相等. 【点睛】关键点点睛：最后一问的关键是利用直线与圆相切，转化为关于切线斜率的一元二次方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（    ） A. B. C. D. 3 2. 对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 3. 已知，若，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6 4. 已知直线恒过定点，则以为圆心，2为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 空间四边形中，，，，点，分别为，的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 过原点可以作两条线与圆相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 2 8. 椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是复数，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知圆和圆相切，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 11. 在正方体中，分别为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. 存在两点，使得 B. C. 与所成的最大角为 D. 直线与平面所成角为的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________. 13. 已知直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为_______． 14. 已知直线经过圆与圆的交点，为上一点，则的最小值为__________，此时点的坐标为__________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，. （1）求所在直线的方程； （2）求所在直线的倾斜角； （3）求所在直线的方程. 16. 在平面直角坐标系中，已知. （1）证明：四点共圆； （2）过点作（1）中圆的切线，求切线方程； （3）坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 17. 已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，. （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）线段上是否存在点使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值； （3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值. 19. 已知椭圆与椭圆有相同的焦点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知过圆上一点的切线方程可整理成，经计算知过椭圆上一点的切线方程也有类似的写法.设为上一动点，直线与相切于点. （i）原点为，若直线与的斜率均存在，分别表示为，求； （ii）过原点作圆的两条切线，设两条切线与椭圆交于两点，则与是否相等？说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $