精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

2022级高三学年上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：张茜茜 审题人：朱天玲 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意知，. 故选：D. 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记公差为，由题， 故， ， 故选：A. 3. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ） A. 20 B. 24 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，求出侧高，得到侧面积. 【详解】如图，过点分别作⊥，⊥，垂足分别为， 其中，故， 所以， 又，由勾股定理得， 其中，由勾股定理得， 故梯形的面积为， 其侧面积为. 故选：B 4. 如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 点必在平面内 B. 点必在平面内 C. 点必在直线上 D. 直线与直线为异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 5. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的数据，列出关于的方程组，解方程组得出函数的解析式，根据函数图象的变换即可得出结果. 【详解】由表中的数据可得， ，解得， 所以，， 将图象向左平移单位后 得到的图象. 故选：A 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由可推导出，可得出，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为， 对任意的，，则函数的定义域为， ， 所以，函数为奇函数， 因为内层函数为增函数，外层函数在上为减函数， 所以，函数在上的减函数， 由可得， 所以，，即， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7. 已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的模的计算可得，结合二次函数可求最小值. 【详解】因为均为单位向量，且且， 所以， ， 当时，的最小值为. 故选：B. 8. 数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解. 【详解】数列满足①， 当时，，即， 当时，②， 由②①得， 数列的所有奇数项，， 数列的所有偶数项，， 综上，数列的通项公式为. 记， 所以数列的前项和为： ， 由得，即， 因为，随着的增大而增大， 故当时，刚好满足， 所以，的最小值为. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，所以，故A错误； 对B，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在上的投影向量为，故D错误. 故选：BC 10. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则前n项和为 B. C. 数列的前n项和为 D. 数列最大项为第10项 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得是首项为1公差为2的等差数列，求等比数列前n项和判断A选项；由等差数列的性质判断B选项；并项求和法判断C选项；列不等式求数列最大项判断D选项. 【详解】由，可得，又， 所以是首项为1公差为2的等差数列，， 对于A，， 则前n项和为， A选项正确； 对于B，由等差数列性质可得， B选项错误； 对于C，，数列的前n项和为， 为奇数时，； 为偶数时，， 所以数列的前n项和为，C选项正确； 对于D，设，则，， 当时，即，解得， 由，则有，即数列最大项为第10项，D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知 的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若在线段上，且，，，，则的面积为8 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理结合三角形中大边对大角，即可判断； 对于B，设，在中，利用余弦定理求得，得到，，求得和，结合面积公式计算即可； 对于C，化简条件得到，求得或，即可判断； 对于D，根据题意得到点在以为弦的一个圆上，结合正弦定理和圆的性质，以及弧长公式计算即可． 【详解】对于A，，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由在线段上，且，，，， 则，设，， 在中，利用余弦定理， 整理得，解得或（舍去）， 所以，， 在中，可得，则， 所以的面积为，故B正确； 对于C，由， 可得， 整理得， 由正弦定理得，可得， 因为，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，在中，因为，， 则点在以为弦的一个圆上， 由正弦定理可得外接圆的直径为，即， 当点在外部时，如图所示， 因为，可得，所以， 所以的长度为， 同理，当点在内部时，可得对应的弧长也是， 所以动点的轨迹的长度为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数四则运算证明，再根据复数的模长公式求解. 【详解】由，可得，即，故. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可知是等比数列，由等比数列的通项公式求出，然后由求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 故答案为：. 14. 若函数的图象上存在两点关于轴对称，则点对称为的“比肩点对”（点对与视为同一个“比肩点对”）．若函数，恰有4个“比肩点对”，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】原题条件等价于方程在时有4个不同的实数根，显然是该方程的根，进一步等价于当且时，方程有3个根，从而可以构造函数，利用导数研究函数的性态，画出图象即可得解. 【详解】原题条件等价于方程在时有4个不同的实数根， 当时，即为，显然该方程有一个根为1， 当且时，方程有3个根等价于方程有3个根， 令， 则， 当或时，，当时，， 所以在均单调递增，在单调递减， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示： 由图可知要使得方程有3个根， 则， 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得出当且时，方程有3个根，从而可以构造函数，从而根据数形结合即可顺利得解. 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． （1）求实数m，n的值； （2）求的零点个数. 【答案】（1） （2）3个零点． 【解析】 【分析】（1）利用拐点的概念，结合导数的运算即可求解； （2）利用导数求出函数的单调区间，结合极值情况即可判断零点个数. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以 即解得 【小问2详解】 由（I）知，， 所以， 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + ↗ 14 ↘ -18 ↗ 所以的极大值为，极小值为， 又， 所以有3个零点． 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）求的对称中心和单调递减区间； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2）对称中心为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，代入求出值. （2）由（1）的结论，利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （3）由（2）的信息，利用同角公式、诱导公式及二倍角的正弦公式计算得解. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得， 所以的对称中心为； 由，得， 所以的单调递减区间为. 【小问3详解】 由，得，由，得， 由，得，则， 所以. 17. 已知数列对于任意都有． （1）求数列的通项公式． （2）设数列前n项和为，求． （3）证明：，． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 因为，，所以时，， 当时，， 当时，， 当时， ， 综上，，. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，即可求解； （2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解； （3）通过作差比较得到时，，从而有时，，再分和三种情况讨论，即可证明结果. 【小问1详解】 因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. 【小问3详解】 略 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A取值的范围； （2）若，求周长的最大值； （3）若，求的面积． 【答案】（1）； （2）6； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可； （2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算； （3）根据题意结合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面积公式分析运算. 【小问1详解】 由题设， 所以， ， 又，则， 根据正弦边角关系，易得，则， 又，则，当且仅当时取等号， 所以，结合，可得； 【小问2详解】 由（1）有，又， 又，则， 所以，当且仅当取等号， 所以周长的最大值6. 【小问3详解】 由，且， 所以，而，则， 由，显然，故，即， 结合，可得， 由，而， 由，整理得，可得（负值舍）， 所以，故. 19. 已知函数，． （1）若在处取得极值，讨论的单调性； （2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； （3）设，证明：． 【答案】（1） 在单调递增；在单调递减. （2） ，，， 曲线在点处的切线的斜率为，. 故切线方程为，即； 构造函数，， 即，其中， 则， 设，其中， 则，令，得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以在单调递减，且，. 故当时，，即，则在单调递增； 当时，，即，则在单调递减； 故在处取极大值，且极大值为， 当且仅当时，. 所以当时，恒成立.即恒成立， 故除点外，曲线段总在的下方，命题得证. （3） 由（2）结论，任意，，恒成立. 又由可知，单调递减， 则，故恒成立， 令，则恒成立. 又由 所以 . 故， 故 . 即成立，命题得证. 【解析】 【分析】（1）由在处取极值待定，再求导函数，根据导函数的单调性与零点确定符号变化区间，从而讨论的单调性； （2）构造函数将命题转化为在区间恒成立，通过二次求导方法，逐次观察新的导函数零点与探究单调性，再通过连锁讨论回归分析原函数值的范围即可； （3）应用第（2）问结论赋值得，由此放缩后运算求和即可得证. 【小问1详解】 ，，， 由在处取得极值，得，解得. 当时，， 设，则在上单调递减，且. 则当时，，即，故在单调递增； 当时，，即，故在单调递减； 故在处取到极大值，满足题意. 在单调递增；在单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：应用导数证明不等式，解决的关键点有三个：一是函数重构，如第（2）问中将图象问题转化为不等式问题，进而构造差函数再利用导数研究单调性；二是多次求导连锁反应，一次求导不能明确问题解决的方向，借助观察零点、导数运算、符号判断等手段发现二次求导的可行性，进而继续求导研究导函数性质，直至新的导函数符号可判断，再依次连锁回归分析即可；三是结论借用，本题第（3）问解决的关键在于应用第（2）问所证明的切线放缩结论，进行赋值构造，再结合所求证结论中的特殊取值加以猜想赋值，值得注意的是赋值一定要先研究参变量需要满足的取值范围，不能盲目入手导致错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高三学年上学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：张茜茜 审题人：朱天玲 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. -3 D. 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 21 B. 19 C. 12 D. 42 3. 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，高为，则其侧面积为（ ） A. 20 B. 24 C. D. 4. 如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 点必在平面内 B. 点必在平面内 C. 点必在直线上 D. 直线与直线为异面直线 5. 某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知均为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 10. 数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则前n项和为 B. C. 数列的前n项和为 D. 数列最大项为第10项 11. 已知 的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 在中，若，则 B. 若在线段上，且，，，，则的面积为8 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，动点在所在平面内且，则动点的轨迹的长度为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则__________． 13. 已知数列的前项和为，且，，则______． 14. 若函数的图象上存在两点关于轴对称，则点对称为的“比肩点对”（点对与视为同一个“比肩点对”）．若函数，恰有4个“比肩点对”，则实数的取值范围是______． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分） 15. 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． （1）求实数m，n的值； （2）求的零点个数. 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）求的对称中心和单调递减区间； （3）若，，求的值． 17. 已知数列对于任意都有． （1）求数列的通项公式． （2）设数列前n项和为，求． （3）证明：，． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A取值的范围； （2）若，求周长的最大值； （3）若，求的面积． 19. 已知函数，． （1）若在处取得极值，讨论的单调性； （2）设曲线在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $