精品解析：四川省眉山市彭山区第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高2026届第三期12月月考 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题（每个小题有且仅有1个正确选项，每小题5分） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 2. 若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，其中点，，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（ ） A. 7 B. C. D. 6. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每个小题至少有两个正确选项，每个小题6分） 9. 设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（     ）． A. B. P到最小的距离是2 C. 面积的最大值为6 D. P到最大的距离是9 10. 已知直线，点，，，，下列说法正确的是（ ） A. 点P到直线的距离为 B. 若P与Q点位于直线的两侧则 C. 点P与点Q之间距离的最小值为 D. 的最小值为2 11. 已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，则直线平面 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的取值范围为 D. 当，且时，则点的轨迹长度为 三、填空题（每小题5分） 12. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 13. 已知椭圆C：，其上下顶点分别为A，B；在椭圆C上有一个动点P，当P位于第一象限时，连接PB交轴于M点，连接PA交轴于N点，若，则椭圆的离心率为___________ 14. 设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________． 四、解答题 15. 甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙､丙两人各自命中的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 19. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届第三期12月月考 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题（每个小题有且仅有1个正确选项，每小题5分） 1. 直线的倾斜角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】由直线， 则， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 2. 若椭圆的焦点在轴上，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程及焦点位置有，即可求参数范围. 【详解】由题设，可得. 故选：A 3. 在5张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】记甲中奖的事件为，乙中奖的事件为， 则，，， 所以 . 故选：B 4. 已知平面，其中点，，则下列各点中不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为即可. 【详解】选项A：设，则，， 所以点在平面内，A不符合题意； 选项B：设，则，， 所以点在平面内，B不符合题意； 选项C：设，则，， 所以点不在平面内，C符合题意； 选项A：设，则，， 所以点在平面内，D不符合题意； 故选：C 5. 已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则=（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可知直线过圆心，求得，根据点结合点到直线距离以及等面积法可得结果. 【详解】由圆可得， 所以圆心，半径为； 又由直线是圆的对称轴，即直线过圆心， 所以，解得，即； 因此， 所以切线长； 由圆的性质可知，所以四边形的面积为， 可得. 故选：D 6. 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为的正方体中，直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离，利用空间中点到直线的距离公式结合二次函数的最值即可求解. 【详解】 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设点为上一点， 则点到距离的最小值即为直线与之间的距离， 已知正方体棱长为2，所以， 设，所以，， 设与共线的单位向量， 所以点到的距离 ， 令， 则当时，， 所以直线与之间的距离为. 故选：. 7. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 8. 过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为.若直线在轴，轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点的坐标，借助向量垂直的坐标表示求出切线方程，进而求出直线，并求出横纵截距，再求出离心率. 【详解】设，则， 令坐标原点为，由切圆于， 得，则，于是， 同理，因此直线的方程为， 则，即， 所以椭圆离心率. 故选：D 二、多项选择题（每个小题至少有两个正确选项，每个小题6分） 9. 设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（     ）． A. B. P到最小的距离是2 C. 面积的最大值为6 D. P到最大的距离是9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对A：根据椭圆的定义可得，A正确； 对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，B错误； 对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：AD. 10. 已知直线，点，，，，下列说法正确的是（ ） A. 点P到直线的距离为 B. 若P与Q点位于直线的两侧则 C. 点P与点Q之间距离的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点到线的距离即可求得A选项结果；将两个点坐标代入直线方程得到的值符号不同则这两个点在直线的两侧即可求得参数的范围判断B选项；由点到点的距离公式写出距离表达式，由配方法求得最小值判断C选项；找到动点所在直线，由“将军饮马”模型求得线段和最小值判断D选项. 【详解】点P到直线的距离，A选项正确； ∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧，则将代入直线方程得，即，B选项正确； ，C选项错误； ∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点， 则，联立方程组解得，即， ∴点关于直线的对称点，连接与的交点为， 此时最小，的最小值：，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，则直线平面 B. 当时，的最小值为 C. 当时，的取值范围为 D. 当，且时，则点的轨迹长度为 【答案】BC 【解析】 【分析】由时，得到为的中点，可判定A错误；在上取点，得到求得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，可判定B正确；证得平面，求得的最大值与最小值，可判定C正确；求得点的轨迹在内，根据题意得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定D错误． 【详解】对于A中，由于时，则，此时为的中点， 在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以A错误； 对于B中，在上取点，使，在上取点，使， 因为，即，可得点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示， 连接交于，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，所以，则， 所以，所以， 即此时的最小值为，所以B正确； 对于C中，当时，可得点的轨迹在平面内（包括边界）， 在正方形中，可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以，又由， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，当时，可得点的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，可得， 又因为平面，故平面， 因为平面，可得，同理可证， 又因为平面，所以平面， 设与平面交于点，由于， 为边长为的正三角形，则点到平面的距离为， 若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上， 此时点到三边的距离均为， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误． 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 三、填空题（每小题5分） 12. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由几何图形结合向量加减运算求出，接着由已知条件结合向量的运算律计算求出即可求解. 【详解】连接， 则由题得， 所以 ， 故. 故答案为：. 13. 已知椭圆C：，其上下顶点分别为A，B；在椭圆C上有一个动点P，当P位于第一象限时，连接PB交轴于M点，连接PA交轴于N点，若，则椭圆的离心率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】令且，写出、的方程并求出横坐标，结合已知等量关系及得，即可求离心率. 【详解】令且，而，则，， 令，则，， 所以，则， 又，则， 又，则，即，故椭圆离心率. 故答案为： 14. 设，圆，若动直线与圆交于点A、C，动直线与圆交于点B、D，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】， 圆心M(1，3)，半径r＝， 过定点E(2,1)， 过定点E(2,1)， 且⊥， 如图，设AC和BD中点分别为F、G，则四边形EFMG为矩形， 设，，则， 则＝ ，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 四、解答题 15. 甲､乙､丙三人进行投球练习，每人投球一次.已知甲命中的概率是，甲､丙都未命中的概率是，乙､丙都命中的概率是，若每人是否命中互不影响. （1）求乙､丙两人各自命中的概率； （2）求甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率. 【答案】（1）乙､丙两人各自命中的概率分别； （2） 【解析】 【分析】（1）设乙､丙两人各自命中的概率分别为，由题意得到方程组，求出； （2）求出甲､乙､丙三人均命中的概率和2人命中的概率，相加得到答案. 【小问1详解】 设乙､丙两人各自命中的概率分别为， 故，，解得， 故乙､丙两人各自命中的概率分别； 【小问2详解】 甲､乙､丙三人均命中的概率为， 甲､乙､丙三人中2人命中的概率为 ， 故甲､乙､丙三人中至少2人命中的概率为. 16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据圆心及过原点，可得半径，即可得方程. （2）根据点到直线的距离公式，可得d，代入弦长公式，即可得到答案. （3）讨论斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，计算求解，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 因为圆心为，且过原点，所以半径， 则圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，过点P的方程为，圆心到的距离为2等于半径，符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离，解得 所以切线方程为， 综上所述：切线的方程为和． 17. 如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）， 可得、、、、、、、、. 依题意，，， 从而，所以； （Ⅱ）； （Ⅲ）. 【解析】 【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出； （Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果； （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ） 依题意，是平面的一个法向量， ，． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨设，可得． ， ． 所以，二面角的正弦值为； （Ⅲ）依题意，． 由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是． 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 18. 已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 【答案】（1） （2）①； ②证明：设， ， 联立，消去整理得： ， ， 又， 代入整理得：， ， ， 同理可得， ， 而 所以有， 整理得， ， ， 因此∥， 故三点共线. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，即可得答案； （2）①联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式，求出的值，即可得答案； ②设，联立直线与椭圆方程，可得与的关系式，通过证明∥，即可证明三点共线. 【小问1详解】 解：由已知长轴为，短轴长为， 可得，， 则椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 解：①依题意，解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为：． ②略 19. 以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积； （3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为，求证：. 【答案】（1） （2）面积为. （3）证明：设，且 设过点的直线与椭圆相切，联立 化简得 由得 点在直线上，得代入上式 化简得 因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根 由韦达定理得. 由得 所以 又 所以. 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组，结合，解出a和b，即可得椭圆的方程； （2）设， 由可得轨迹方程，再求面积即可； （3）过点的直线与椭圆相切，与椭圆方程联立，利用得出的一元二次方程，结合韦达定理化简，进而可求出为定值. 【小问1详解】 由题设知椭圆中，得 由得 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 由得 化简得. 表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $