精品解析：山西省太原市2024-2025学年九年级上学期期中测评数学试卷

2024~2025学年第一学期九年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00-9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式成为解题的关键． 先运用平方差公式计算等式的左边，然后移向整理成一元二次方程的一般式即可． 【详解】解：， ， ． 故选B． 2. 用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（共中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘被等分成两个扇形，转盘被等分成三个扇形．如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：A． 3. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等．不同竖格线上的三点A，，在同一直线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 如图：过点A作于点E，交于点D，根据平行线分线段成比例得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：如图：过点A作于点E，交于点D， ∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴，即，解得：． 故选：B． 4. 下列关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．据此分析求解即可． 【详解】解：A、，则有两个相等的实数根，不符合题意； B、，则没有实数根，不符合题意； C、，不能开平方，则没有实数根，不符合题意； D、，有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D． 5. 如图，在中，，于点，点是的中点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形，等腰三角形，三角形的内角和，三角形的外角和等知识，解题的关键是根据题意，，是的中点，则，根据等边对等角，则，求出，根据三角形的内角和，即可求出． 【详解】解：∵在中，，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图是太原马拉松15周年纪念徽章，徽章整体呈银色，正面记录着太原马拉松创办至今的历史，背面的雁丘园代表着千年晋韵独特的魅力．任意掷两枚质地均匀的这种纪念徽章，恰好都是正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．根据树状图法即可求解． 【详解】解：根据题意画出树状图： 根据树状图可知：共有4种等可能的情况，其中恰好都是正面朝上的有1种情况， ∴两枚硬币全部正面朝上的概率为， 故选：C． 7. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据菱形的判定方法逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、对角线互相平分，且根据勾股定理的逆定理可得有一个角是直角，即对角线互相垂直，故可得四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，故该选项不符合题意 C、对角线互相平分，不能证明是菱形，故该选项符合题意． D、根据已知角可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 9. 如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点．连接．下列结论一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 平分 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．证明和全等得，再根据可得出选项一定成立，然后在讨论其它选项，对于选项，当时不成立，对于选项、，当时不成立，由此即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选项一定成立，符合题意； 对于选项，当时， 此时，故项不一定成立； 对于、项，当时，，，故此时、选项不成立， 故选∶． 10. 定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当已知矩形的长和宽分别为和时．设其“加倍矩形”的一边长为．则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据两矩形周长间的关系，可得出其“加倍矩形”的相邻两边长，利用“加倍矩形”的面积是已知矩形面积的倍，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】设其“加倍矩形”的一边长为．则根据题意列出的方程是 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题）把答案写在答题卡相应的位置． 11. 一元二次方程的根是_______． 【答案】，##， 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12. 某农业研究院进行一项新品种果树苗在相同条件下移植实验．下表为实验结果： 移植棵数 成活数 成活率 通过表中数据．估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为________（精确到）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键．根据表格频率接近，即可求解； 【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率， ∴估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为， 故答案为． 13. 如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，根据矩形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形和四边形都是矩形，然后利用矩形的性质可得：，再利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， 四边形四边形， 解得： 故答案为：． 14. 如图．把长为、宽为的长方形铁片的四角各前去一个大小相同的正方形．然后折叠成一个无盖的长方体盒子．若铁盒的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，则盒子的高为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用数形结合的思想找出等量关系列出方程求解是解题关键．设盒子的高为，则铁盒的底长为，宽为，结合题意可列出关于x的等式，解出x的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设盒子的高为，则铁盒的底长为，宽为， ∴铁盒的底面积为． ∵长方形铁片的面积为，且铁盒的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半， ∴， 解得：，（舍）， ∴盒子的高为． 故答案为：5． 15. 如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，，，， 则， 所以，，． 【小问2详解】 解： 方程右边分解因式，得． 移项，得． 方程左边分解因式，得． 所以，得或． 所以，，． 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 【答案】 证明：四边形是矩形， ． 于点E，于点F． ． ， ， ． 【解析】 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】略 18. 2024年巴黎奥运会中国代表团取得了境外奥运会历史最佳成绩．九年级一班组织“奥运精神伴我成长”主题班会．活动中老师准备了如下四张运动员获奖图片（除正面图案外完全和同），分别记为，，，．现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小敏先从中随机抽取一张，不放回，小捷再从剩余图片中随机抽取一张，然后请两人根据所抽到的图片介绍相关比赛项目．用画树状图或列表的方法求小敏和小捷介绍的都是团体项目的概率． 【答案】答：两人介绍的都是团体项目的概率是． 【解析】 【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是根据题意，列表得到所有的可能性结果，进行解答，即可． 【详解】解：所有可能的结果列表如下： 小捷 小敏 共有种结果，每种结果出现的可能性相同， 两人介绍的都是团体项目的结果有两种：、， ∴两人介绍的都是团体项目的概率是． 19. 如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． （1）求线段的长； （2）在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查比例线段的知识，解题的关键是比例线段的性质，进行求解，即可． （1）根据，得，求出，即可； （2）根据（1）可得的值，根据，根据，则，根据，进行解答，即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，已知在中，，． （1）尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，连接，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 如图即为所求； （2） 证明：由作图可知，，， ， ． ． ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图和正方形的判定． 根据要求用尺规作图画出图形； 根据作图可证，根据全等三角形的性质可知，根据同旁内角互补两直线平行可证四边形是平行四边形，再根据、可证四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. “云南三日游”的调研分析 背景 云南是全国世居少数民族最多的省份，民族文化丰富多彩．丽江古城的东巴文化、大理白族的扎染技艺、西双版纳的傣族泼水节等，从文化遗产到节庆活动，都展现出独特魅力．为了让更多的人了解云南，感受云南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“云南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“云南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“云南三日游”的人数为1500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到2160人． 素材二 该旅行社“云南三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“云南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 【答案】任务1： 任务2：800元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率公式、销售利润公式是解题关键． 任务1：设增长率为，根据题意9月份人数1500人，10月为，11月为，建立方程求解即可． 任务2：设下调团费为元，则团费降低的金额为，总人数为，列方程求解即可． 【详解】任务1：解：设10月、11月的平均增长率为， 根据题意，， ， 解得，（舍去）， 答：10，11两个月报名人数的月均增长率为． 任务2：解：设下调后每人团费为元， 则团费降低的金额为，总人数为， 根据题意，， ， 解得，（因，舍去）， 答：下调后每人的团费为800元． 22. 阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： （1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； （2）按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令得到，再计算出，关于y的方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴；， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解得，， 所以，，． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．连接． 独立思考： (1)判断四边形的形状，并说明理由； 深度探究： (2)已知点是线段上的一点(不与端点重合)，希望小组将该纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点落在线段上，折痕交于点，交于点，连接．在此基础上他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，若点是的中点，猜想与的数量关系．并证明你的结论； ②若．且，请直接写出的值． 【答案】（1）菱形， ∵是翻折而成的， 故，， ，则， ， 则，， 而， ， 四边形为菱形； （2）①是的中点，则， ，， ， 则，设 则菱形的边长为 则 则； ② 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、菱形等知识， （1）证明，即可求解； （2）①证明，则，设得到则，即可求解； ②证明，根据①的思路即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）① 略 ②设 ，， 四边形为平行四边形， ， ， 菱形的边长为， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期九年级期中学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00-9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 将一元二次方程化成一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（共中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘被等分成两个扇形，转盘被等分成三个扇形．如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等．不同竖格线上的三点A，，在同一直线上．若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，于点，点是的中点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是太原马拉松15周年纪念徽章，徽章整体呈银色，正面记录着太原马拉松创办至今的历史，背面的雁丘园代表着千年晋韵独特的魅力．任意掷两枚质地均匀的这种纪念徽章，恰好都是正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是正方形的边上的一点，线段交于点．连接．下列结论一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 平分 10. 定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”．当已知矩形的长和宽分别为和时．设其“加倍矩形”的一边长为．则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题）把答案写在答题卡相应的位置． 11. 一元二次方程的根是_______． 12. 某农业研究院进行一项新品种果树苗在相同条件下移植实验．下表为实验结果： 移植棵数 成活数 成活率 通过表中数据．估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为________（精确到）． 13. 如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 14. 如图．把长为、宽为的长方形铁片的四角各前去一个大小相同的正方形．然后折叠成一个无盖的长方体盒子．若铁盒的底面积（阴影部分）是原来铁片面积的一半，则盒子的高为________． 15. 如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F．求证：． 18. 2024年巴黎奥运会中国代表团取得了境外奥运会历史最佳成绩．九年级一班组织“奥运精神伴我成长”主题班会．活动中老师准备了如下四张运动员获奖图片（除正面图案外完全和同），分别记为，，，．现将四张图片背面朝上放置，搅匀后小敏先从中随机抽取一张，不放回，小捷再从剩余图片中随机抽取一张，然后请两人根据所抽到的图片介绍相关比赛项目．用画树状图或列表的方法求小敏和小捷介绍的都是团体项目的概率． 19. 如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． （1）求线段的长； （2）在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 20. 如图，已知在中，，． （1）尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，连接，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是正方形． 21. “云南三日游”的调研分析 背景 云南是全国世居少数民族最多的省份，民族文化丰富多彩．丽江古城的东巴文化、大理白族的扎染技艺、西双版纳的傣族泼水节等，从文化遗产到节庆活动，都展现出独特魅力．为了让更多的人了解云南，感受云南深厚的文化底蕴，某旅行社推出“云南三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“云南三日游”旅行的定价和报名人数进行调研． 素材一 活动推出后，9月份报名参加“云南三日游”的人数为1500人，随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，预计11月份报名人数将达到2160人． 素材二 该旅行社“云南三日游”活动的初步方案为：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 请完成以下任务 任务1 求10，11两个月“云南三日游”旅行活动报名人数的月均增长率； 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 22. 阅读与思考：下面是一篇数学小论文中的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程．都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时．两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】以一元二次方程为例， 设（为常数）， 则原方程化为，① 整理，得，② 即，③ 为使方程③不含的一次项，令， 此时，则， 所以，方程③化为， 解，得，， 所以，________，________． 【类比推广】按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． …… 任务： （1）直接写出材料中“特例分析”部分方程的解________，________； （2）按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 23. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．连接． 独立思考： (1)判断四边形的形状，并说明理由； 深度探究： (2)已知点是线段上的一点(不与端点重合)，希望小组将该纸片沿过点的直线折叠，使点的对应点落在线段上，点的对应点落在线段上，折痕交于点，交于点，连接．在此基础上他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，若点是的中点，猜想与的数量关系．并证明你的结论； ②若．且，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $