辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期12月联合考试数学试卷

绝密★启用前 辽宁省名校联盟2024年高一12月份联合考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟。 吹 注意亦项： 报 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A={xly=x-2},B={yly=x2+1},则 A.A∩B=⑦，.· B.A∩B=A C.AUB=A D.CRB∈A 2.下列函数中是奇函数，且在定义域内单调递减的是 茶 Afa)-名 B.f()=2 C.f(x)=log:x D.f(x)=e-c 2 3.已知某种污染物的浓度C(单位：摩尔/升)与时问（单位：天）的关系满足指数模型C=C,e“-”,其 中C。是初始浓度（即=1时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即=2）测得该污染物的浓度为 5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为9C。,则 n= A.4 B.5 C.6 ·D.7 4.函数f(x)= e+e-x 一的部分图像大致为 ln(√x2+I-x T 拟 5.已知函数代)-=(z-an为偶函数，则 A.a∈R,b=3 B.a≠0，b=3 C.a∈R,b=-3 D.a=0,b=3 数学第1页（共4页） 6.已知a∈(0,1)U(1,十o∞)，且函数fx)= a,x≤2， x2,x>2 在R上有最小值，则a的取值范围为 A.(0,1) B.(0,1)U1,2) C.(1,2] D.[2,+∞) 7.已知y=f(x十1)为偶函数，若对任意a,b∈[1，+oo)(a≠b),总有af(b)+bf(a)<af(a)+bf(b) 成立，则不等式f(2x)<f(4)的解集为 A(3) B.(-2,2) C.(-1,2) D[] 8已知函数f)=x--x++3,若关于x的方程[x)小-(a+8)f(x)-a=0有8个 不同的实数根，则a的取值范固为 A.(-4,-) B[-5o) C.(-4,0) D.（-4,-2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中，假命题为 A.命题“3x∈(0，十∞)，lnx=x一1”的否定是“Vx任(0，+o∞)，lnx=x-1” By=1og,法与y=1og:1+)-1og:1-)是周-个函数 C.函数f(x)=log(x2-2x)的增区间为（一∞，1） D.函数y-2年2 士+3的最小值是2 10,若a>0,b>0,且是-号>1og:号-10g:,则下列不等式中正确的是 A>号 B()>() c号> D.log.b>loga 山，某数学兴趣小组对函数(x)=2-手+进行研究，得出如下结论，其中正确的有 A.f(-x)+f(x)=4 B.Vx1≠x2,都有(x1一x:)[f(x1)-f(x)门<0 C.f(x)的值域为(0,4) D.V函∈(0，+e0),都有f(i2）<f)f】 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知P=80×z+(3)-（-2023)°，Q=210g,2-1og:号+1og8,则P+Q= 13.甲说：已知fx)=2-ax十4，x< -4x十2a,x≥1， 是R上的减函数，乙说：存在x,使得关于x的不等式x2一2ax十 1>0在x∈[号，2]时成立，若甲，乙两人说的话都不对，则。的取值范围是 14.已知函数f(x)=log,(mx+2)-log.(2m+1+2)(a>0且a≠1)只有-个零点，则m的取值范 围是 数学第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知a∈R,全集U=R,集合A={<2<8,函数y=√og43x-2万的定义域为集合B. (1)当a=2时，求(CuB)∩A; (2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求a的取值范围. 16.(15分) 已知函数f(x)=logx,其中a>0且a≠1. (1)若函数f(x)的图像过点(4,2)，求不等式f(2x一2)<f(x)的解集； (2)若存在x,使得关于x的方程f(x+1)+f(x+2)=2f(ax)成立，求a的取值范围. 17.(15分) 已知函数f(x)=a·3-3=(a∈R). (1)当a=1时，求函数f(x)的零点； (2)若函数f(x)为偶函数，求a的值； (3)当a=1时，若关于x的不等式λf(x)一9一9-一14≤0在x∈(0，十∞)时恒成立，求入的取 值范围. 数学第3页（共4页） 18.(17分) 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x,y,均有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)= -1,当0<x<1时，f(x)∈(0,1). (1)判断f(x)的奇偶性； (2)判断f(x)在(0，+o∞)上的单调性，并证明； (3)若对任意x1,x2∈[-1,1]，a∈[-1,5]，总有2|f(x1)-f(x2)川≤m2-am-2恒成立，求m 的取值范围. 19.(17分) 我们知道，函数y=f(x)的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇 函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条 件是函数y=f(x十a)一b为奇函数， (1)判断函数f(x)= 22-1 的奇偶性，求函数g四=一2十的图像的对称中心，并说明理由； 2 (2)已知函数)-弄++考+，问f:)是香有对称中心？若有，求出对称中 x+2 心；若没有，请说明理由； (3)对于不同的函数f(x)与g(x),若f(x),g(x)的图像都是有且仅有一个对称中心，分别记为 (m,p)和(n,q). (i)求证：当m=n时，f(x)十g(x)的图像仍有对称中心； (ii)问：当≠n时，f(x)十g(x)的图像是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不 一定有，请举出具体的反例. t: 数学第4页（共4页） 辽宁名校联盟高一12月联考 ·数学· 叁考答桌及解析 一、选择题 1.B【解析】由题意可得A={x|y=√x-2}=[2, 为奇西数，所以g《一)=一8，即n二- +∞)，B={yly=x2+1}=[1,+∞)，所以A∩B=[2, -1n整理得h=n器，则 3x+1 +∞)，故A项错误：因为A二B,所以A∩B=A,AUB =B,故B项正确，C项错误；CB=(一∞，1)，则CRB z+所以-1=9x2-1,则分=9，解得6=±3. 3x-1 不是A的子集，故D项错误.故选B项. 当6=-3时，g()=lh斗=h(-1D,显然无意 2.D【解折】A项，x)=是的定义被为(-0,0U(0, 文，合去：当6-3时，g)-h>0,即 +eo),f)=是在（一0,0）.(0，十∞)上单调递减，但 不能说在定义域内单调递减，故A项错误；B项，f(x) (3x+13x-1>0.解得x>号或x<-号则g(x)- =2的定义域为R,且f(一x)=2-川=24=f(x),所 h的定文城为(-0，-号)U(合+∞）小且 以∫(x)=2叫为偶函数，故B项错误：C项，f(x)= ogx的定义域为(0，十∞)，故函数为非奇非偶函数，枚 g()为奇函数，此时(x)=山为偶函数，故选 C项错误：D项，fx)=(e-e)的定义坡为R,且 D项. -x)=合(e-。)=-jx),所以fx)=合(e 6.A【解析】当x>2时，f(x)=x2>4;当x≤2时，f(x) =a,当a∈(0,1)时，f(x)=a≥a2,且a2<4,所以函 -Q)为奇函数，又(x)=号(e一。)在R上单调递 a,22, 减，故D项正确.故选D项. 数f){,>2在R上有最水位d当a∈1， [Coe=5, 十o∞)时，f(x)=a∈(0，a],此时显然函数∫(x)= 3.B【解析】由题意可得 e2=3,解得k= Coelt =15, :,>2在R上没有最小值综上，®的取值范国为 |r,x2, 因为Ce”=9C,即Ce学-”=9C,所以 (0,1).故选A项. e学-=9，所以3(-1)=n9,解得1=5.故选7.C【解折】由a)+ba)<aa)+b6,可得af0) B项 -bf(b)<af(a)-bf(a),(a-b)f(b)<(a-b)f(a), 4.C【解析】由解析式知∫(x)的定义域为（一∞，0）U 即(a-b)[f(b)-f(a)]<0,当a>b≥1时，f(a)> (0,+o),f(-x)=n(-+T+ e+十e-n f(b,当b>a≥1时，fb)>f(a),所以函数f(x)在[1， 十c∞)上单调递增，又因为y=f(x十1)为偶函数，所以 ee" e-+er ln(√x+I+x)ln(√2+I-x) =一f(x),所以 f(x)的图像关于直线x=1对称，所以f(x)在（一∞，1] 上单调递减，且(4)=f(一2)，所以由f(2x)<f(4)得 f(x)为奇函数，当x>0时，c+e>0,0<√x+I 一2<2x<4,解得一1<x<2.故选C项 x-√公+1+x <1,则ln(√x+I一x)<0,所以在(0， 8.A【解析】因为函数f)=x-士-++3 十∞)上，∫(x)<0,结合各项函数图像知C项满足要 的定义域为(-∞，0)U(0,+c∞)，f(-x)=-x十 求，故选C项. 5.D【解析】当a=0时，函数y=x一a为奇函数.要使函 --x-+3=-是-x+是+3 数fx)-(x-ah为偶函数，则gx)-n 0x+1 f(x),所以f(x)为偶函数，当x>0时，∫(x) ·数学· 参考答案及解析 -2x+3,0<x<1, 又>0，b>0,所以0<a<6,因为y=(号）广在(0， 2+3,x≥1， 作出∫(x)的大致图像，如图所示： +∞)止单调递诚，所以（号）广>（合），故B项正确： 由B项知0<a<6,令a=1,b=2,则号=号} 4-3-2-01234主 号，因为2<号，所以号<，故C项错误：由B项 令t■f(x),因为关于x的方程[f(x)]一(a十8)f(x) 一a=0有8个不同的实数根，所以方程2一(a十8)1一4 知0<a<6,令a=合，6=2，则1og.6=1og时2=-1， =0在区间(1,3)内有2个不相等的实数根.令g(t)= 1oga=1og:合=-1，因为-1=-1，所以1ogb= g(1)>0, g(3)>0, loga,故D项错误.故选AB项. 2-(a+8)t-a,则 4>0, 所以-4<a<-15 4 11.ABD【解析】对于A项，f(x)+f(一x)=2-z+ 十2十x十=4，故A项正确：对于B项，当x≥0时， 故选A项. 二、选择题 x)=1十中因为y=中7单调递议，所以)= 9.ACD【解析】A项，命题“3x∈(0，十co),nx=x一1” 的否定是“Vx∈(0，+∞)，lnx≠x一1”，故A项错误：B 1+单阀通减，且1<fx)≤2，f0)=1+ 项，令}告今0，解得-1<r<1,放y=168告约定义 2当x<0时，fx)=3十马，因为y=马单调递 城为(-1,10，令1->0， 1+x>0, 解得一1<x<1,故y= 减，所以)=3+马单调递被，且2<x)<3,所 1og:(1+x)-1og(1-x)的定义域为(-1,1)，又y= 1++≥0， 1oe告=1og1+)-loe,1-).故B项正确：C 以f(x)= 则f(x)在R上单调递诚， 项，令x2-2x>0,解得x>2或x<0,其中t=x2-2x= 故B项正确：对于C项，当x≥0时，1<f(x)≤2，当x (x-1)2-1>0在(2，十∞)上单调递增，在(-∞，0)上 <0时，2<f(x)<3,综上，f(x)的值城为(1,3)，故C 单调递臧，又y=logt在(0，十∞)上单调递增，由复合 函数单调性可知f(x)■log(x2一2x)的增区问为(2， 项错误对于D项，当x∈(0，+∞)时，色) 十∞)，故C项错误；D项，y= x2+3 x2+2 =√+2+ +异币启执< fm)+f八)=2 2 市2当且仅当v中-市时等号成立 2 +1+2+1 十1十十1 2.+1十+1少=0，当且仅当 所以等号取不到，故D项错误.故选ACD项， 4 10.AB【解析】令f(x)=x+logx(x>0),则由一次函 ?时等号成立，故x,g∈（0，十∞)，都有 数知y=x在(0，十∞)上单调递增，由对数函数知y= f(色士）≤生，故D项正确.故选 2 log:x在(0，十o∞)上单调递增，所以f(x)=x十log2x ABD项. 在0，+∞)上单调递增，由吕-方>1g:名 三、填空题 1o:日，得+1oe>名+1o:方，即f(日)>12号【解折】P=80×拒+（器）-(-2023°- (公)，所以亡>六故A项正确：由A项知>合， 8×2片+[()门-1=2+亭-1=子，Q= ·2· 辽宁名校联盟高一12月联考 ·数学· 2log2-log号+log,8=log(4÷3号×8）=1og9= 解得号<x<1,即B=(号，1] (5分) 2,所以P+Q=号 当a=2时，A=(0,5], (6分) 13.{a号≤a<2或e>3}【解析】若甲对，则 toB-(o,号]ua,+∞)， (7分) 所以(tBnA-(o,号]U1,5, (8分) →2≤a≤3.若乙对，由x2-2az (2)由x∈B是x∈A的充分不必要条件，可知集合B 1-a+4≥-4+2a 是集合A的真子集， (10分) +1>0,xe[合2]可得3xe[合2]+子> 所以 -2号解得-2<a<号 (12分) 2a,因为g)=x+士在[合，1)内单涧递减，在1， a+3≥1， 经检验符合集合B是集合A的真子集： 2]内单调递增，且g(分）=g(2)-号，可知g(x)在 所以a的取值范回是[-2，号] (13分) [合2]内的最大值为号，可得受>2a,解得a<号 16.解：(1)因为f(4)=2,所以log4=2, 若甲、乙说的话都不对，则{a|a<2或a>3)与 所以a2=4, (1分) {a≥号}的交集为{a<a<2或o>3,放。 因为a>0,所以a=2, (2分) 所以f八x)=logx,定义域为(0，+∞) (3分) 的取值范围是{a子<a<2或a>3} 要解不等式f(2x-2)<f(x), 则x,2x-2∈(0，+∞)， 14.{mm≤-1或m=0或m=一之}【解析】由(x) 所以x∈(1，十c∞). (4分) 又f(x)=log:x在定义域内是单调递增函数， -0得出mx+2=2m+1+二>0有且只有一个实根， 由f(2x-2)<f(x),得2x-2<x,解得x<2, ①当m=0时，x=2显然成立；②当m≠0时，由mx十 故不等式f(2x-2)<f(x)的解集为(1,2). (6分) 2=2m+1+2,得mx2+(1-2m)x-2=0,则△=(1 (2)因为∫(x)的定义域为(0，+∞)，所以在方程 /x+1>0, -2m)2+8m=(2m十1)2=0，解得m=一子，此时x- 2f(ax)=f(x十1)十f(x+2)中，应满足{x十2>0， ax>0, 2成立：③由mx+2=2m+1+是，可得m(x-2)- 由a>0,解得x>0,问题转化为当x>0时，关于x的 2二工，即mx+1)(x=2=0,由x≠2，得mx+1=0, 方程f(x+1)+f(x十2)=2f(a.x)有正实数解.(7分) x 又f(x)=logx, 则2m十2≤0，解得m≤一1，综上，m的取值范围 则1og(x+1)十log(x十2)=2log.(ax), 是{mm<-1或m=0或m=-号} 即1og(a2x2)=log.(x2+3x+2). (8分) 四、解答题 因为f(x)为单调递增函数， 所以a2x2=x2+3x十2， (9分) 15.解：1A-{<2≤8=2<2≤2 因为x>0, {xa-2<x≤a+3}, 所以两边同除以父得a-是+十1. (10分) 即A=(a-2,a+3]. (2分) 由10g(3x-2)≥0，且3x-2>0,得0<3x-2≤1， 令=子，曲>0，得0，+∞)， (11分) (4分) 所以a2=22+31+1在>0时有解。 (12分) ·3· ·数学· 参考答案及解析 又y=2+3+1=2(+) 号在(0，+∞)上单 当>0时，)=（丘·专）=f)(2)=1 调递增， (13分) ≠0，所以f(√E)≠0， 所以y=22+31+1∈(1，+o∞)， 从而f(x)=fw反·√F)=[f(WE)]>0, (7分) 即a2∈(1，+o), (14分) (只证出f(x)≥0，没有说明f(WE)≠0扣1分) 又a>0,所以a>1, Hx2>x1>0,则f(x2)-f(x) 故a的取值范围为(1，十∞). (15分) 17.解：(1)当a=1时，f(x)=3-3-, -)-f(…到) 令f(x)=3-3=0,解得x=0, (2分) =f)-f(》 所以当a=1时，函数f(x)的零点为0. (3分) (2)因为函数(x)为偶函数， =[1-()] (8分) 所以f(-x=f(x), 因为x>x1>0,所以f(x)>0, 即a·3-3=a·3-3, (4分) 所以(a+1)(3r-3r)=0, (5分) 0<9<1,又当0<x<1时，f(x)∈(0,1)， 又3-3不恒为0， 所以<()<1， 所以a十1=0，即a=一1. (6分) (3)当x>0时，f（x)=3一3->0， (8分) 所以f(x)一f(x)>0,所以f(x)>f(x),(9分) 故f(x)在(0，十∞)上单调递增 (10分) 因为关于x的不等式f(x)一9r一9-一14≤0在x∈ (3)由(1)知函数f(x)为奇函数，所以f(0)=0, (0,+∞)时恒成立， (11分) 所以x≤9Ψ+9+14=③3+16=3-3+十 3-3-+ 3-3- 由(2)知，当x>0时，f(x)>0,且∫(x)在(0，十∞)上 16 单调递增， 34-3· (11分) 所以f(x)在R上单调递增， (12分) (将入分离出来未化简给1分) 所以当x∈[一1,1]时，函数f(x)的最大值为f(1)= 又因为r-3+2日≥2√8-3) 16 1,最小值为f(一1)=一1， (13分) 3-3 又任意1x红∈[-1,1]，总有2|f(x1)-f(x2)1≤m2 =8, (12分) 一am一2恒成立， 16 当且仅当3-3=3r3,即x=1ogW5+2)时等 所以2Cf(x)ma-f(x)mim]≤m2一am-2, (14分) 号成立， (14分) 即m2-am-6≥0， (15分) (最后没有求出x的值扣1分) 由题意，m2一am-6≥0对a∈[-1,5]恒成立. 所以A≤8，即1的取值范围是（一0,8]. (15分) 令g(a)=一ma十m2-6,则g(a)m≥0， 18.解：(1)函数f(x)为R上的奇函数. (1分) m2十n-6≥0， 所以 (16分) 证明如下： m2-5m-6≥0， 函数(x)的定义域为R,关于原点对称 (2分) 解得m≤-3或m≥6， 令y=-1,则f(-x)=f(x)f(-1), 放m的取值范围是（一∞，一3]U[6,十∞）. (17分) 又f(-1)=-1,所以f(-x)=-f(x), 10.1解：)-多号为奇函数， (1分) 所以函数f(x)为奇函数. (3分) 证明如下： (2)f(x)在(0，十∞)上单调递增. (4分) 首先f(x)的定义城为R,关于原点对称， (2分) 证叨如下： 由(1)知f(1)=-f(-1)=1, (5分)1 又f-x)= --. 4 辽宁名校联盟高一12月联考 ·数学· 故f(x)为奇函数， (3分) 所以有对称中心，对称中心为（一号4） (8分) 2 _2-1+1-2_2-1-1 因为1十g(x)=1一2+=2+1 21+1 (3)根据题意，f(x)十f(2m-x)=2p,g(x)+g(2n一 f(x-1) x)=2g. (10分) 所以g(x)=f(x-1)-1, (i)证明：当m=n时，f(x)+f(2n一x)+g(x)十g(2n 于是g(x十1)+1=f(x)是奇函数， -x)=2p+2g=2(p+q), 由题意知g(x)图像的对称中心是(1，一1). (6分) 所以此时f(x)+g(x)的图像仍有对称中心，对称中心 (只写出对称中心，没有说明扣2分) 为(n,p十g) (12分) (2)解：根据题意， (ii)解：当m≠n时，f(x)十g(x)不一定有对称中心. +2a-=希++清++ (14分) 2a-x⊥2a-x+1+2a-x+212a-x+3_ 设fx)=】,易知函数f(x)的图像关于(0,0)对称， x 2a-x+12a-x+22a-x+32a-x+4x+1 得m=0,p=0, (15分) +特将+串++， x-2a可+x-2a-2+ 设gx)千易知函数g(x)的图像关于(-1,1)对 1 1 r-2a-3+r-2a-4' 称，得n=一19=1， (16分) 取a=-号，上式计算得了x)+-5-)=8,此时6 此时，f(x)+g(x)= 十有其图像不关于某一点 三4， 对称，即没有对称中心。 (17分) ·5·